Alex Krylov
Полистайте тему: здесь люди делятся поразившими математическими результатами, построениями, конструкциями etc.
Вы кидаете список литературы - но зачем? Что, надо все это изучить и догадаться, что же Вас из этого поразило (в чем, собс-но, мощь состоит)?
Впрочем, воля Ваша, конечно.
Давайте через "игрушечный" примерчик...
Дан полином

. Он имеет два минимума в точках

. В обоих случаях минимум равен

. Хотим найти глобальный минимум этого полинома на интервале
![$[-2, 2]$ $[-2, 2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/b/4bb9a5f870aaa7f7299e36a38f7b8a4b82.png)
, т.е. хотим решить задачу:
![$\min\limits_{x}\left\lbrace p(x): x\in[-2; 2] \right\rbrace$ $\min\limits_{x}\left\lbrace p(x): x\in[-2; 2] \right\rbrace$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af38be26aaf563b9e77d276b71c5f58682.png)
. Эта задача, очевидно, эквивалентна следующей:
![$\sup\limits_{}\left\lbrace \lambda: p(x)-\lambda>0 \forall x\in[-2; 2] \right\rbrace$ $\sup\limits_{}\left\lbrace \lambda: p(x)-\lambda>0 \forall x\in[-2; 2] \right\rbrace$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/3/163c5ab4aad537d3866c0d60d940bc1b82.png)
.
Для полинома

, положительного на отрезке
![$[-2, 2]$ $[-2, 2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/b/4bb9a5f870aaa7f7299e36a38f7b8a4b82.png)
справедливо представление

, где

. Приводя подобные члены, получим:

В итоге приходим к следующей задаче выпуклого (полуопределенного) программирования:

Двойственная задача тут еще интересней: вместо исходной целевой функции минимизируется её мат. ожидание:

... минимизируется оно по совокупности моментов

вероятностной меры, сосредоточенной на
![$[-2; 2]$ $[-2; 2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/e/b0e9fb14110acbd5d4eea742990579b382.png)
. Условия того, что эти моменты, по которым происходит минимизация, являются моментами не просто меры вероятностной, но вероятностной меры, сосредоточенной на
![$[-2; 2]$ $[-2; 2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/e/b0e9fb14110acbd5d4eea742990579b382.png)
, задаются в виде двух линейных матричных неравенств (относительно этих моментов). Глобальному минимуму, очевидно, соответствует
атомарная мера с атомами в точках минимума

- эта ситуация алгоритмически фиксируется с помощью специального рангового условия для так называемой матрицы моментов. Если мы отфиксировали, что моменты, полученные в результате решения (двойственной) оптимизационной задачи, соответствуют атомарной мере, то мы можем (с помощью методов линейной алгебры)
экстрагировать сами атомы.
С помощью
Теоремы Путинара о представлении полиномов, положительных на компактных полуалгебраических множествах (в англоязычной литературе -
Putinar's Positivstellensatz), этот подход (который я тут попытался обрисовать в режиме "express") распространяется на многомерный случай (общий случай глобальной полиномиальной оптимизации). Приведенная литература - она обо всем об этом... и о соотв. приложениях в теории управления, теории устойчивости, теории вероятностей итд...