Сегодня читал у Маклейна про категории функторов. Там был пример с моноидом

(категорией с единственным объектом) и категорией

(категорией функторов из

в

). Я начинаю читать строчку: "Если

- моноид... ", останавливаюсь на слове "моноид", чтобы воспроизвести в уме оставшийся абзац, а затем сравнить с текстом. Сразу пришла в голову мысль: "рассмотрю ка я вместо моноида сначала группу, а потом уже моноид". Все легко: под группой

подразумевается категория с одним объектом, где все стрелки обратимы (категории, где все стрелки обратимы, называются
группоидами). Рассмотрим вместо

категорию с теми же объектами, но вместо стрелок будем брать не любые функции между множествами, а только биекции (не знаю, как эту категорию обозначить, пусть будет

). Первая радость: функтор из

в

- это действие группы

на множестве

- образе этого функтора! Значит категория функторов

будет состоять из действий группы

- очень неплохо. Стрелками будут естественные преобразования действий. Раз в

у нас только биекции, значит и естественные преобразования - биективные функции. Хочется назвать стрелки в

"изоморфизмами действий". Ловлю себя на мысли, что такое словосочетание я где-то уже слышал. Полез в "Курс алгебры" Винберга в параграф о действиях групп. Читаю и офигеваю - там как раз написано об эквивариантных отображениях и изоморфизмах действий. Весь этот сюжет для меня поразительный, но самое поразительное в другом. Эти эквивариантные отображения (когда я их читал у Винберга) заняли в моем личном рейтинге первую строчку в списке самых неестественных конструкций из теории групп (да и из всей алгебры). Я без преувеличения несколько дней безуспешно пытался осознать ту страницу у Винберга и каждый раз бросал с мыслью: "Какая же все это искусственная дичь". По итогу кстати так ничего и не осознал и никогда бы не вспомнил, если бы меня попросили воспроизвести ту страницу по памяти. Но сейчас, когда я понял категорную интерпретацию этой темы, я могу сказать, что это максимально естественные объекты. И сейчас они занимают первые строчки уже в другом моем рейтинге - самых приятных конструкций. Наверное в этом и заключается самая большая радость в математике - ловить такие взлеты после казалось бы мертвых падений.