Еще один вариант для кубов

[mihaild]

dick в сообщении #1573652 писал(а):

потому что слева единственный корень уравнения, а справа свободный член, как у Виета

Льюис Кэрролл в Алиса в стране чудес писал(а):

"С одной стороны ЧЕГО? С другой стороны ЧЕГО?" – недоуменно подумала Алиса.
– Гриба, – ответила Гусеница

О каком равенстве речь? О каком уравнении (и если говорить о корнях - то что считается параметрами, а что переменной)?

[dick]

Слева и справа гипотетического равенства $x=k_2^3-k_1^3$.
А корень уравнения (1.1) - это $x$.

[mihaild]

Ну если $x = k_2^3 - k_1^3$, то, конечно, $x = k_2^3 - k_1^3$ [у меня тут не опечатка, тут действительно два раза одно и то же равенство).

dick в сообщении #1573669 писал(а):

А корень уравнения (1.1) - это $x$

Нехорошо для обозначения корня уравнения использовать букву из самого уравнения.
$x$ - это число (из гипотетического решения уравнения теоремы Ферма).
Оно, конечно, корень уравнения $t^3 - 3(k_2 - k_1)t^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)t - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (уравнение на $t$). Непонятно, почему единственный (у уравнения третьей степени в общем случае 3 корня), и непонятно, почему число $k_2^3 - k_1^3$ должно быть корнем этого уравнения.

[dick]

Мы считаем что (1.1) выполнено, поэтому $x$ является его корнем. Мы здесь говорим только об этом $x$.

[mihaild]

Если $x$ - число, то (1.1) - вообще не уравнение. Там неизвестных нет. Нельзя одной и той же буквой обозначать и неизвестную в уравнении, и корень этого уравнения.

[dick]

Разумеется $x$ это натуральное число. Разумеется, мы не знаем какое именно это число, но это не мешает нам рассуждать, предполагая что (1.1) выполняется при оговоренных условиях, потому что никаких других $x$ мы не касаемся. Впрочем, как Вам угодно.

[mihaild]

Мы. естественно, можем полагать, что (1.1) выполнено, просто не надо называть его уравнением. Как из него следует, что $x = k_2^3 - k_1^3$ - непонятно.

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1573729 писал(а):

Как из него следует, что $x = k_2^3 - k_1^3$ - непонятно.

Видимо так как исследование ведётся в натуральных числах, то корень должен быть делителем свободного члена. То есть $x\mid k_2^3-k_1^3$, то есть $x=\frac{k_2^3-k_1^3}{b}$, здесь $b$ целое. Осталось понять, почему оно равно именно единице

-- 14.12.2022, 11:54 --

Но написанное уравнение можно привести к виду такому

dick в сообщении #1573652 писал(а):

преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$

Вот отсюда следует почему-то, что $b=1$, но это неверно, ведь правильно будет $b$ сравнимо с единицей по модулю три,а это не то же самое, что $b=1$

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1573768 писал(а):

Вот отсюда следует почему-то, что $b=1$

Строго говоря, отсюда следует всё что угодно, потому что из чисел $x, b, k_1, k_2$, удовлетворяющих этому равенству, можно обратно собрать решение уравнения теоремы Ферма для $n = 3$. Вопрос в том, как это доказать.

[dick]

Ну что-то в этом роде. Просто подумал что $x$ может быть единственным корнем и поэтому не просто являться делителем разности кубов, а закрывать эту разность целиком. Заглянул в Вики, увидел что есть дискриминанты для 3 степени, но не считал.

[dick]

Ну хорошо, оставим пока гипотезы корней и уравнений, и обратимся все к тому же абзацу:

dick в сообщении #1573652 писал(а):

dick в сообщении #1566133

писал(а):
Предположим, что выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); где $x,y,z$ – взаимно простые натуральные числа, $z,y$- числа разной четности, а $x$- нечетное.
Предположим, что $x$ не делится на 3 и $y=x+k_1$; $z=x+k_2$;
Тогда из (1) следует: $x^3-3(k_2-k_1)x^2-3(k_2^2-k_1^2)x-(k_2^3-k_1^3)=0$ (1.1);
Поскольку три из четырех слагаемых левой части (1.1) делятся на $x$, четвертое также делится на $x$, то есть $k_2^3-k_1^3=bx$, где $b$- натуральное число.
После сокращения (1.1) на $x$ и несложных преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$ (1.2);

Присвоим равенству $k_2^3-k_1^3=bx$ номер (1.4);
Перепишем (1.4): $(k_2-k_1)((k_2-k_1)^2+3k_2k_1)=bx$ (1.5);
Поскольку $(k_2-k_1)=(z-y)$, левая часть (1.5) делится на $(z-y)$.
Очевидно, что бы правая часть (1.5) также делилась на $(z-y)$, должно быть:
$b=(z-y)^{2/3}$ (1.5.1); или
$b=d(z-y)^{2/3}$ (1.5.2); где $d$- натуральное число из состава второй скобки левой части (1.5), взаимно простое с $(z-y)$.
Потому что $x=(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6);
Согласны?

[mihaild]

dick в сообщении #1574133 писал(а):

Очевидно, что бы правая часть (1.5) также делилась на $(z-y)$, должно быть:
$b=(z-y)^{2/3}$ (1.5.1); или
$b=d(z-y)^{2/3}$ (1.5.2)

Неочевидно. Там у вас $k_1$ и $k_2$, в обосновании $z$ и $y$. Т.е. может быть и правильно, но нужно честно написать выкладки.

[dick]

$bx=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$; (1.5)
$x=x_1x_2$
$x_1=(z-y)^{1/3}$ (1.6.1) $x_2=((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6.2);
$b(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$ (1.7);
Если $b=(z-y)^{2/3}$, то $((z-y)^2+3zy)=((z-y)^2+3k_2k_1)^3$ (1.8)
Если $b=d(z-y)^{2/3}$ то $x_2=((z-y)^2+3k_2k_1)/d$ (1.9)

[mihaild]

Из (1.7) легко получается $b = (z - y)^{2 / 3} \cdot \frac{((z - y)^2 + 3zy)^{1/3}}{(z - y)^2} + 3k_2 k_1$. Совершенно непонятно, почему второй сомножитель должен быть целым.

[dick]

Господь с Вами, $b=(z-y)^{2/3}((z-y)^2+3k_2k_1)/((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (2);