Только на вектор, о котором говорится, что он растягивается (сжимается) и (или) поворачивается, следует смотреть как на переменный вектор (то есть понимать не так, что один вектор заменяется другим, а так, что один и тот же вектор растягивается (сжимается) и (или) поворачивается).
Нет. Не скидывайте в кучу вектор, как элемент векторного пространства и элемент такого пространства, оснащенного новыми математическими надстройками типа угол, длины и т.д. Лучше называйте такие векторы как-то по-другому. По любому, на умноженный вектор можно и нужно смотреть не более как на
другой вектор этого же векторного пр-ва. Автоморфизм породил другой вектор и все. Он не растягивается, не поворачивается и т.д. А вот те векторы, что с длинами и т.д., назовем их, скажем, д-векторами, вот про них пожалуйста. Можете говорить, интерпретировать и т.д. что они меняют длины, поворачиваются и т.д. А те, голые/примитивные, старые векторы ничего про ваш новый язык углов и расстояний не знают и никогда не узнают. Их аксиомы не шевелятся от того, что вы вводите эти новые слова и понятия. В общем, понять аксиомы на новом языке нельзя. Они объявляются и проверяются. Если ваше понимание использует новые термины/язык, это заведомо бесплодно для аксиом. Мне кажется, что если быть вот так педантичным, а вы вроде придерживаетесь педантичности в этой дискуссии, то ваши вопросы отпадут сами по себе. Гарантирую!
но вообще бывает
![$e\cdot x\ne x$ $e\cdot x\ne x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/4/6a4cfe26e44dedcf633f63d7f3b8cffa82.png)
(об этом много говорилось на последних страницах этой темы).
Нет, так не бывает в векторном пространстве.
![$1\cdot x= x$ $1\cdot x= x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/5/845550db1c0679507301562b11e7fb1082.png)
- это аксиома для него. Здесь 1 - это та самая единичка, которая единичка в поле, а это правило - это НОВЫЙ акт. Этим актом вы, если угодно, дооснащаете вашу полевую единичку новым свойством = это правило. Оно полностью в ваших руках, лишь бы аксиомы вект.пр-ва выполнялись. Поле про это новое правило ничего не знает. Ну это и так понятно. Вы вводите значки, язык и операцию, которые для этого поля являются новыми, инородными, внешними: коммутативная группа, элементы которой начинаете называть тоже новым термином: векторы.
Если вы чуть поменяете сами аксиомы, например сделаете модуль, то продолжая называть его элементы векторами - типичная практика - вы потянете новые проблемы с "как понять его векторы". Начнете опять валить в кучу числа и векторы, чтобы понять векторы. Заведомо тупик. Проникнитесь этими простыми соображениями и станет все просто.