Что Вас потрясло в математике?

[novichok2018]

Lexey - мне тоже интересна ссылка на фазовые функции, что под этим имеется в виду.
Про преобразование Фурье - если гиперболический косинус определён в задаче только на отрезке, где под корнем неотрицательно, то наверное это теорема Пэли-Винера, мне кажется.

[Lexey]

novichok2018 в сообщении #1542230 писал(а):

если гиперболический косинус определён в задаче только на отрезке, где под корнем неотрицательно

В том то и фокус что функция $\cosh(a\sqrt{1-x^2})$ аналитична и действительна на всем $\mathbb R$ несмотря на мнимость корня при $|x| >1$, имеет лишь устранимую особенность в точках $|x|=1$, ведет себя совершенно по разному по разные стороны этих точек, но все производные сходятся в этих точках с разных сторон к одному значению.

[novichok2018]

Раз преобразование Фурье финитно, то функция является целой конечного порядка, порядок определяется явно размером носителя. Это всё равно Пэли-Винер.

[Lexey]

Aritaborian в сообщении #1542224 писал(а):

Lexey, не подскажете, где почитать о том, что такое аналитические функции с фазовым переходом?

Нет, вообще сомневаюсь что существует такой общепринятый термин, лишь где-то не помню где встречал это выржение "фазовый переход" в подобном контексте когда комплексная переменная резко меняет фазу (аргумент имеется ввиду), как корень когда под корнем меняется знак. Я сам случайно открыл для себя такие функции играя формулами в Маткаде. Для профессионального математика вероятно в этом ничего удивителього и нет. Мне самому интересно было бы почитать, может есть какая-то теория про такие функции? У меня же получился ряд таких функций, отличающихся степенью затухания хвоста, которым дальше можно изгибать форму этого хвоста всякими аддитивными членами по вкусу. Практически эти функции могут быть привлекательны для аподизации в оптике, спектральном анализе и прочей цифровой обработке сигналов.

-- Чт дек 09, 2021 20:50:50 --
novichok2018, Честно говоря, в Пэли-Винера особо не вникал, мне как-то хватило Шварца, и мне казалось что Шварц - это обобщение и усиление Пэли-Винера, разве нет?

[B.A.S.]

Ну это просто надо понимать, что аналитическая функция - это нечто единое целое на комплексной плоскости, и при ограничении области ее определения (например, действительными числами) мы видим лишь часть этого целого. Вот экспонента для действительного аргумента - это быстро возрастающая функция, а для чисто мнимого - периодическая (осциллирующая), а на самом деле это одна и та же функция. А тут просто с помощью корня составили такую функцию, чтобы в область действительных чисел попал и осциллирующий "кусок", и экспоненциально возрастающий.
Еще можно подметить, что данная функция однозначна, несмотря на двузначность входящего в нее корня, хотя это совсем банально.

[user14284]

В каждый момент времени на земле есть две диаметрально противоположные точки с одинаковыми температурой и давлением. Можно взять любые другие две скалярные непрерывные величины.

Классическая теорема алгебраической топологии.

[Slav-27]

У кольца целых функций (то есть голоморфных $\mathbb C\to\mathbb C$) глобальная гомологическая размерность $\geqslant 3$, но посчитать её нельзя: для каждого натурального числа $d\geqslant 3$, равно как и для $d=\infty$, утверждение "глобальная размерность равна $d$" совместно с ZFC. Если исходить из ZFC + континуум-гипотеза, то она всё-таки ровно 3.
Christian U. Jensen, Propriétés homologiques et logiques des anneaux de fonctions entières. C. R. Acad. Se. Paris, t. 294 (22 mars 1982), série 1, p. 385 -- 386.
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5533945n/f15.item
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55521439/f17.item

[Padawan]

Поразило тривиальное категорное рассуждение, доказывающее следующее
Предложение. Любые два отображения произвольного топологического пространства $X$ в стягиваемое пространство $Y$ гомотопны.
Доказательство. Стягиваемость $Y$ равносильна изоморфизму $Y$ одноточечному пространству в категории $\mathbf{ hTop}$ ( объекты -- топологические пространства, морфизмы -- классы эквивалентности гомотопных отображений). Так как одноточечное пространство является, очевидно, терминальным объектом, а объект, изоморфный терминальному, сам является терминальным, то $\operatorname{Hom}_{\mathbf{hTop}}(X,Y)$ состоит из одного элемента для любого пространства $X$.

[EminentVictorians]

Сегодня читал у Маклейна про категории функторов. Там был пример с моноидом $\mathbf{M}$ (категорией с единственным объектом) и категорией $\mathbf{Set^M}$ (категорией функторов из $\mathbf{M}$ в $\mathbf{Set}$). Я начинаю читать строчку: "Если $M$ - моноид... ", останавливаюсь на слове "моноид", чтобы воспроизвести в уме оставшийся абзац, а затем сравнить с текстом. Сразу пришла в голову мысль: "рассмотрю ка я вместо моноида сначала группу, а потом уже моноид". Все легко: под группой $\mathbf{G}$ подразумевается категория с одним объектом, где все стрелки обратимы (категории, где все стрелки обратимы, называются группоидами). Рассмотрим вместо $\mathbf{Set}$ категорию с теми же объектами, но вместо стрелок будем брать не любые функции между множествами, а только биекции (не знаю, как эту категорию обозначить, пусть будет $\mathbf{Set_{1-1}}$). Первая радость: функтор из $\mathbf{G}$ в $\mathbf{Set_{1-1}}$ - это действие группы $G$ на множестве $X$ - образе этого функтора! Значит категория функторов $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ будет состоять из действий группы $G$ - очень неплохо. Стрелками будут естественные преобразования действий. Раз в $\mathbf{Set_{1-1}}$ у нас только биекции, значит и естественные преобразования - биективные функции. Хочется назвать стрелки в $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ "изоморфизмами действий". Ловлю себя на мысли, что такое словосочетание я где-то уже слышал. Полез в "Курс алгебры" Винберга в параграф о действиях групп. Читаю и офигеваю - там как раз написано об эквивариантных отображениях и изоморфизмах действий. Весь этот сюжет для меня поразительный, но самое поразительное в другом. Эти эквивариантные отображения (когда я их читал у Винберга) заняли в моем личном рейтинге первую строчку в списке самых неестественных конструкций из теории групп (да и из всей алгебры). Я без преувеличения несколько дней безуспешно пытался осознать ту страницу у Винберга и каждый раз бросал с мыслью: "Какая же все это искусственная дичь". По итогу кстати так ничего и не осознал и никогда бы не вспомнил, если бы меня попросили воспроизвести ту страницу по памяти. Но сейчас, когда я понял категорную интерпретацию этой темы, я могу сказать, что это максимально естественные объекты. И сейчас они занимают первые строчки уже в другом моем рейтинге - самых приятных конструкций. Наверное в этом и заключается самая большая радость в математике - ловить такие взлеты после казалось бы мертвых падений.

[Aritaborian]

Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь.

(Ответ для тех, кто не хочет смотреть трёхминутное видео)

Куб.

[Mikhail_K]

Aritaborian в сообщении #1569798 писал(а):

Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь.

Здорово. Интересно, что будет получаться в пространствах большей размерности.

[Mikhail_K]

Кажется вероятным, что начиная со случая четырёх измерений, процедуру вообще не получится выполнить без самопересечений. То есть симплексы будут "налезать" друг на друга.

[Droog_Andrey]

Aritaborian в сообщении #1569798 писал(а):

Что получится, если попытаться построить трёхмерный аналог снежинки Коха? Ни за что не догадаетесь

Достаточно посмотреть 10 секунд видео (от 1:33 до 1:43). Остальные три с лишним минуты - в основном болтовня :)

[MrAsasin243]

Меня удивило то что натуральных, четных и рациональных чисел, если конечно так можно выразиться, одинаковое "количество".

[svv]

MrAsasin243
И даже "определимых" чисел лишь счётное множество.