Два квадраты в единичном квадрате

[Markiyan Hirnyk]

Замкнутый квадрат со стороной один $[0,1]^2$ содержит два замкнутые квадраты со сторонами $a$ и
$b$, внутренности которых не пересекаются. Как доказать неравенство $a+b\le 1$?

[Утундрий]

Порассуждайте о проекциях мелких квадратов на стороны единичного.

[Markiyan Hirnyk]

Утундрий
Пожалуйста, изложите в деталях Ваше ценное указание. Пока не о чем рассуждать.

[Утундрий]

Рассуждение следующее. Посмотрим на эти квадратики сперва вдоль одной стороны единичного квадрата, а затем и с другой. В обоих случаях мы увидим пару отрезков длин $a$ и $b$, лежащих внутри единичного интервала вещественной прямой. Далее обратим внимание на взаимное расположение этих двух отрезков. Рассматривать всё богатство (аж шесть) случаев здесь излишне. Достаточно дихотомии - имеется ли у них хотя бы одна общая точка, или же не имеется? Теперь допустим, что таковые общие точки имеются на обеих проекциях. Тогда имеется и общая точка у самих квадратиков. А поскольку сие исключено условием, данный случай не реализуется. Следовательно, хотя бы на одной из проекций отрезки не имеют ни одной общей точки, в силу чего удовлетворяют искомому соотношению $a+b<1$.

P.S. Разумеется, это никакое не доказательство, т.к. грубейшим образом проигнорировано требование отсутствия у квадратиков именно внутренних общих точек. В полном, математически строгом доказательстве, должен восстановится знак нестрогого неравенства, но я оставляю эту задачу следующим поколениям математиков.

[Markiyan Hirnyk]

Утундрий

Цитата:

В обоих случаях мы увидим пару отрезков длин $a$ и $b$ , лежащих внутри единичного интервала вещественной прямой.

А если стороны внутренних квадратов не параллельны (и не перпендикулярны) сторонам единичного квадрата? В ожидании серьезных ответов.

[Утундрий]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1573896 писал(а):

А если стороны внутренних квадратов не параллельны (и не перпендикулярны) сторонам единичного квадрата?

Тогда задача ещё более занудная, чем показалось с первого взгляда.

[Markiyan Hirnyk]

Утундрий
Ваша реплика не конструктивна. Не вижу смысла обсуждать задачу с Вами в такой манере. Если повторится, пожалуюсь модератору.
PS. Авторство задачи принадлежит Н. Ю. Нецветаеву.

[TOTAL]

Больший красный квадратик со стороной $A$ нарастим двумя зелёными полями шириной $B$ до квадратика со стороной $A+B$. Нетрудно видеть, что нигде в зелёных полях нельзя разместить квадрат толще $B$. Доказано.

[пианист]

TOTAL
Прошу прощения за тупость: почему один квадрат должен попасть в поля другого?

[TOTAL]

пианист в сообщении #1573959 писал(а):

TOTAL
Прошу прощения за тупость: почему один квадрат должен попасть в поля другого?

Если не влезет в поля, то два квадрата не влезут в квадрат $A+B$
(что-то я сейчас забыл, каким образом мне это казалось очевидно, надо додумывать)

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL
Целесообразно придерживаться обозначений вопроса, чтобы не возникали затруднения для читателей.

[TOTAL]

Весь квадрат рассекаем прямой линией на два куска, в каждом из которых один внутренний квадратик. Каждый кусок достраиваем до прямоугольного треугольника (гипотенуза - по линии рассечения). Сумма биссектрис прямых углов этих треугольников равна $\sqrt{2}$. Легко получить, что диагональ квадратика внутри прямоугольного треугольника не превосходит указанную биссектрису.

[Утундрий]

TOTAL в сообщении #1573998 писал(а):

Легко получить, что диагональ квадратика внутри прямоугольного треугольника не превосходит указанную биссектрису.

Другими словами, наибольший квадрат в заданном прямоугольном треугольнике - тот, который опирается на прямой угол треугольника и касается его гипотенузы. Не знаю, насколько легко это получить.

[TOTAL]

Утундрий в сообщении #1574001 писал(а):

Другими словами, наибольший квадрат в заданном прямоугольном треугольнике - тот, который опирается на прямой угол треугольника и касается его гипотенузы. Не знаю, насколько легко это получить.

Очень легко получить. Любой квадрат можно сдвинуть к одному катету и к другому, т.е. единичный квадрат касается вершиной обоих катетов и наклонён к ним под углом А. Биссектриса прямого угла выныривает из квадрата в точке с равными координатами (относительно вершины прямого угла) $\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL
Пожалуйста, подробно изложите Ваши рассуждения, используя этот рисунок. Согласитесь, что геометрические доказательства надо иллюстрировать. Как Вы будете обозначать точки, если Вы обозначили и угол, и его величину через $A$?

PS. Вот инфо о авторе задачи.