2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.12.2021, 18:33 
Заблокирован


16/04/18

1129
Lexey - мне тоже интересна ссылка на фазовые функции, что под этим имеется в виду.
Про преобразование Фурье - если гиперболический косинус определён в задаче только на отрезке, где под корнем неотрицательно, то наверное это теорема Пэли-Винера, мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.12.2021, 20:03 


17/09/06
429
Запорожье
novichok2018 в сообщении #1542230 писал(а):
если гиперболический косинус определён в задаче только на отрезке, где под корнем неотрицательно

В том то и фокус что функция $\cosh(a\sqrt{1-x^2})$ аналитична и действительна на всем $\mathbb R$ несмотря на мнимость корня при $|x| >1$, имеет лишь устранимую особенность в точках $|x|=1$, ведет себя совершенно по разному по разные стороны этих точек, но все производные сходятся в этих точках с разных сторон к одному значению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.12.2021, 21:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
Раз преобразование Фурье финитно, то функция является целой конечного порядка, порядок определяется явно размером носителя. Это всё равно Пэли-Винер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.12.2021, 21:36 


17/09/06
429
Запорожье
Aritaborian в сообщении #1542224 писал(а):
Lexey, не подскажете, где почитать о том, что такое аналитические функции с фазовым переходом?

Нет, вообще сомневаюсь что существует такой общепринятый термин, лишь где-то не помню где встречал это выржение "фазовый переход" в подобном контексте когда комплексная переменная резко меняет фазу (аргумент имеется ввиду), как корень когда под корнем меняется знак. Я сам случайно открыл для себя такие функции играя формулами в Маткаде. Для профессионального математика вероятно в этом ничего удивителього и нет. Мне самому интересно было бы почитать, может есть какая-то теория про такие функции? У меня же получился ряд таких функций, отличающихся степенью затухания хвоста, которым дальше можно изгибать форму этого хвоста всякими аддитивными членами по вкусу. Практически эти функции могут быть привлекательны для аподизации в оптике, спектральном анализе и прочей цифровой обработке сигналов.

-- Чт дек 09, 2021 20:50:50 --
novichok2018, Честно говоря, в Пэли-Винера особо не вникал, мне как-то хватило Шварца, и мне казалось что Шварц - это обобщение и усиление Пэли-Винера, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.12.2021, 15:34 
Аватара пользователя


23/07/21
18
Ну это просто надо понимать, что аналитическая функция - это нечто единое целое на комплексной плоскости, и при ограничении области ее определения (например, действительными числами) мы видим лишь часть этого целого. Вот экспонента для действительного аргумента - это быстро возрастающая функция, а для чисто мнимого - периодическая (осциллирующая), а на самом деле это одна и та же функция. А тут просто с помощью корня составили такую функцию, чтобы в область действительных чисел попал и осциллирующий "кусок", и экспоненциально возрастающий.
Еще можно подметить, что данная функция однозначна, несмотря на двузначность входящего в нее корня, хотя это совсем банально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение29.12.2021, 06:35 


28/07/13
165
В каждый момент времени на земле есть две диаметрально противоположные точки с одинаковыми температурой и давлением. Можно взять любые другие две скалярные непрерывные величины.

Классическая теорема алгебраической топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.02.2022, 01:23 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
У кольца целых функций (то есть голоморфных $\mathbb C\to\mathbb C$) глобальная гомологическая размерность $\geqslant 3$, но посчитать её нельзя: для каждого натурального числа $d\geqslant 3$, равно как и для $d=\infty$, утверждение "глобальная размерность равна $d$" совместно с ZFC. Если исходить из ZFC + континуум-гипотеза, то она всё-таки ровно 3.
Christian U. Jensen, Propriétés homologiques et logiques des anneaux de fonctions entières. C. R. Acad. Se. Paris, t. 294 (22 mars 1982), série 1, p. 385 -- 386.
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5533945n/f15.item
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55521439/f17.item

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение21.02.2022, 20:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Поразило тривиальное категорное рассуждение, доказывающее следующее
Предложение. Любые два отображения произвольного топологического пространства $X$ в стягиваемое пространство $Y$ гомотопны.
Доказательство. Стягиваемость $Y$ равносильна изоморфизму $Y$ одноточечному пространству в категории $\mathbf{ hTop}$ ( объекты -- топологические пространства, морфизмы -- классы эквивалентности гомотопных отображений). Так как одноточечное пространство является, очевидно, терминальным объектом, а объект, изоморфный терминальному, сам является терминальным, то $\operatorname{Hom}_{\mathbf{hTop}}(X,Y)$ состоит из одного элемента для любого пространства $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение06.09.2022, 18:25 


22/10/20
1050
Сегодня читал у Маклейна про категории функторов. Там был пример с моноидом $\mathbf{M}$ (категорией с единственным объектом) и категорией $\mathbf{Set^M}$ (категорией функторов из $\mathbf{M}$ в $\mathbf{Set}$). Я начинаю читать строчку: "Если $M$ - моноид... ", останавливаюсь на слове "моноид", чтобы воспроизвести в уме оставшийся абзац, а затем сравнить с текстом. Сразу пришла в голову мысль: "рассмотрю ка я вместо моноида сначала группу, а потом уже моноид". Все легко: под группой $\mathbf{G}$ подразумевается категория с одним объектом, где все стрелки обратимы (категории, где все стрелки обратимы, называются группоидами). Рассмотрим вместо $\mathbf{Set}$ категорию с теми же объектами, но вместо стрелок будем брать не любые функции между множествами, а только биекции (не знаю, как эту категорию обозначить, пусть будет $\mathbf{Set_{1-1}}$). Первая радость: функтор из $\mathbf{G}$ в $\mathbf{Set_{1-1}}$ - это действие группы $G$ на множестве $X$ - образе этого функтора! Значит категория функторов $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ будет состоять из действий группы $G$ - очень неплохо. Стрелками будут естественные преобразования действий. Раз в $\mathbf{Set_{1-1}}$ у нас только биекции, значит и естественные преобразования - биективные функции. Хочется назвать стрелки в $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ "изоморфизмами действий". Ловлю себя на мысли, что такое словосочетание я где-то уже слышал. Полез в "Курс алгебры" Винберга в параграф о действиях групп. Читаю и офигеваю - там как раз написано об эквивариантных отображениях и изоморфизмах действий. Весь этот сюжет для меня поразительный, но самое поразительное в другом. Эти эквивариантные отображения (когда я их читал у Винберга) заняли в моем личном рейтинге первую строчку в списке самых неестественных конструкций из теории групп (да и из всей алгебры). Я без преувеличения несколько дней безуспешно пытался осознать ту страницу у Винберга и каждый раз бросал с мыслью: "Какая же все это искусственная дичь". По итогу кстати так ничего и не осознал и никогда бы не вспомнил, если бы меня попросили воспроизвести ту страницу по памяти. Но сейчас, когда я понял категорную интерпретацию этой темы, я могу сказать, что это максимально естественные объекты. И сейчас они занимают первые строчки уже в другом моем рейтинге - самых приятных конструкций. Наверное в этом и заключается самая большая радость в математике - ловить такие взлеты после казалось бы мертвых падений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.11.2022, 07:16 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь.

(Ответ для тех, кто не хочет смотреть трёхминутное видео)

Куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.11.2022, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4604
Aritaborian в сообщении #1569798 писал(а):
Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь.
Здорово. Интересно, что будет получаться в пространствах большей размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.11.2022, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4604
Кажется вероятным, что начиная со случая четырёх измерений, процедуру вообще не получится выполнить без самопересечений. То есть симплексы будут "налезать" друг на друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение13.11.2022, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Aritaborian в сообщении #1569798 писал(а):
Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь
Достаточно посмотреть 10 секунд видео (от 1:33 до 1:43). Остальные три с лишним минуты - в основном болтовня :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение09.02.2023, 22:14 


18/01/23
4
Меня удивило то что натуральных, четных и рациональных чисел, если конечно так можно выразиться, одинаковое "количество".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение10.02.2023, 18:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
MrAsasin243
И даже "определимых" чисел лишь счётное множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 886 ]  На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group