Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563876 писал(а):

mihaild в сообщении #1563507 писал(а):

Докажите, что если у нас есть $R$ - кольцо с единицей, группа $G$ и операция умножения элементов группы на элементы кольца $R \times G \to G$, такая что $e \cdot x = x$, $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$ и $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$, то $G$ абелева.

А зачем в условии следующие пункты:

1) $R$ - кольцо именно с единицей,

2) $e \cdot x = x$,

3) $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$?

Ведь в доказательстве используется только то, что $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$:

поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563878 писал(а):

поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

Это ведь уже обсуждали. И вы даже показали, что отказаться от $e \cdot x = x$ нельзя.
Попробуйте подставить в ваше рассуждение разобранный выше пример ($R = \mathbb Z$, $G = S_3$, операция указанная вами), и обнаружите, что $S_3$ внезапно стала абелевой. Найдите, где ошибка (подсказка: в понимании квантора всеобщности).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563876 писал(а):

Т.е. разобрались, что дистрибутивность сама по себе не влечет абелевости.

А, точно! Я только сейчас осознал, что, если все целые числа отображают каждую перестановку из $S_3$ в тождественную, то имеется дистрибутивность

$$(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x,$$

$$a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y.$$

[Vladimir Pliassov]

Надо разобраться с умножением $e\in R$ на $x\in G$.

Пусть $e\cdot x=x'$, тогда, независимо от того, $x=x'$ или $x\ne x'$, имеем $e\cdot x'=x'$. Это не может быть иначе, так как

$$\begin {matrix} e\cdot x=x',\\ e\cdot x=(e\cdot e)\cdot x=e\cdot (e\cdot x)=e\cdot x'=x'' \end {matrix}$$

и при $x'\ne x''$ $e$ будет отображать $x$ в два разных элемента $x', x''.$

Верно?

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564102 писал(а):

$$e\cdot x=(e\cdot e)\cdot x\;{\color{magenta}=}\;e\cdot (e\cdot x)=e\cdot x'=x''$$

Тут точкой обозначаются две разных операции. Давайте их временно обозначим разными символами: умножение двух элементов кольца $R$ — по-прежнему точкой, а умножение элемента кольца $R$ на элемент группы $G$ — звёздочкой $*$. Тогда переход, выделенный цветом, можно записать так:
$(e\cdot e)*x=e*(e*x)$
Непонятно, почему это верно.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1564106 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1564102 писал(а):

$$e\cdot x=(e\cdot e)\cdot x\;{\color{magenta}=}\;e\cdot (e\cdot x)=e\cdot x'=x''$$

Тут точкой обозначаются две разных операции.

Это, кстати, так же как в $(a+b)\cdot(x+y) \;\; a, b\in R, \; x, y\in G$ две разные операции обозначаются знаком $+$.

svv в сообщении #1564106 писал(а):

Давайте их временно обозначим разными символами: умножение двух элементов кольца $R$ — по-прежнему точкой, а умножение элемента кольца $R$ на элемент группы $G$ — звёздочкой $*$. Тогда переход, выделенный цветом, можно записать так:
$(e\cdot e)*x=e*(e*x)$
Непонятно, почему это верно.

Как я понимаю, $(e\cdot e)\ast x=e\ast (e\ast x)$ верно просто потому, что так задана ассоциативность между элементами $R$ и $G$. Но может быть, надо было оговорить, что она задана? И что задана именно так? Может ли она быть задана иначе?

Если она задана так, то

$$\begin {matrix} e\cdot x=x',\\ e\cdot x=(e\cdot e)\cdot x=e\cdot (e\cdot x)=e\cdot x'=x'' \end {matrix}$$

в разных обозначениях для операций можно записать как

$$\begin {matrix} e\ast x=x',\\ e\ast x=(e\cdot e)\ast x=e\ast (e\ast x)=e\ast x'=x'' \end {matrix}$$

и, (так же как и в одинаковых обозначениях) если $x'\ne x''$, то $e$ отображает $x$ в два разных элемента $x', x''$ и тогда это не функция (и даже, кажется, не отображение, а неоднозначное соответствие, потому что отображение, если не ошибаюсь, должно быть однозначным, тут надо бы разобраться в терминологии: отображение и функция это одно и то же, если отображение однозначное, а неоднозначного отображения не бывает?)

То есть, если $e\ast x=x'$, то $e\ast x'=x'$ (независимо от того, $x=x'$ или $x\ne x'$).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564141 писал(а):

Как я понимаю, $(e\cdot e)\ast x=e\ast (e\ast x)$ верно просто потому, что так задана ассоциативность между элементами $R$ и $G$

Да, если есть ассоциативность, то это равенство верно (просто частный случай ассоциативности). Но, хотя изучать не-ассоциативные операции не очень интересно, для упражнение про абелевость выше она не нужна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564102 писал(а):

Надо разобраться с умножением $e\in R$ на $x\in G$

А что конкретно вы хотите выяснить?

Vladimir Pliassov в сообщении #1564141 писал(а):

а неоднозначного отображения не бывает?

Вообще бывают даже многозначные функции - тут принята некоторая путаница в терминологии:) Но да, $e * x$ - это по определению какой-то один элемент, $*$ - это обычная функция $R \times G \to G$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564143 писал(а):

А что конкретно вы хотите выяснить?

Я хочу выяснить, верно ли, что, если $e\cdot x=x'$, то $e\cdot x'=x'$ (независимо от того, $x=x'$ или $x\ne x'$).

[mihaild]

Вы это расписали, только как-то очень сложно. $e * x' = e * (e * x) = (e \cdot e) * x = e * x = x'$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564169 писал(а):

Вы это расписали, только как-то очень сложно. $e \ast x' = e \ast (e \ast x) = (e \cdot e) \ast x = e \ast x = x'$.

Да, у Вас проще.

Теперь об умножении $x$ на $a\in R$.

Поскольку $a=a\cdot e,$ то не может быть непосредственного умножения $x$ на $a$: в произведении $a\cdot x$ между $a$ и $x$ всегда присутствует $e$:

$$a\cdot x= (a\cdot e)\cdot x=a\cdot (e\cdot x).$$

Таким образом, не может быть определено умножение $x$ на $a$ без участия умножения $x$ на $e$.

Конечно, в случае, когда $e\cdot x=x,$ можно игнорировать это участие и просто задать умножение так, как будто его и нет. Но если $e\cdot x\ne x,$ то как тогда задать умножение $x$ на $a$ без участия умножения $x$ на $e$? По-моему, никак.

Я думаю, задать умножение $x$ на $a$ можно так:

$$a\cdot x= f_a(e\cdot x). \eqno {(1)}$$

То есть сначала можно преобразовать группу $G$, умножив все ее элементы на $e$ и получив группу $G'$, состоящую из элементов $x',$ а затем брать функцию $f_a$ от элементов группы $G'$.

При этом при умножении $a$ на $e$ равенство $(1)$ останется справедливым, потому что, как уже выяснено, $e\cdot x'=x'$:

$$a\cdot x=(a\cdot e)\cdot x=a\cdot (e\cdot x)=a\cdot x'= f_a(e\cdot x')=f_a(x')=f_a(e\cdot x).$$

Или все же можно как-то задать умножение $a\cdot x$ без привлечения умножения $e\cdot x$?

[mihaild]

Не очень понятно, про что вы говорите, но в целом рассматривать действие, при котором $e$ действует не тождественно, не очень интересно. Это было просто для иллюстрации того, что не получится опустить первое свойство.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563507 писал(а):

Докажите, что если у нас есть $R$ - кольцо с единицей, группа $G$ и операция умножения элементов группы на элементы кольца $R \times G \to G$, такая что $e \cdot x = x$, $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$ и $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$, то $G$ абелева.

Я все же не знаю, как это доказать. Могу только сказать, что, поскольку $e \cdot x = x$, то равенства $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$ и $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$ можно рассматривать как они есть (то есть при умножении $x, y$ и $(x+y)$ на $e$ они не изменятся).

А также, что найдутся такие $x, y$, что $x+y=y+x$:

поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

Не могу ли я получить еще подсказку?

[mihaild]

Ассоциативность вам не понадобится.
Исходя из дистрибутивности, раскройте $(a + b) * (x + y)$ двумя способами. Потом поперекидывайте слагаемые и посмотрите, что подставить, чтобы получить $x + y = y + x$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563879 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563878 писал(а):

поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

...
Попробуйте подставить в ваше рассуждение разобранный выше пример ($R = \mathbb Z$, $G = S_3$, операция указанная вами), и обнаружите, что $S_3$ внезапно стала абелевой.

Вы, наверное, имеете в виду, что, если считать доказательство истинным, то придется группу $S_3$ считать абелевой. Но оно не истинное.

mihaild в сообщении #1563879 писал(а):

Найдите, где ошибка (подсказка: в понимании квантора всеобщности).

Вы имеете в виду, что, хотя это рассуждение верно для любого $x$, оно не доказывает, что $x+y=y+x$ для всех $x, y$?

mihaild в сообщении #1564193 писал(а):

Исходя из дистрибутивности, раскройте $(a + b) \ast (x + y)$ двумя способами. Потом поперекидывайте слагаемые и посмотрите, что подставить, чтобы получить $x + y = y + x$.

$$(a + b)(x + y)= $$=(a+b)x+(a+b)y=ax+bx+ay+by=$$

$$=a(x+y)+b(x+y)=ax+ay+bx+by.$$

Отсюда

$$bx+ay=ay+bx,$$

то есть $\exists z=bx, t=ay\colon z+t=t+z$, но дальше я не продвинулся.

[svv]

Посмотрите, не является ли то, что Вы хотите доказать, частным случаем того, что Вы получили:

mihaild в сообщении #1564193 писал(а):

посмотрите, что подставить, чтобы получить $x + y = y + x$

-- Пн сен 05, 2022 23:28:13 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1564230 писал(а):

то есть $\exists z=bx, t=ay\colon z+t=t+z$, но дальше я не продвинулся.

Нет, это уже в сторону.