2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 40  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 13:24 


03/06/12
2862
vpb
точно! Ага. Спасибо большое, я все понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 17:48 


03/06/12
2862
Проверьте, плиз, решение задачи 13.2, д). Там требуется вычислить следующий определитель: $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & n-2 & n-1 & n & n\\
3 & 4 & 5 & 6 & \ldots & n-1 & n & n & n\\
4 & 5 & 6 & 7 & \ldots & n & n & n & n\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-2 & n-1 & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-1 & n & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n & n & n & n & \ldots & n & n & n & n
\end{vmatrix}$. В указании из ответа сказано, что нужно из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий. Я так понимаю, что это указание не относится к первому, так что получаю: $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & n-2 & n-1 & n & n\\
3 & 4 & 5 & 6 & \ldots & n-1 & n & n & n\\
4 & 5 & 6 & 7 & \ldots & n & n & n & n\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-2 & n-1 & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-1 & n & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n & n & n & n & \ldots & n & n & n & n
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & 0\\
3 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0 & 0\\
4 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 & 0 & 0\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n-2 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n-1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}$. Последний полученный определитель равен произведению своих элементов, стоящих на второй, не главной, диагонали, взятому с соответствующим знаком. Этот знак определяется четностью/нечетностью следующей перестановки (в том смысле перестановки, в котором это понятие используется в изучаемом курсе Кострикина): $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \ldots & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}$. Короче, у меня получается, что этот определитель равен $(-1)^{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i}}n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n$. В ответе же вот что: $(-1)^{n(n-1)}2n$. Это же ошибка? Не говоря уже о том, что выражение в ответ просто равно $2n$, так что множитель -1 в степени непонятно, зачем там и написан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 22:30 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
Sinoid в сообщении #1570089 писал(а):
Это же ошибка?
Конечно ошибка. Не математическая, а при наборе в ТеХе в издательстве. Надо было (-1)^{n(n-1)/2}n, что дает $(-1)^{n(n-1)/2}n$, а набрали (-1)^{n(n-1)}2n, что дает $(-1)^{n(n-1)}2n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 23:05 


03/06/12
2862
vpb в сообщении #1570124 писал(а):
Конечно ошибка. Не математическая, а при наборе в ТеХе в издательстве.

Ну где-то глубоко внутри себя у меня тоже это сидело. Только у меня сюда приплеталось еще и
Используется синтаксис LaTeX
\frac

и потому ошибка в издательстве казалась мне еще менее вероятной. Спасибо. Решаю дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 18:01 


03/06/12
2862
Посмотрите, пожалуйста, задачу 15.3:
Изображение
Мне кажется, что здесь на самом деле хотели написать $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots+a_{n}x^{n-1}$. Например, при $n=3$ получу:

(Оффтоп)

Пусть $\epsilon_{1},\,\epsilon_{2},\epsilon_{3}$ - все 3 значения кубического корня из 1. Имеет место следующее равенство: $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=(\epsilon_{2}-\epsilon_{1})(\epsilon_{3}-\epsilon_{1})(\epsilon_{3}-\epsilon_{2})$. Т. к. все 3 числа попарно неравны, то
$$\begin{equation}
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}\ne0
\end{equation}$$
Далее могу написать: $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2}\\
a_{3}+a_{1}\epsilon_{1}+a_{2}\epsilon_{1}^{2} & a_{3}+a_{1}\epsilon_{2}+a_{2}\epsilon_{2}^{2} & a_{3}+a_{1}\epsilon_{3}+a_{2}\epsilon_{3}^{2}\\
a_{2}+a_{3}\epsilon_{1}+a_{1}\epsilon_{1}^{2} & a_{2}+a_{3}\epsilon_{2}+a_{1}\epsilon_{2}^{2} & a_{2}+a_{3}\epsilon_{3}+a_{1}\epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=$

$\begin{vmatrix}a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2}\\
\epsilon_{1}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2}) & \epsilon_{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2}) & \epsilon_{3}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\\
\epsilon_{1}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2}) & \epsilon_{2}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2}) & \epsilon_{3}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})
\end{vmatrix}=$

$(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}$. Итак, получили следующее равенство: $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})\cdot$
$(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}$. Откуда, в силу (1): $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}=(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})$

И вот, у меня такое впечатление, что ситуация здесь в точности та же, что и в предыдущем случае: ошибка была допущена при наборе в ТеХ; просто вместо верхнего индекса вляпали нижний. Это же опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Да, это опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 23:22 


03/06/12
2862
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 00:37 


03/06/12
2862
Посмотрите, пжл, задачу 16.4, б):
Изображение
Большие сомнения вызывают указанный там вид взаимной матрицы для данной матрицы $A$ в случае $n>2$. Умножение что слева, что справа данной матрицы $A$ на свою взаимную должно давать диагональную матрицу. Этим свойством, вообще говоря, не обладает матрица, заявленная в задаче для этого случая, как матрица, взаимная для данной матрицы $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 03:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Sinoid
В задаче 16.4,б не $\hat{A}$ (взаимная к матрице $A$), а $\hat{\hat{A}}$ (взаимная к взаимной к матрице $A$).
Надо доказать, что дважды повторённая операция "взять взаимную матрицу" возвращает Вас к исходной матрице $A$ (с точностью до числового коэффициента $|A|^{n-2}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 03:23 


03/06/12
2862
svv
Точно! А я вторую крышечку-то и не замечал.

-- 21.11.2022, 04:26 --

Тогда как будто интересная задачка получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.12.2022, 23:40 


03/06/12
2862
Что-то не пойму в продолжение вот этого:
Sinoid в сообщении #1570637 писал(а):
Посмотрите, пжл, задачу 16.4, б):

Пусть $A$ - вырожденная матрица порядка пока больше 2. Тогда необязательно же, что $\hat{\hat{A}}=0$? По-моему, необязательно. Вычислить $\hat{\hat{A}}$ для невырожденной матрицы получилось, все нормально. Просто в процессе этого вычисления использовалось деление на $\left|A\right|$ - определитель матрицы $A$. А вот для вырожденной??? Ну необязана дважды присоединенная быть нулевой!

-- 06.12.2022, 00:51 --

Определитель дважды присоедененной матрицы ($\hat{\hat{A}}$) - да, равен 0. А вот сама эта матрица - ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.12.2022, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Всё правильно, $\hat{\hat{A}}$ будет нулевая. Дело в том, что если $A$ вырожденная, ранг $\hat A$ может быть лишь $0$ (если $\operatorname{rank}A\leqslant n-2$) или $1$ (если $\operatorname{rank}A=n-1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.12.2022, 14:58 


03/06/12
2862
Да, понял. Спасибо.

svv в сообщении #1572759 писал(а):
Всё правильно,

Вообще-то конечный вывод у меня как раз был неправильный. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 19:35 


03/06/12
2862
Посмотрите, пожалуйста, задачу 16.6:
Изображение
В случае же $m\leqslant n$ приведенная же формула неверна? У меня получилось, что в этом случае $C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\
j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}
\end{pmatrix}={\displaystyle \sum_{1\leqslant k_{1}<k_{2}<\ldots<k_{m}\leqslant n}}A\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\
k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}
\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\\
j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}
\end{pmatrix}$. У меня выкладки сделаны на компе, в общем случае. В случае необходимости только скажите: я или их скопирую, или покажу на каком-нибудь частном примере.

-- 08.12.2022, 20:48 --

Но ответ явно не от задачи такого типа: набор индексов сверху у одного множителя и снизу у другого не совпадает ни в каком порядке. Обычно ждешь, так сказать, сокращения такой пары совпадающих индексов, чаще, наверное, из правого верхнего угла в левый нижний, хотя, по поводу "чаще" - это, скорее, субъективно. Разумеется, можно на раз превратить "из правого верхнего угла в левый нижний" в "из левого верхнего угла в правый нижний".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1573123 писал(а):
$C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}={\displaystyle \sum_{1\leqslant k_{1}<k_{2}<\ldots<k_{m}\leqslant n}}A\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}$
Да, правильно. См. Гантмахер, Теория матриц, стр. 17-18 (формула Бине-Коши, в чуть менее общем виде, но это непринципиально).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group