Что Вас потрясло в математике?

[nnosipov]

Farest2 в сообщении #1432428 писал(а):

чтобы не мечтать о других простых возможных вариантах (типа A=B), кроме равенства $S_3=S_1^2$.

Но есть вот такой вариант: $S_5+S_7=2S_1^4$.

[Farest2]

nnosipov в сообщении #1432432 писал(а):

Но есть вот такой вариант:

Если позволить использовать суммы, то $4S_1^3=S_3+3S_5$ и $3S_2^2=S_3+2S_5$ можно добавить, но это уже (имхо) не так изящно, как исходное равенство.

[PhisicBGA]

Farest2 писал(а):

Достаточно вспомнить

$$S_k\stackrel{\rm def}{=}1^k+2^k+\ldots+n^k=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{n^k}{2}+\ldots,$$

чтобы не мечтать о других простых возможных вариантах (типа A=B), кроме равенства $S_3=S_1^2$.

nnosipov писал(а):

Но есть вот такой вариант: $S_5+S_7=2S_1^4$.

Farest2 писал(а):

Если позволить использовать суммы, то $4S_1^3=S_3+3S_5$ и $3S_2^2=S_3+2S_5$ можно добавить, но это уже (имхо) не так изящно, как исходное равенство.

А вот это уже ответ!Спасибо!Суммы просто необходимо позволить использовать,судя по Вашему первому сообщению.Вот в этом и заключается потрясение.Получается,по-моему,не менее изящно. Мне эти равенства подарила Великая Теорема Ферма.В это волшебное время - канун Нового Года и Рождества,я хотел поделиться этим подарком с Вами:

$$(1+2+3\ldots +n)^2=1^3+2^3+3^3\ldots +n^3$$

$$(1+2+3\ldots +n)^3= 3/4(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5)+1/4(1^3+2^3+3^3\ldots +n^3) $$

$$(1+2+3\ldots +n)^4= 1/2(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7)+1/2(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5) $$

$$(1+2+3\ldots +n)^5= 5/16(1^9+2^9+3^9\ldots +n^9)+10/16(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7)+1/16(1^5+2^5+3^5\ldots +n^5) $$

$$(1+2+3\ldots +n)^6= 3/16(1^1^1+2^1^1+3^1^1\ldots +n^1^1)+10/16(1^9+2^9+3^9\ldots +n^9)+3/16(1^7+2^7+3^7\ldots +n^7) $$

и т.д.
Похоже и в математике действует золотое правило:хорошая теория должна не только объяснить полученные факты (новое свойство степеней в Великой Теореме Ферма),но и предсказать новые.

[Droog_Andrey]

$(2S_1)^2 = 4S_3$
$(2S_1)^3 = 6S_5+2S_3$
$(2S_1)^4 = 8S_7+8S_5$
$(2S_1)^5 = 10S_9+20S_7+2S_5$
$(2S_1)^6 = 12S_{11}+40S_9+12S_7$

Первые коэффициенты очевидны, а вот остальные в общем виде вывести непросто :)

[arseniiv]

И по OEIS плохо как-то ищется, уж в какой форме ни задавал…

[grizzly]

Droog_Andrey в сообщении #1433759 писал(а):

Первые коэффициенты очевидны, а вот остальные в общем виде вывести непросто :)

Вторые тоже несложно заметить: $\displaystyle 2\binom{n}{3}$

arseniiv в сообщении #1433785 писал(а):

И по OEIS плохо как-то ищется

Хм, странно.

-- 07.01.2020, 11:55 --

Ну и следующие коэффициенты такого же типа: $\displaystyle 2\binom{n}{5}$, $\displaystyle 2\binom{n}{7}$, ...

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1433788 писал(а):

Хм, странно.

Агааа! А я искал все коэффициенты скопом: треугольную таблицу выпрямлял и т. п.. Не подумал искать по частям.

[PhisicBGA]

grizzly писал(а):

Ну и следующие коэффициенты такого же типа: $\displaystyle 2\binom{n}{5}$, $\displaystyle 2\binom{n}{7}$, ...

Ну,конечно,правильно:
$(2S_1)^2 = 4S_3$
$(2S_1)^3 = 6S_5+2S_3$
$(2S_1)^4 = 8S_7+8S_5$
$(2S_1)^5 = 10S_9+20S_7+2S_5$
$(2S_1)^6 = 12S_{11}+40S_9+12S_7$
$(2S_1)^7 = 14S_{13}+70S_{11}+42S_9+2S_7$
$(2S_1)^8 = 16S_{15}+112S_{13}+112S_{11}+16S_9$
$(2S_1)^9 = 18S_{17}+168S_{15}+252S_{13}+72S_{11}+2S_9$
$(2S_1)^1^0 = 20S_{19}+240S_{17}+504S_{15}+240S_{13}+20S_{11}$
И это только "десятая доля таких красот и чудес"!Всех - со светлым праздником Рождества!

[Sycamore]

Sicker в сообщении #1390725 писал(а):

А почему про континуум не пишут?

кстати, а что будет (с анализом, скажем), если попытаться заменить наш континуум действительных чисел континуумом Суслина из его известной, неразрешимой в ZFC гипотезы?

[Someone]

Sycamore в сообщении #1444422 писал(а):

что будет (с анализом, скажем), если попытаться заменить наш континуум действительных чисел континуумом Суслина

Не будет никакого анализа, потому что на континууме Суслина нет арифметических операций.

[Sycamore]

наверно нельзя наделить метрикой?

[Someone]

Sycamore в сообщении #1444428 писал(а):

наверно нельзя наделить метрикой?

Нельзя. Но это не самое важное, обошлись бы и топологией. Но множеству действительных чисел континуум Суслина никак не соответствует.

[Dmitriy40]

Добавлю ещё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств. Т.е. ряд последовательных расширений понятий "натуральные - целые - рациональные - действительные - комплексные" на них и обрывается, дальше его не продолжить. Поразительно даже не что обрывается, а что это смогли доказать, что как-бы не изгалялись, любое расширение или что-то потеряет, или сводится к самим комплексным. Вот так взять и одним махом обрубить всё ещё даже не придуманное ... это сильно, по моему.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1524387 писал(а):

ё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств.

Так ведь при переходе к комплексным уже теряются важные свойства: упорядоченность, согласованная с операциями.
А другие важные свойства порядка теряются еще раньше.
Так что, все по законам сохранения, как в песенке: "кто-то теряет, кто-то находит". Точнее, в нашем случае, что-то теряем, что-то приобретаем.

[Anton_Peplov]

Dmitriy40 в сообщении #1524387 писал(а):

Добавлю ещё что меня поразило: доказательство что комплексные числа являются таким "последним из могикан", не расширяемы дальше без потери каких-то важных свойств. Т.е. ряд последовательных расширений понятий "натуральные - целые - рациональные - действительные - комплексные" на них и обрывается, дальше его не продолжить.

Не на комплексных, а на действительных. Действительные числа - это максимальное упорядоченное поле, то есть в нём выполняются аксиомы поля (см. определение поля в алгебре) и есть отношение сравнения $>$, согласованное с этими операциями привычным образом.
На комплексных же числах нельзя ввести операцию сравнения так, чтобы из $a, b>0$ следовало $ab>0$, и для $z \ne 0$ числа $z$ и $-z$ были разных знаков.

(Доказательство)

Предположим, что такая операция введена. Рассмотрев произвольное $z \in \mathbb C, z \ne 0$, видим, что $z^2 > 0$ (если $z > 0$, то как $zz$, а если $z < 0$, то как $(-z)(-z)$). В частности, $1 = 1^2 > 0$ и $-1 = i^2 > 0$. Т.е. $1$ и $-1$ получаются одного знака. Противоречие.