2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17  След.
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 00:55 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564759 писал(а):
Вообще, если вы хотите доказать какое-то утверждение, то может быть полезно ослабить условие и попробовать найти контрпример.

Но какое утверждение я должен доказать? $a^2=b^2\to a=\pm b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1564760 писал(а):
Но какое утверждение я должен доказать? $a^2=b^2\to a=\pm b$?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 03:27 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564761 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1564760 писал(а):
Но какое утверждение я должен доказать? $a^2=b^2\to a=\pm b$?
Да.


$$a\cdot a=b\cdot b\to a=a^{-1}\cdot b\cdot b\to a\cdot b^{-1}=a^{-1}\cdot b\to b^{-1}\cdot a=a^{-1}\cdot b,$$
или

$$\frac {a}{b}=\frac {b}{a}\to a=\pm b.$$

Можно сразу разделить обе части равенства $a\cdot a=b\cdot b$ на $a\cdot b$, получим то же самое.

Но не надо ли доказать, что

$$\frac {a}{b}=\frac {b}{a}\to a=\pm b$$
? И если надо, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1564764 писал(а):
$a\cdot a=b\cdot b\to a=a^{-1}\cdot b\cdot b$
А кто вам сказал, что $a$ обратим?
Vladimir Pliassov в сообщении #1564764 писал(а):
Но не надо ли доказать, что
$$\frac {a}{b}=\frac {b}{a}\to a=\pm b$$
Надо, конечно. С учетом того, что даже если $a$ и $b$ обратимы, то это всё равно может быть не так (найдите пример кольца вычетов, в котором уравнение $x^2 = 1$ имеет больше двух решений).

Деление вам тут не понадобится, результат верен для любой области целостности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 17:29 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564776 писал(а):
А кто вам сказал, что $a$ обратим?

Правда, $a$ ведь может быть равно нулю. Рассмотрим этот случай.

$a^2=0^2=0$, тогда $0=b^2=b\cdot b$.

Пусть $b\ne 0$. Поскольку в поле каждый ненулевой элемент обратим, имеем $0=b\cdot b\to 0\cdot b^{-1}=b\to 0=b$. Таким образом, наше допущение неверно, и $b=0$.

Значит, при $a=0$ (или $b=0$) имеем $a^2=b^2\to a=b=0=\pm 0=\pm b.$.

mihaild в сообщении #1564776 писал(а):
найдите пример кольца вычетов, в котором уравнение $x^2 = 1$ имеет больше двух решений

В $\mathbb Z_8$ решениями будут $1, 3, 5, 7$. Пусть $a=[3], b=[7],$ тогда

$$\frac {3}{7}\ne \frac {7}{3},$$
хотя $7^{-1}\cdot 3=3^{-1}\cdot 7.$

Но как же доказать, что $a^2=b^2\to a=\pm b$?

Если бы доказать, что $b^{-1}\cdot a=a^{-1}\cdot b=1,$ то можно было бы доказать, что $a=b,$ но тогда $a\ne \pm b,$ потому что $a= -b.$ только если $b=-b,$ то есть если $b=0\to a=b=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение16.09.2022, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1564789 писал(а):
Поскольку в поле каждый ненулевой элемент обратим, имеем $0=b\cdot b\to 0\cdot b^{-1}=b\to 0=b$.
Так тоже можно, но ИМХО лучше воспользоваться отсутствием в поле делителей нуля. Тогда этот же результат получится и для произвольной области целостности.
Vladimir Pliassov в сообщении #1564789 писал(а):
что $a=b,$ но тогда $a\ne \pm b,$
На всякий случай, запись $a = \pm b$ в данном контексте означает "$a = b$ или $a = -b$", а не $a = b = -b$.

Пусть $a^2 = b^2$, но $a \neq b$ и $a \neq -b$. Соорудите из этого делитель нуля.
Vladimir Pliassov в сообщении #1564789 писал(а):
только если $b=-b,$ то есть если $b=0$
Это тоже неправда. Приведите пример поля, в котором уравнение $x = -x$ имеет ненулевое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение17.09.2022, 01:07 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564792 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1564789 писал(а):
Поскольку в поле каждый ненулевой элемент обратим, имеем $0=b\cdot b\to 0\cdot b^{-1}=b\to 0=b$.
Так тоже можно, но ИМХО лучше воспользоваться отсутствием в поле делителей нуля. Тогда этот же результат получится и для произвольной области целостности.

$a^2=0^2=0$, тогда $0=b^2=b\cdot b$. Поскольку в поле нет делителей нуля, в $b\cdot b$ одно из $b$ равно нулю, а так как $b=b,$ то и второе тоже, то есть, вообще,
$b=0.$

mihaild в сообщении #1564792 писал(а):
Приведите пример поля, в котором уравнение $x = -x$ имеет ненулевое решение.

$\forall x\in \mathbb Z_2 \colon x=-x.$

mihaild в сообщении #1564792 писал(а):
Пусть $a^2 = b^2$, но $a \neq b$ и $a \neq -b$. Соорудите из этого делитель нуля.

Могу сказать только, что, например, в $\mathbb Z_8$ при $a=3, b=5$ имеем $a^2 = b^2$ и $a \neq b$ (хотя $a= -b$).

При этом $1, 3, 5, 7$ не являются делителями нуля, а $2, 4, 6$ являются, потому что

Цитата:
В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Википедия

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение17.09.2022, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Перепишите равенство $a^2 = b^2$ немного в другом виде, и воспользуйтесь известной из школы формулой преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение17.09.2022, 19:52 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564818 писал(а):
Перепишите равенство $a^2 = b^2$ немного в другом виде, и воспользуйтесь известной из школы формулой преобразования.

$$a^2 = b^2\to a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)=0.$$
Поскольку $a \neq b$ и $a \neq -b$, то $(a-b)\ne 0$ и $(a+b)\neq 0$, значит либо $a+b$, либо $a-b$, либо они оба являются делителем нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение18.09.2022, 15:37 


21/04/19
1183
$$a^2 = b^2\to a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)=0.$$
Пусть $a \neq b$ и $a \neq -b$, тогда $(a-b)\ne 0$ и $(a+b)\neq 0$, и либо $a+b$, либо $a-b$, либо они оба являются делителями нуля.

Так как рассматривается поле, то ни $a+b$, ни $a-b$ не может быть собственным делителем нуля (потому что в поле нет собственных делителей нуля).

Если же либо $a+b=0$, либо $a-b=0$, то либо $a=-b$, либо $a=+b$.

Таким образом,

$$a^2=b^2\to a=\pm b.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение18.09.2022, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Первых трех строчек достаточно, после них сразу можно сказать что мы от противного доказали что $a = b$ или $a = -b$.
mihaild в сообщении #1564692 писал(а):
Что вы можете сказать о $P(\alpha)$ - может ли оно оказаться нулем?
Я сообразил, что рассуждение, о котором я думал для этого вопроса, опирается на основную теорему алгебры, которая у Винберга рассматривается в 3й главе. Так что вполне возможно что вы пока не сможете ответить на этот вопрос, и я не могу гарантировать, что думать над ним полезно.
Впрочем, ответ на исходный вопрос (существует ли нетривиальное расширение $\mathbb C$) тоже после прочтения 3й главы станет очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение18.09.2022, 22:51 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1564939 писал(а):
рассуждение, о котором я думал для этого вопроса, опирается на основную теорему алгебры, которая у Винберга рассматривается в 3й главе. Так что вполне возможно что вы пока не сможете ответить на этот вопрос, и я не могу гарантировать, что думать над ним полезно.
Впрочем, ответ на исходный вопрос (существует ли нетривиальное расширение $\mathbb C$) тоже после прочтения 3й главы станет очевидным.

Да, конечно, можно немножко отложить (я уже читаю 2-ю главу). Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение19.09.2022, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1564789 писал(а):
В $\mathbb Z_8$ решениями будут $1, 3, 5, 7$. Пусть $a=[3], b=[7],$ тогда $\frac {3}{7}\ne \frac {7}{3},$
Это я пропустил, а зря.
Как вы вообще понимаете это неравенство, а точнее - участвующие в нем дроби?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение19.09.2022, 19:34 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1565009 писал(а):
Как вы вообще понимаете это неравенство, а точнее - участвующие в нем дроби?

Да, это я неправильно написал. Неравенство $\frac {3}{7}\ne \frac {7}{3}$ верно в поле $\mathbb Q$, но не в поле $\mathbb Z_8$, в котором $7^{-1}=7$ и $3^{-1}=3$:

если обозначить $7^{-1}$ как $\frac{1}{7}$, $3^{-1}$ как $\frac{1}{3}$, а неравенство $\frac {3}{7}\ne \frac {7}{3}$ как $3\cdot 7^{-1}\ne 7\cdot 3^{-1}$ (можно представить его еще в трех вариантах), то в $\mathbb Z_8$ оно неверно (умножение в $\mathbb Z_n$ коммутативно).

Но возникает вопрос: что такое $\frac {3}{7}$? Это $3\cdot 7^{-1}$ или $7^{-1}\cdot 3$? Ведь, вообще, может быть некоммутативность. Или выражение $\frac {3}{7}$ употребляется только в случае коммутативности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскости умножения в комплексном пространстве
Сообщение19.09.2022, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Да, именно так. Т.е. если $a^2 = b^2$, и $a$ и $b$ обратимы, то $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$.
Vladimir Pliassov в сообщении #1565015 писал(а):
Или выражение $\frac {3}{7}$ употребляется только в случае коммутативности?
Я его вроде бы видел вообще только применительно к полям. Но на случай произвольного коммутативного кольца оно распространяется понятным способом, если знаменатель обратим. Для некоммутативного ИМХО так писать не стоит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 241 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group