Плоскости умножения в комплексном пространстве

[mihaild]

К этому моменту уже известно, какие элементы обратимы в кольцах вычетов? Если да, то просто решите уравнение $125k + 1 = 0$ в $\mathbb Z_8$ по-школьному. $k = (-1) \cdot 125^{-1}$, где вся арифметика предполагается в $\mathbb Z_8$.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564478 писал(а):

а второе случайно -- я просто прикинул

Ну, в данном случае это и предполагалось --- недаром у Винберга в этом месте никаких пояснений нет (потому что все настолько просто, что и пояснять нечего). В самом деле, кандидатов на роль $k$ бесконечно много, но их все можно разложить по восьми "ящикам" --- в зависимости от остатка, который $k$ дает при делении на $8$. Очевидно, нужно сразу отбросить четные остатки $0$, $2$, $4$, $6$ и начать проверку нечетных остатков. Остаток $1$ не годится, а остаток $3$ как раз подходит. Вот и все.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564478 писал(а):

И, вообще, как получить любое значение для $k$ не подбором, а какому-то принципу?

Здесь нужно изучать теорию сравнений первой степени $ax \equiv b \pmod{m}$. Имеется простой и в тоже время быстрый алгоритм решения таких сравнений. На более абстрактном языке речь идет о решении линейного уравнения $ax=b$ в кольце классов вычетов $\mathbb{Z}_m$.

[maximav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561842 писал(а):

В вещественном линейном пространстве умножение вектора на (вещественное) число можно определить как растяжение (сжатие) вектора.
В комплексном линейном пространстве умножение вектора на (комплексное) число можно определить как растяжение (сжатие) вектора плюс поворот.
Здесь возникает вопрос: в какой плоскости должен производиться этот поворот?

Нет не правильно. Никакой это не поворот, не растяжение и т.д. Само векторное пространство ничего не знает про эти слова. Сумятицу вносит употребление термина "умножение". Умножение есть в поле скаляров, а с векторами - это просто новая/другая, еще одна, причем небинарная операция. Не ошибетесь, если будете мыслить ее как оператор. Иногда, например, на векторное пространство можно смотреть как на коммутативную группу с операторными автоморфизмами на самой группе. Это те самые числа. Вот возьмите пример "умножения вектора на число"

$$a\cdot\boldsymbol{x} = a\cdot(x_1, x_2) := (ax_1,0).$$

То есть вторая компонента просто обнуляется. Проверьте аксиомы векторного пространства. Что не работает? Тогда вы и поймете, что умножение на вектор вообще говоря никакого отношения к умножению чисел/скаляров не имеет. Даже если вы захотите понять природу этого умножения на примере всяких чисел. То есть когда сами числа вы рассматриваете как векторное пространство на числами же. Задавайте эти операторы/операции как хотите, лишь бы выполнялись аксиомы векторного пространства.

[nnosipov]

maximav в сообщении #1564503 писал(а):

Что не работает?

Умножение на единичный скаляр меняет вектор, а не должно.

[Vladimir Pliassov]

maximav в сообщении #1564503 писал(а):

Нет не правильно. Никакой это не поворот, не растяжение и т.д. Само векторное пространство ничего не знает про эти слова.

Я думаю, что относительно пространства, в котором определены длины векторов и углы между векторами (например, относительно евклидова пространства, хотя, может быть, бывают и другие пространства с определенными модулями векторов и углами между векторами) можно говорить о растяжении векторов и об их поворотах, то есть можно понять, о чем при этом идет речь. Только на вектор, о котором говорится, что он растягивается (сжимается) и (или) поворачивается, следует смотреть как на переменный вектор (то есть понимать не так, что один вектор заменяется другим, а так, что один и тот же вектор растягивается (сжимается) и (или) поворачивается).

maximav в сообщении #1564503 писал(а):

Умножение есть в поле скаляров, а с векторами - это просто новая/другая, еще одна, причем небинарная операция. Не ошибетесь, если будете мыслить ее как оператор.

Я ее так и мыслю, то есть на каждый множитель $a$ вектора $\textbf x$ смотрю как на оператор (отображающий один вектор в другой).

maximav в сообщении #1564503 писал(а):

умножение на вектор вообще говоря никакого отношения к умножению чисел/скаляров не имеет.

Вы имеете в виду, что умножение вектора на число отличается от умножения числа на число, поскольку вектор и число не принадлежат одному и тому же множеству? С этим я согласен.

maximav в сообщении #1564503 писал(а):

Вот возьмите пример "умножения вектора на число"

$$a\cdot\boldsymbol{x} = a\cdot(x_1, x_2) := (ax_1,0).$$

То есть вторая компонента просто обнуляется.

Согласен и с тем, что такой оператор тоже бывает.

nnosipov в сообщении #1564505 писал(а):

Умножение на единичный скаляр меняет вектор, а не должно.

Не знаю, как в данном случае, но вообще бывает $e\cdot x\ne x$ (об этом много говорилось на последних страницах этой темы).

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564511 писал(а):

но вообще бывает $e\cdot x\ne x$

Не бывает, если речь идет о векторном пространстве, где $e$ --- единичный скаляр, $x$ --- вектор, а точка обозначает умножение вектора на скаляр в этом векторном пространстве.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1564514 писал(а):

Не бывает, если речь идет о векторном пространстве, где $e$ --- единичный скаляр, $x$ --- вектор, а точка обозначает умножение вектора на скаляр в этом векторном пространстве.

Значит, я зря согласился с тем, что в векторном пространстве бывает оператор $a\colon$

$$a\cdot\boldsymbol{x} = a\cdot(x_1, x_2) := (ax_1,0)$$

(потому что может быть $e=a$)?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564516 писал(а):

Значит, я зря согласился с тем, что в векторном пространстве бывает оператор $a\colon$

Оператор - бывает. Но умножение на скаляр - это не произвольный оператор.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564516 писал(а):

Значит, я зря согласился с тем, что в векторном пространстве бывает оператор $a\colon$

$$a\cdot\boldsymbol{x} = a\cdot(x_1, x_2) := (ax_1,0)$$

(потому что может быть $e=a$)?

Да откуда же я знаю, зря или не зря? И при чем здесь какие-то операторы? У меня ощущение, что в этой теме Вы занимаетесь какой-то словесной ерундой. Дюжина страниц ни о чем.

[maximav]

Vladimir Pliasov в сообщении #1564514 писал(а):

Только на вектор, о котором говорится, что он растягивается (сжимается) и (или) поворачивается, следует смотреть как на переменный вектор (то есть понимать не так, что один вектор заменяется другим, а так, что один и тот же вектор растягивается (сжимается) и (или) поворачивается).

Нет. Не скидывайте в кучу вектор, как элемент векторного пространства и элемент такого пространства, оснащенного новыми математическими надстройками типа угол, длины и т.д. Лучше называйте такие векторы как-то по-другому. По любому, на умноженный вектор можно и нужно смотреть не более как на другой вектор этого же векторного пр-ва. Автоморфизм породил другой вектор и все. Он не растягивается, не поворачивается и т.д. А вот те векторы, что с длинами и т.д., назовем их, скажем, д-векторами, вот про них пожалуйста. Можете говорить, интерпретировать и т.д. что они меняют длины, поворачиваются и т.д. А те, голые/примитивные, старые векторы ничего про ваш новый язык углов и расстояний не знают и никогда не узнают. Их аксиомы не шевелятся от того, что вы вводите эти новые слова и понятия. В общем, понять аксиомы на новом языке нельзя. Они объявляются и проверяются. Если ваше понимание использует новые термины/язык, это заведомо бесплодно для аксиом. Мне кажется, что если быть вот так педантичным, а вы вроде придерживаетесь педантичности в этой дискуссии, то ваши вопросы отпадут сами по себе. Гарантирую!

Vladimir Pliassov в сообщении #1564511 писал(а):

но вообще бывает $e\cdot x\ne x$ (об этом много говорилось на последних страницах этой темы).

Нет, так не бывает в векторном пространстве. $1\cdot x= x$ - это аксиома для него. Здесь 1 - это та самая единичка, которая единичка в поле, а это правило - это НОВЫЙ акт. Этим актом вы, если угодно, дооснащаете вашу полевую единичку новым свойством = это правило. Оно полностью в ваших руках, лишь бы аксиомы вект.пр-ва выполнялись. Поле про это новое правило ничего не знает. Ну это и так понятно. Вы вводите значки, язык и операцию, которые для этого поля являются новыми, инородными, внешними: коммутативная группа, элементы которой начинаете называть тоже новым термином: векторы.

Если вы чуть поменяете сами аксиомы, например сделаете модуль, то продолжая называть его элементы векторами - типичная практика - вы потянете новые проблемы с "как понять его векторы". Начнете опять валить в кучу числа и векторы, чтобы понять векторы. Заведомо тупик. Проникнитесь этими простыми соображениями и станет все просто.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

maximav в сообщении #1564529 писал(а):

Оно полностью в ваших руках, лишь бы аксиомы вект.пр-ва выполнялись.

maximav в сообщении #1564529 писал(а):

Если вы чуть поменяете сами аксиомы

Аксиома - не стенка, подвинется. А если серьезно, то далеко не факт, что ко всем этим аксиомам надо относиться как к библейским заповедям и чтить их безукоризненное выполнение.
И особенно это касается векторных пространств. Может быть, без аксиом они заиграли бы новыми красками...

[Vladimir Pliassov]

maximav в сообщении #1564529 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1564511 писал(а):

но вообще бывает $e\cdot x\ne x$ (об этом много говорилось на последних страницах этой темы).

Нет, так не бывает в векторном пространстве. $1\cdot x= x$ - это аксиома для него.

Да, аксиома № 6. Но заметьте, что я и не утверждал, что это бывает в векторном пространстве, я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1564511 писал(а):

Не знаю, как в данном случае, но вообще бывает $e\cdot x\ne x$

мне сказали: "В данном случае нет," -- и я понял.

maximav в сообщении #1564529 писал(а):

По любому, на умноженный вектор можно и нужно смотреть не более как на другой вектор этого же векторного пр-ва. Автоморфизм породил другой вектор и все. Он не растягивается, не поворачивается и т.д.

Совершенно с Вами согласен: один вектор заменяется на другой (и в евклидовом пространстве и в просто пространстве, то есть в пространстве, в котором не определены длины векторов и углы между векторами). И когда говорят, что вектор растягивается или поворачивается, то это условность, при этой условности по аналогии с переменной числовой величиной вводится понятие переменной векторной величины (переменного вектора).

Кстати, векторному пространству, которое я назвал "просто пространством", если не ошибаюсь, не придумано названия. Евклидову придумано, а ему нет.

maximav в сообщении #1564529 писал(а):

А те, голые/примитивные, старые векторы ничего про ваш новый язык углов и расстояний не знают и никогда не узнают. Их аксиомы не шевелятся от того, что вы вводите эти новые слова и понятия.

Вы говорите об аксиомах "просто пространства" (не евклидова). Разумеется, что его векторы ничего не знают об углах и расстояниях, потому что они в нем не определены.

Но если ввести дополнительно аксиомы евклидова пространства, то будут определены.

mihaild в сообщении #1564517 писал(а):

Оператор - бывает. Но умножение на скаляр - это не произвольный оператор.

Понятно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564486 писал(а):

К этому моменту уже известно, какие элементы обратимы в кольцах вычетов?

Цитата:

В кольце вычетов по модулю m обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m.

В $\mathbb Z_8$ это $[3], [5], [7].$ Все они обратимы сами с собой.

mihaild в сообщении #1564486 писал(а):

Если да, то просто решите уравнение $125k + 1 = 0$ в $\mathbb Z_8$ по-школьному. $k = (-1) \cdot 125^{-1}$, где вся арифметика предполагается в $\mathbb Z_8$.

Есть информация, что

nnosipov в сообщении #1564487 писал(а):

кандидатов на роль $k$ бесконечно много

Так что вместо $125$ возьму $5$, так как $125\equiv 5 \pmod 8$:

$$k = (-1) \cdot 5^{-1}=(-1)\cdot 5=-5.$$

[mihaild]

В $\mathbb Z_8$ кандидат на роль $k$ ровно один, и это действительно $-5$, или, что то же самое, $3$.
Теперь мы знаем, что $k = 8m + 3$, т.е. $2^{100} = 8\cdot m \cdot 125 + 3\cdot 125 + 1$. Последние три цифры первого слагаемого нулевые, так что последние три цифры левой части совпадают с последними тремя цифрами суммы оставшихся двух слагаемых.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564541 писал(а):

Теперь мы знаем, что $k = 8m + 3$, т.е. $2^{100} = 8\cdot m \cdot 125 + 3\cdot 125 + 1$. Последние три цифры первого слагаемого нулевые, так что последние три цифры левой части совпадают с последними тремя цифрами суммы оставшихся двух слагаемых.

Кажется, понял наконец, спасибо! Если можно, еще один вопрос. У Винберга (http://mathprofi.com/uploads/files/2581 ... 0d4d87caf3 стр. 20) читаем

Цитата:

Теорема 1. Поле комплексных чисел существует и единственно с точностью до изоморфизма, переводящего все вещественные числа в себя...

и на этой же странице, немного выше (мелким шрифтом), стоит:

Цитата:

любые две модели поля вещественных чисел не просто изоморфны, но между ними имеется единственный изоморфизм.

Разве это не значит, что поле комплексных чисел просто единственно? Зачем говорить, что с точностью до изоморфизма (переводящего все вещественные числа в себя), если этот изоморфизм единственный?