Тут точкой обозначаются две разных операции.
Это, кстати, так же как в

две разные операции обозначаются знаком

.
Давайте их временно обозначим разными символами: умножение двух элементов кольца

— по-прежнему точкой, а умножение элемента кольца

на элемент группы

— звёздочкой

. Тогда переход, выделенный цветом, можно записать так:

Непонятно, почему это верно.
Как я понимаю,

верно просто потому, что так задана ассоциативность между элементами

и

. Но может быть, надо было оговорить, что она задана? И что задана именно так? Может ли она быть задана иначе?
Если она задана так, то

в разных обозначениях для операций можно записать как

и, (так же как и в одинаковых обозначениях) если

, то

отображает

в два разных элемента

и тогда это не функция (и даже, кажется, не отображение, а неоднозначное соответствие, потому что отображение, если не ошибаюсь, должно быть однозначным, тут надо бы разобраться в терминологии: отображение и функция это одно и то же, если отображение однозначное, а неоднозначного отображения не бывает?)
То есть, если

, то

(независимо от того,

или

).