Два квадраты в единичном квадрате

[mihaild]

Пришло в голову такое обобщение задачи: для множества $X$ какого-то вида (произвольного, области, выпуклого, еще какого-то) и числа $n$, какова максимальная сумма $\alpha_1 + \ldots + \alpha_n$, при которой можно в $X$ запихать (или почти запихать) его копии с коэффициентами масштабирования $\alpha_i$, так что мера пересечений разных копий равна нулю? Из площади понятно что $\sum \alpha_i^2 \leq 1$. Задача в топике - для случая $X$ - квадрат, $n = 2$. Для невыпуклых множеств можем при больших $n$ иметь $\sum \alpha_i$ сколь угодно большой.
Наверняка это в какой-то достаточно общей постановке решено, но я сходу не нашел.

juna в сообщении #1575150 писал(а):

Вращаем один из вложенных квадратов до совмещения сторон с внешним квадратом

Он же при этом может другой вложенный квадрат пересекать неизвестно как.

[juna]

mihaild в сообщении #1575228 писал(а):

Он же при этом может другой вложенный квадрат пересекать неизвестно как.

Другой естественно перемещаем в освободившуюся область. Возможно сомнения, что мы правомочны это сделать. Тогда можно заменить не больший квадрат вписанным в него кругом, диаметр которого окажется равен стороне этого квадрата.