Два квадраты в единичном квадрате

[пианист]

TOTAL в сообщении #1574003 писал(а):

Биссектриса прямого угла выныривает из квадрата в точке с равными координатами (относительно вершины прямого угла) $\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

Только, все-таки, координата будет $L\dotnet\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)}, где $L$ сторона квадрата.
Ну да, дальше понятно.

[Утундрий]

Вышеупомянутое тригонометрическое неравенство вылезло у меня из сравнения квадрата, поставленного в угол (за плохое поведение?), и квадрата, свободно расположившегося на диагонали. Но как разобраться с квадратами, касающимися треугольника только вершинами?

[пианист]

Когда квадрат в углу, треугольник можно уменьшить до касания гипотенузой вершины квадрата. В такой конфигурации квадрат большего размера выйдет за пределы, так как точка пересечения с биссектрисой прямого угла отдалится, в т.ч. в случае "выхода" из угла, для чего и нужно неравенство.
Я так "расшифровал" логику уважаемого TOTAL.

[TOTAL]

Квадрат придвинули к катетам. Синяя часть биссектрисы уже не короче диагонали квадрата.

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL
Извините,

Цитата:

Квадрат придвинули к катетам

-- это не математика. Голословно, нечетко и неясно. Все же спасибо за Ваш энтузиазм.

[TOTAL]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1574131 писал(а):

Цитата:

Квадрат придвинули к катетам

-- это не математика. Голословно, нечетко и неясно. Все же спасибо за Ваш энтузиазм.

Теперь, когда утверждение доказано, в качестве мастер-класса приведите здесь свою версию - математическую, неголословную, чёткую, ясную и т.д.

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL
Никакое доказательство этого геометрического неравенства мне неизвестно, поэтому и задал вопрос на этом форуме.

PS. Н. Ю. Нецветаев задал этот вопрос на студенческом конкурсе СПбГУ, не на олимпиаде, без ответа. Могу привести отснятую страницу через Дропбокс.

[Rak so dna]

по Т. синусов:
$\frac{F}{\sin{\varphi}}=\frac{a-F\cos{x}}{\cos{(\varphi-x)}}$

$F=\frac{a\sin{\varphi}}{\cos{(\varphi-x)}+\sin{\varphi}\cos{x}}$

Осталось найти точку максимума $F(x)$ при $x\in [0..\varphi]$

или точку минимума для $f(x)=\cos{(\varphi-x)}+\sin{\varphi}\cos{x}$, которая для $x\in [0..\varphi]$ равна нулю.

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574173 писал(а):

Осталось найти точку максимума $F(x)$ при $x\in [0..\varphi]$

С какой целью? Поскольку диагональ квадрата не длиннее биссектрисы прямого угла, то утверждение задачи доказано.

[Утундрий]

TOTAL
Значит, всё там монотонно. Занятный факт "про то как хитрый квадрат площади в прямоугольном треугольнике набирал". Запомню.

[Rak so dna]

TOTAL я не оспариваю Ваше решение. Просто некоторым оно было не очевидно, в том числе и мне.

[Ende]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1574149 писал(а):

Никакое доказательство этого геометрического неравенства мне неизвестно, поэтому и задал вопрос на этом форуме.

Раз так, то переехали.

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: решение неизвестно топик-стартеру.

Markiyan Hirnyk, не размещайте в олимпиадных разделах задачи, решение которых Вам неизвестно.

[TOTAL]

Уф.
Квадратики прислонили к противоположным углам внешнего квадрата.
Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.
И верхнее зелёненькое не длиннее верхнего синенького.
А ведь иногда есть ещё и жёлтенькое.

[Rak so dna]

TOTAL в сообщении #1574194 писал(а):

Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.

о неочевидности этого я и говорил (как-то не заметил, что в теме уже всё посчитали). Мое решение сводится к проверке $f(\varphi)\geq f(0)$, что равносильно Вашему

TOTAL в сообщении #1574003 писал(а):

$\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574215 писал(а):

TOTAL в сообщении #1574194 писал(а):

Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.

о неочевидности этого я и говорил (как-то не заметил, что в теме уже всё посчитали).

Сейчас соберусь с силами и изображу доказательство этого геометрически, без формулы.


$PA=AQ$
Сравниваем половинки синего и зелёного, это жирные стороны треугольника $ABC$.
Так как угол $x$ больше угла $y$, $\angle ABC=\pi/4+x > \pi/4+y = \angle BAC$