Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

Это, я не бросил, ничего. Просто завис с одной задачей в плане физической трудности расписать. 5 дней целыми днями писал, нужно писать системы со слагаемыми наподобие $a_{q_{v}-1\, r_{v}+1}^{(v)}x_{r_{v}+1}^{(v)}$, половину написал, язык высунул, чуть отвлекся, сейчас вторую половину пишу. Когда напишу не знаю: по объему столько же, но графически немного сложнее. А решение этой задачи мне нужно иметь перед глазами для решения другой, которая у меня ранее не получалась.

[Sinoid]

В задаче 11.10, д) требуется вычислить вот такой определитель:

Скажите, пожалуйста, это же опечатка? На самом же деле имелось ввиду вычисление вот такого определителя: $\begin{vmatrix}1+a_{1}+b_{1} & a_{1}+b_{2} & \ldots & a_{1}+b_{n}\\ a_{2}+b_{1} & 1+a_{2}+b_{2} & \ldots & a_{2}+b_{n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n}+b_{1} & a_{n}+b_{2} & \ldots & 1+a_{n}+b_{n} \end{vmatrix}$ ?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Скачал издание 2001 (это оно?), прочёл в предисловии: «Вышедшее в 1995 году достаточно большим тиражём второе издание задачника...». Подумал, что удивляться после этого опечаткам не стоит.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1568524 писал(а):

это оно?

Да, это оно.

Aritaborian в сообщении #1568524 писал(а):

Подумал, что удивляться после этого опечаткам не стоит.

Ну уже в этой теме не раз признавалось ЗУ, что в этом комплекте (теория-задачник) содержится достаточно большое количество опечаток. И тем не менее очень бы хотелось услышать рецензии экспертов в конкретных случаях.

[svv]

Да, в данном случае в условии опечатка, и Вы её правильно исправили.

[Sinoid]

Да, спасибо большое.

[Sinoid]

Теперь вот что. В задаче 12.3, и) требуется вычислить следующий определитель: $\begin{vmatrix}a_{0} & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & a_{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & a_{3} & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{9}\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n-3} & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{n-2} & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & a_{n-1} & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & a_{n} \end{vmatrix}$ (я его расписал в более увеличенном масштабе, чтоб было, с чем работать). У меня получился в черновике следующий ответ: $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n-1}a_{n}-a_{1}a_{2}\ldots a_{n-2}a_{n-1}-a_{1}a_{2}\ldots a_{n-3}a_{n-2}a_{n}-a_{1}a_{2}\ldots a_{n-3}a_{n-1}a_{n}-\ldots-a_{1}a_{2}a_{4}\ldots a_{n-1}a_{n}-a_{1}a_{3}\ldots a_{n-1}a_{n}-a_{2}a_{3}\ldots a_{n-1}a_{n}$. В ответе же предоставлено в следующей форме: $a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\left(a_{0}-\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2}}-\dfrac{1}{a_{n}}\right)$. Скажите, пжл, это же, вообще говоря, представление ответа в таком виде не является желательным? Ответ в таком виде не определен, например, на некотором наборе значений переменных $a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots,\, a_{n}$, где при некотором $i\in\left\{ 1,\,2,\,\ldots\,,n\right\} $ $a_i=0$, в то время как и исходный определитель, и моя форма записи ответа прекрасно определены и на этом наборе значений. Ведь так? А в ответе же записано в такой форме исключительно из-за того, что такая форма записи проще. Правильно же?

[svv]

Вы, конечно, правы, и запись с помощью дробей «не работает» при $a_k=0\;(k=1...n)$. Но есть несколько соображений в её защиту.

1) Определитель является непрерывной функцией своих элементов. Более того, определитель как функция любого элемента $a_{ik}$ при фиксированных остальных элементах — всего лишь полином первой степени от $a_{ik}$ (доказывается разложением определителя по элементам $i$-й строки). Поэтому, если, например, $a_1=0$, можно внести $a_1$ под скобки и только потом подставить нуль. То есть восстановить значение определителя как функции $a_1$ в нуле по непрерывности. Получим
$a_{2}\ldots a_{n}\left(a_1a_{0}-1-\frac{a_1}{a_{2}}-...-\frac{a_1}{a_{n}}\right)=-a_{2}\ldots a_{n}$
Если же, скажем, $a_1=a_2=0$, определитель обратится в нуль как имеющий два одинаковых столбца (и две одинаковых строки).

2) Ответ в задачнике намекает на очень простой способ его получения (в этой задаче удобно строки и столбцы нумеровать с нуля):
Для каждого $k=1...n$ вычтем из нулевого столбца $k$-й, умноженный на $\frac 1{a_k}$. Тогда левый верхний элемент станет $a_0-\frac 1{a_1}-\frac 1{a_2}-...-\frac 1{a_n}$, остальные диагональные не изменятся. А определитель превратится в верхнетреугольный — красота!

3) Наверное, Вы согласитесь, что авторская форма более обозрима.

[Sinoid]

svv в сообщении #1568624 писал(а):

3) Наверное, Вы согласитесь, что авторская форма более обозрима.

В смысле, что в такой форме легче улавливается принцип построения какого-нибудь отличного от первого (или нулевого, если следовать предложенному вами соглашению о нумерации:

svv в сообщении #1568624 писал(а):

в этой задаче удобно строки и столбцы нумеровать с нуля

) в сумме, полученной из выражения, приведенного в ответе, после раскрытия скобок в этом выражении и без перестановки слагаемых в полученном после этого раскрытия новом выражении?

svv в сообщении #1568624 писал(а):

Ответ в задачнике намекает на очень простой способ его получения

О, это да! Я просто при вычислении пошел другим путем, да так на нем и остановился.

[svv]

Да, как-то так.

[Sinoid]

svv в сообщении #1568637 писал(а):

Да, как-то так.

Именно это я и имел ввиду, когда писал

Sinoid в сообщении #1568599 писал(а):

А в ответе же записано в такой форме исключительно из-за того, что такая форма записи проще.

Спасибо большое.

[Sinoid]

Хочу спросить. А есть ли какой-нибудь общепринятый прием обозначения того, что порядок определителя или матрицы равен, скажем, $n$, прям в формуле? В литературе мне это не встречалось. Я сам для себя уже начал использовать первое пришедшее в голову обозначение. Например, вот одна из моих формул в черновике: $\begin{vmatrix}\alpha+\beta & \alpha\beta & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha+\beta & \alpha\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \alpha+\beta \end{vmatrix}_{(n)}=$ $\begin{vmatrix}\alpha & \alpha\beta & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha+\beta & \alpha\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \alpha+\beta \end{vmatrix}_{(n)}+\begin{vmatrix}\beta & \alpha\beta & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha+\beta & \alpha\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \alpha+\beta \end{vmatrix}_{(n)}$. А как с этим вообще обстоит дело?

[Sinoid]

Помогите, пожалуйста. Никак не могу понять, что он хотел показать в задаче 15.1:
Вычислмть определитель

$$\begin{vmatrix}a & b & c & d\\ -b & a & d & -c\\ -c & -d & a & b\\ -d & c & -b & a \end{vmatrix}$$

путем возведения его в квадрат.
Во-первых, непонятно, умножение на какой вообще определитель задумывалось для решения этой задачи, ибо в указании сказано следующее:

И вот то ли его умножать на себя, а то ли на транспонированный. Так мало того, в указании сказано

Цитата:

Найти коэффициент при $x^4$ в развернутом выражении данного определителя

Это тоже сбивает с толку: если у меня будет развернутое выражение данного определителя, то зачем для вычисления мне его еще умножать на что-то там еще? Это ведь ошибка в указании?

А пока давайте рассмотрим оба предложенных варианта для вычисления данного определителя. Если предположить, что имелось ввиду возведением в квадрат, то получаем: $\begin{vmatrix}a & b & c & d\\ -b & a & d & -c\\ -c & -d & a & b\\ -d & c & -b & a \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a & b & c & d\\ -b & a & d & -c\\ -c & -d & a & b\\ -d & c & -b & a \end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2} & 2ab & 2ac & 2ad\\ -2ab & a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2} & 2ad & -2ac\\ -2ac & -2ad & a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2} & 2ab\\ -2ad & 2ac & -2ab & a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2} \end{vmatrix}$. Полученный определитель не выглядит таким уж простым для своего вычисления, да и задачи такого типа обычно не про это. В таких задачах обычно ожидаешь получение какого-нибудь верхнетреугольного или нижнетреугольного определителя, у которого перемножение элементов, стоящих на соответственной для данного случая диагонали, не вызывает каких-либо затруднений, как правило, даже в уме. Теперь попробуем умножение на транспонированный: $\begin{vmatrix}a & b & c & d\\ -b & a & d & -c\\ -c & -d & a & b\\ -d & c & -b & a \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a & -b & -c & -d\\ b & a & -d & c\\ c & d & a & -b\\ d & -c & b & a \end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \end{vmatrix}$. Уже как бы проще, но... Из этого равенства получаем, что квадрат исходного определителя равен $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^4$. Это, конечно, хорошо, только вот, как теперь узнать, чему равен исходный определитель: $+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ или $-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$? У меня почему-то идей нет. Или это неправильно сформулированное задание? В задачнике Фаддеева, Соминского в задачах подобного плана требуется вычислить квадрат определителя, но не сам определитель.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1570010 писал(а):

чему равен исходный определитель: $+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ или $-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$?

Тут нужно было написать $+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^2$ или $-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^2$

[vpb]

Sinoid в сообщении #1570010 писал(а):

если у меня будет развернутое выражение данного определителя,

Соль как раз в том, что то, что коэффициент при $a^4$ в данном определителе равен $1$, а не $-1$, видно и не находя развернутое выражение полностью. Просто надо задаться, чисто в уме, вопросом, а как будет примерно выглядеть это самое развернутое выражение, и сразу понятно, какой будет коэффициент.