2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 13:24 


03/06/12
2742
vpb
точно! Ага. Спасибо большое, я все понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 17:48 


03/06/12
2742
Проверьте, плиз, решение задачи 13.2, д). Там требуется вычислить следующий определитель: $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & n-2 & n-1 & n & n\\
3 & 4 & 5 & 6 & \ldots & n-1 & n & n & n\\
4 & 5 & 6 & 7 & \ldots & n & n & n & n\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-2 & n-1 & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-1 & n & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n & n & n & n & \ldots & n & n & n & n
\end{vmatrix}$. В указании из ответа сказано, что нужно из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий. Я так понимаю, что это указание не относится к первому, так что получаю: $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & n-2 & n-1 & n & n\\
3 & 4 & 5 & 6 & \ldots & n-1 & n & n & n\\
4 & 5 & 6 & 7 & \ldots & n & n & n & n\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-2 & n-1 & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n-1 & n & n & n & \ldots & n & n & n & n\\
n & n & n & n & \ldots & n & n & n & n
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & 0\\
3 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0 & 0\\
4 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 & 0 & 0\\
\hdotsfor{9}\\
n-3 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n-2 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n-1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\
n & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}$. Последний полученный определитель равен произведению своих элементов, стоящих на второй, не главной, диагонали, взятому с соответствующим знаком. Этот знак определяется четностью/нечетностью следующей перестановки (в том смысле перестановки, в котором это понятие используется в изучаемом курсе Кострикина): $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \ldots & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}$. Короче, у меня получается, что этот определитель равен $(-1)^{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i}}n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n$. В ответе же вот что: $(-1)^{n(n-1)}2n$. Это же ошибка? Не говоря уже о том, что выражение в ответ просто равно $2n$, так что множитель -1 в степени непонятно, зачем там и написан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 22:30 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Sinoid в сообщении #1570089 писал(а):
Это же ошибка?
Конечно ошибка. Не математическая, а при наборе в ТеХе в издательстве. Надо было (-1)^{n(n-1)/2}n, что дает $(-1)^{n(n-1)/2}n$, а набрали (-1)^{n(n-1)}2n, что дает $(-1)^{n(n-1)}2n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.11.2022, 23:05 


03/06/12
2742
vpb в сообщении #1570124 писал(а):
Конечно ошибка. Не математическая, а при наборе в ТеХе в издательстве.

Ну где-то глубоко внутри себя у меня тоже это сидело. Только у меня сюда приплеталось еще и
Используется синтаксис LaTeX
\frac

и потому ошибка в издательстве казалась мне еще менее вероятной. Спасибо. Решаю дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 18:01 


03/06/12
2742
Посмотрите, пожалуйста, задачу 15.3:
Изображение
Мне кажется, что здесь на самом деле хотели написать $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots+a_{n}x^{n-1}$. Например, при $n=3$ получу:

(Оффтоп)

Пусть $\epsilon_{1},\,\epsilon_{2},\epsilon_{3}$ - все 3 значения кубического корня из 1. Имеет место следующее равенство: $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=(\epsilon_{2}-\epsilon_{1})(\epsilon_{3}-\epsilon_{1})(\epsilon_{3}-\epsilon_{2})$. Т. к. все 3 числа попарно неравны, то
$$\begin{equation}
\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}\ne0
\end{equation}$$
Далее могу написать: $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2}\\
a_{3}+a_{1}\epsilon_{1}+a_{2}\epsilon_{1}^{2} & a_{3}+a_{1}\epsilon_{2}+a_{2}\epsilon_{2}^{2} & a_{3}+a_{1}\epsilon_{3}+a_{2}\epsilon_{3}^{2}\\
a_{2}+a_{3}\epsilon_{1}+a_{1}\epsilon_{1}^{2} & a_{2}+a_{3}\epsilon_{2}+a_{1}\epsilon_{2}^{2} & a_{2}+a_{3}\epsilon_{3}+a_{1}\epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=$

$\begin{vmatrix}a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2} & a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2}\\
\epsilon_{1}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2}) & \epsilon_{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2}) & \epsilon_{3}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\\
\epsilon_{1}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2}) & \epsilon_{2}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2}) & \epsilon_{3}^{2}(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})
\end{vmatrix}=$

$(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}$. Итак, получили следующее равенство: $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}=(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})\cdot$
$(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
\epsilon_{1} & \epsilon_{2} & \epsilon_{3}\\
\epsilon_{1}^{2} & \epsilon_{2}^{2} & \epsilon_{3}^{2}
\end{vmatrix}$. Откуда, в силу (1): $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & a_{1}
\end{vmatrix}=(a_{1}+a_{2}\epsilon_{1}+a_{3}\epsilon_{1}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{2}+a_{3}\epsilon_{2}^{2})(a_{1}+a_{2}\epsilon_{3}+a_{3}\epsilon_{3}^{2})$

И вот, у меня такое впечатление, что ситуация здесь в точности та же, что и в предыдущем случае: ошибка была допущена при наборе в ТеХ; просто вместо верхнего индекса вляпали нижний. Это же опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 21:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, это опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.11.2022, 23:22 


03/06/12
2742
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 00:37 


03/06/12
2742
Посмотрите, пжл, задачу 16.4, б):
Изображение
Большие сомнения вызывают указанный там вид взаимной матрицы для данной матрицы $A$ в случае $n>2$. Умножение что слева, что справа данной матрицы $A$ на свою взаимную должно давать диагональную матрицу. Этим свойством, вообще говоря, не обладает матрица, заявленная в задаче для этого случая, как матрица, взаимная для данной матрицы $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 03:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid
В задаче 16.4,б не $\hat{A}$ (взаимная к матрице $A$), а $\hat{\hat{A}}$ (взаимная к взаимной к матрице $A$).
Надо доказать, что дважды повторённая операция "взять взаимную матрицу" возвращает Вас к исходной матрице $A$ (с точностью до числового коэффициента $|A|^{n-2}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.11.2022, 03:23 


03/06/12
2742
svv
Точно! А я вторую крышечку-то и не замечал.

-- 21.11.2022, 04:26 --

Тогда как будто интересная задачка получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.12.2022, 23:40 


03/06/12
2742
Что-то не пойму в продолжение вот этого:
Sinoid в сообщении #1570637 писал(а):
Посмотрите, пжл, задачу 16.4, б):

Пусть $A$ - вырожденная матрица порядка пока больше 2. Тогда необязательно же, что $\hat{\hat{A}}=0$? По-моему, необязательно. Вычислить $\hat{\hat{A}}$ для невырожденной матрицы получилось, все нормально. Просто в процессе этого вычисления использовалось деление на $\left|A\right|$ - определитель матрицы $A$. А вот для вырожденной??? Ну необязана дважды присоединенная быть нулевой!

-- 06.12.2022, 00:51 --

Определитель дважды присоедененной матрицы ($\hat{\hat{A}}$) - да, равен 0. А вот сама эта матрица - ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.12.2022, 06:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Всё правильно, $\hat{\hat{A}}$ будет нулевая. Дело в том, что если $A$ вырожденная, ранг $\hat A$ может быть лишь $0$ (если $\operatorname{rank}A\leqslant n-2$) или $1$ (если $\operatorname{rank}A=n-1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.12.2022, 14:58 


03/06/12
2742
Да, понял. Спасибо.

svv в сообщении #1572759 писал(а):
Всё правильно,

Вообще-то конечный вывод у меня как раз был неправильный. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 19:35 


03/06/12
2742
Посмотрите, пожалуйста, задачу 16.6:
Изображение
В случае же $m\leqslant n$ приведенная же формула неверна? У меня получилось, что в этом случае $C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\
j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}
\end{pmatrix}={\displaystyle \sum_{1\leqslant k_{1}<k_{2}<\ldots<k_{m}\leqslant n}}A\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\
k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}
\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\\
j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}
\end{pmatrix}$. У меня выкладки сделаны на компе, в общем случае. В случае необходимости только скажите: я или их скопирую, или покажу на каком-нибудь частном примере.

-- 08.12.2022, 20:48 --

Но ответ явно не от задачи такого типа: набор индексов сверху у одного множителя и снизу у другого не совпадает ни в каком порядке. Обычно ждешь, так сказать, сокращения такой пары совпадающих индексов, чаще, наверное, из правого верхнего угла в левый нижний, хотя, по поводу "чаще" - это, скорее, субъективно. Разумеется, можно на раз превратить "из правого верхнего угла в левый нижний" в "из левого верхнего угла в правый нижний".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.12.2022, 21:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1573123 писал(а):
$C\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}={\displaystyle \sum_{1\leqslant k_{1}<k_{2}<\ldots<k_{m}\leqslant n}}A\begin{pmatrix}i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{m}\\k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{m}\\j_{1} & j_{2} & \ldots & j_{m}\end{pmatrix}$
Да, правильно. См. Гантмахер, Теория матриц, стр. 17-18 (формула Бине-Коши, в чуть менее общем виде, но это непринципиально).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group