Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1567660 писал(а):

Какой тогда полный ответ на ваш вопрос

Vladimir Pliassov в сообщении #1567160 писал(а):

являются ли поля $\mathbb C$ и $\mathbb R$ изоморфными

и какое полное обоснование?

Поля $\mathbb C$ и $\mathbb R$ не изоморфны.

Доказательство. Пусть $f\colon \mathbb R\to \mathbb C$ -- изоморфизм, тогда $f$ -- гомоморфизм. Пусть $f(a)=i \;\; a\in \mathbb R$, тогда $f(aa)=f(a)f(a)=ii=-1$, и $f(-aa)=-(-1)=1$ (при гомоморфизме между аддитивными группами противоположный элемент отображается в противоположный). Но $aa\geqslant 0$, поэтому $-aa\ne 1$, то есть элемент, не являющийся единицей, отображается в единицу, что невозможно при гомоморфном отображении. Таким образом, $f$ не является гомоморфизмом, и потому не является изоморфизмом.