Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563421 писал(а):

умножение на рациональные числа это не то же самое, что разрешимость уравнения $n\cdot x = y$ относительно $x$ - у этого уравнение может быть больше одного решения.

Мне кажется, что для группы $(\mathbb Q, +)$ это то же самое (разве может уравнение $n\cdot x = y \;\; y\in \mathbb Q$ иметь больше одного решения?). А если так, то группа $(\mathbb Q, +)$ является рациональным линейным пространством?

А в какой делимой группе это уравнение может иметь больше одного решения?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563425 писал(а):

Мне кажется, что для группы $(\mathbb Q, +)$ это то же самое (разве может уравнение $n\cdot x = y \;\; y\in \mathbb Q$ иметь больше одного решения?).

Да, это правда, в рациональных числах решение строго одно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563425 писал(а):

А если так, то группа $(\mathbb Q, +)$ является рациональным линейным пространством?

Является. Более строго - формально всё же нет, т.к. векторное пространство требует умножения на скаляр, но в данном случае оно вводится однозначно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563425 писал(а):

А в какой делимой группе это уравнение может иметь больше одного решения?

А это интересный вопрос. Попробуйте сами найти ответ, вот три промежуточных вопроса:
1. Докажите, что факторгруппа делимой группы - делимая группа.
2. Докажите, что следующие два свойства группы эквивалентны: а) в группе нет кручения; б) для любых $n$ и $y$ уравнение $n\cdot x = y$ имеет не более одного решения.
3. Найдите какую-нибудь нетривиальную факторгруппу для $(\mathbb Q, +)$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563426 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563425 писал(а):

А если так, то группа $(\mathbb Q, +)$ является рациональным линейным пространством?

Является. Более строго - формально всё же нет, т.к. векторное пространство требует умножения на скаляр, но в данном случае оно вводится однозначно.

Может быть, так: в группе $(\mathbb Q, +)$ уже имеется умножение на рациональные числа, правда, в скрытом виде, и его надо не то чтобы ввести, но обнаружить?

Так что, по-моему, все же можно сказать, что, как только на множестве $\mathbb Q$ вводится операция сложения его элементов, тем самым вводится (хотя и в скрытом виде) операция умножения его элементов на рациональные числа, и множество $\mathbb Q$ становится не только аддитивной абелевой группой, но и рациональным линейным пространством.

Кстати, при умножении элемента группы на число, даже до формального введения умножения, это число не является элементом группы, оно является элементом сторонней алгебраической структуры, то есть скаляром. Правильно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563429 писал(а):

Может быть, так: в группе $(\mathbb Q, +)$ уже имеется умножение на рациональные числа, правда, в скрытом виде, и его надо не то чтобы ввести, но обнаружить?

Это непонятно что значит. Зачем вам странные слова про "что-то где-то обнаружить", если можно сказать четко: любой изоморфизм аддитивных групп рациональных векторных пространств является и изоморфизмом векторных пространств.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563429 писал(а):

Кстати, при умножении элемента группы на число, даже до формального введения умножения, это число не является элементом группы, оно является элементом сторонней алгебраической структуры, то есть скаляром

До введения умножения нельзя умножать элементы группы на числа.
Векторное пространство - всегда пространство над каким-то полем. И вот когда говорят о пространствах над некоторым конкретным полем, элементы этого поля называют скалярами.

[Vladimir Pliassov]

1.

mihaild в сообщении #1563442 писал(а):

До введения умножения нельзя умножать элементы группы на числа.

Есть группы делимые, есть неделимые. В аддитивных делимых группах, например, в $(\mathbb Q, +),$ умножение всех элементов на рациональные числа вводится само собой (не может не вводиться) -- если оставить в стороне формальности.

В неделимых группах, например, в $(\mathbb Z, +),$ умножение всех элементов на рациональные числа само собой не вводится и поэтому, как я думаю, вообще не может вводиться -- даже если бы мы попытались его ввести актом своей воли, у нас бы не получилось.

Делаю предположение: умножение элементов группы на рациональные числа либо вводится само, либо не вводится вовсе.

2.

В определение аддитивной группы входит требование наличия операции сложения, но это не исключает наличия других операций.

В любой аддитивной группе есть (то есть введена сама собой) операция умножения ее элементов на натуральные числа (любой элемент может складываться с самим собой $n$ раз $n\in \mathbb N$). Значит, любая аддитивная группа это алгебраическая структура, по крайней мере, с двумя операциями, а не с одной.

3.

Любая делимая группа состоит из бесконечного числа элементов?

Любая делимая группа является рациональным векторным пространством?

4.

mihaild в сообщении #1563442 писал(а):

Векторное пространство - всегда пространство над каким-то полем. И вот когда говорят о пространствах над некоторым конкретным полем, элементы этого поля называют скалярами.

Если элементы группы (аддитивной абелевой) умножаются на элементы поля, то элементы поля называются скалярами. Но если элементы группы умножаются не на элементы поля, а всего лишь на элементы кольца (например, кольца $\mathbb Z$), то элементы кольца как бы "недостойны" называться скалярами? Как же они называются?

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

Но если элементы группы умножаются не на элементы поля, а всего лишь на элементы кольца (например, кольца $\mathbb Z$), то элементы кольца как бы "недостойны" называться скалярами? Как же они называются?

Тогда у нас получается модуль над кольцом. А элементы кольца можно продолжать называть скалярами.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1563494 писал(а):

Тогда у нас получается модуль над кольцом. А элементы кольца можно продолжать называть скалярами.

Это когда группа абелева, но если группа не абелева? То есть, если это не пространство и не модуль, как называются элементы кольца, на которые умножаются элементы группы? Можно их называть скалярами на том основании, что они не являются элементами группы, а являются элементами другой алгебраической структуры?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

В аддитивных делимых группах,

А вы уже разобрались с тем, что уравнение $nx = y$ может иметь больше одного решения? И как в таком случае вы будете вводить деление?

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

умножение всех элементов на рациональные числа вводится само собой (не может не вводиться) -- если оставить в стороне формальности

Вот не надо на текущем этапе "оставлять в стороне формальности". Если на группе можно ввести умножение на рациональные числа так, чтобы были выполнены аксиомы векторного пространства - то это можно сделать единственным образом. Никакого "не может не вводиться" тут не нужно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

Значит, любая аддитивная группа это алгебраическая структура, по крайней мере, с двумя операциями, а не с одной.

А еще на любой группе можно ввести бесконечное число операций любой арности, которые, например, считают количество единиц среди аргументов и выдают аргумент на этой позиции. Не очень полезная операция, но ввести-то можно.
Зачем вам эти все "есть операции"? Группа - это по определению пара (множество, операция). Дальше, можно ввести новую операцию - умножение на целые числа - через групповую операцию, причем будут выполнены некоторые хорошие свойства. Более того, эту операцию так, чтобы были выполнены эти свойства, можно ввести только одним образом.
Умножение на рациональные числа, чтобы были выполнены (другие) хорошие свойства можно ввести уже не всегда, но когда можно - тоже только одним способом. А вот умножение на вещественные если и можно - то (почти всегда) не единственным способом.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

Любая делимая группа состоит из бесконечного числа элементов?

Вот это вполне хороший вопрос. Попробуйте подумать над ним вместо проверки, где что уже есть.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

Любая делимая группа является рациональным векторным пространством?

Группа не может быть векторным пространством. Правильный вопрос такой: на любой ли делимой группе можно ввести структуру векторного пространства над $\mathbb Q$? Я думаю, что вы сможете с небольшим количеством подсказок разобраться в этом. Для начала попробуйте всё же найти делимую группу, в которой уравнение $nx = y$ не всегда однозначно разрешимо.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

Но если элементы группы умножаются не на элементы поля, а всего лишь на элементы кольца (например, кольца $\mathbb Z$), то элементы кольца как бы "недостойны" называться скалярами?

Тут тоже термин "скаляры" используют.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563495 писал(а):

То есть, если это не пространство и не модуль, как называются элементы кольца, на которые умножаются элементы группы?

Докажите, что если у нас есть $R$ - кольцо с единицей, группа $G$ и операция умножения элементов группы на элементы кольца $R \times G \to G$, такая что $e \cdot x = x$, $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$ и $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$, то $G$ абелева.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563507 писал(а):

Докажите, что если у нас есть $R$ - кольцо с единицей, группа $G$ и операция умножения элементов группы на элементы кольца $R \times G \to G$, такая что $e \cdot x = x$, $(a + b) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x$ и $a\cdot (x + y) = a\cdot x + a\cdot y$, то $G$ абелева.

Поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563511 писал(а):

Поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

Напишите определение абелевой группы с кванторами, и сравните с тем, что вы доказали.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

В любой аддитивной группе есть (то есть введена сама собой) операция умножения ее элементов на натуральные числа (любой элемент может складываться с самим собой $n$ раз $n\in \mathbb N$).

Даже на целые.

Но, аккуратности ради: умножение элементов абелевой группы на элементы кольца или поля (в частности, в линейном пространстве умножение векторов на числа) — это, в алгебраическом смысле, не операция, а набор операторов (каждый элемент кольца или поля — это отдельный оператор).

[Vladimir Pliassov]

1.

mihaild в сообщении #1563512 писал(а):

Напишите определение абелевой группы с кванторами, и сравните с тем, что вы доказали.

$\exists (G, +): \forall y, z\in G \;\; y+z=z+y.$

Пусть $y=a\cdot x, z=b\cdot x$, где $x\in G$ и $a, b\in R$, и на $R$ задана операция $+$.

Тогда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x\to (a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x\to a + b=b+a$, то есть операция $+$ на множестве $R$ коммутативна.

2.

mihaild в сообщении #1563507 писал(а):

Группа - это по определению пара (множество, операция). Дальше, можно ввести новую операцию - умножение на целые числа - через групповую операцию, причем будут выполнены некоторые хорошие свойства. Более того, эту операцию так, чтобы были выполнены эти свойства, можно ввести только одним образом.
Умножение на рациональные числа, чтобы были выполнены (другие) хорошие свойства можно ввести уже не всегда, но когда можно - тоже только одним способом. А вот умножение на вещественные если и можно - то (почти всегда) не единственным способом.

Я думаю, что умножение на все вещественные числа можно определить только для несчетных множеств -- например, группа $G$ для этого должна иметь несчетное число элементов, так как элемент $\alpha a \;\; \alpha \in \mathbb R, a\in G$ должен быть единственным, и потому должна быть биекция между $G$ и $\mathbb R$.

Если имеется единственный автоморфизм на $G$, то умножение на вещественные числа определяется единственным образом, если автоморфизмов больше одного, то, соответственно, биекций больше одной и умножение на числа можно задать не единственным образом.

3.

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

можно считать, что умножение на иррациональные числа, а значит и умножение на вещественные числа, на аддитивной абелевой группе также уже задано, как только она задана на множестве

Нельзя. Как вы будете определять, какой элемент в произвольной абелевой группе лежит между двумя множествами?

Здесь мне надо было написать: "как только группа $G$ задана на несчетном множестве, причем таким образом, что уравнение

$$a=\underbrace {b+b+\ldots +b}_\text{n times}\;\; b\in G, n\in \mathbb N$$

относительно $b$ всегда разрешимо (надо добавить:"и разрешимо однозначно"?), то определяется (единственным образом) умножение элементов множества $G$ на рациональные числа и тем самым (единственным образом) определяются рациональные приближения к элементу $\alpha g \;\; \alpha \in \mathbb R, g\in G$, то есть и элемент $\alpha g$ определяется единственным образом.

4.

mihaild в сообщении #1563507 писал(а):

А вы уже разобрались с тем, что уравнение $nx = y$ может иметь больше одного решения? И как в таком случае вы будете вводить деление?

Нет, с этим пока не разобрался (передо мной, вообще, поставлено много задач, так что я не успеваю все их решить, но надеюсь сделать это со временем), но, во всяком случае, в тех аддитивных делимых группах, в которых это уравнение не может иметь больше одного решения, умножение на рациональные числа определяется единственным образом?

5.

Someone в сообщении #1563525 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563490 писал(а):

В любой аддитивной группе есть (то есть введена сама собой) операция умножения ее элементов на натуральные числа (любой элемент может складываться с самим собой $n$ раз $n\in \mathbb N$).

Даже на целые.

Я взял здесь натуральные числа, чтобы умножение представить как многократное сложение. Если умножать на целые числа, то среди них могут быть отрицательные, тогда элемент сначала заменяется на противоположный, а затем этот противоположный элемент складывается с самим собой $n$ раз, то есть умножается на натуральное число.

Someone в сообщении #1563525 писал(а):

Но, аккуратности ради: умножение элементов абелевой группы на элементы кольца или поля (в частности, в линейном пространстве умножение векторов на числа) — это, в алгебраическом смысле, не операция, а набор операторов (каждый элемент кольца или поля — это отдельный оператор).

Я так и понимал, что при умножении элемента на скаляр скаляр является оператором, так как отображает элемент в элемент. Но ведь термин "операция" здесь используется (пишут: "Определена операция умножения векторов на скаляры "), так же как и при другом отображении: когда два элемента отображаются в третий (пишут: "Определена операция сложения векторов ")?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

Пусть $y=a\cdot x, z=b\cdot x$

А если нет? Там же стоит квантор всеобщности по $y$ и $z$, а вы не доказали, что произвольные элементы представляются в таком виде (и это, вообще говоря, неправда).
Более того, вы не пользовались существованием единицы, а без него это утверждение может быть неверно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

так как элемент $\alpha a \;\; \alpha \in \mathbb R, a\in G$ должен быть единственным

Не совсем так. Эти элементы должны быть различными для разных $\alpha$. Это, кстати, еще доказать надо из аксиом векторного пространства - сможете?

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

и потому должна быть биекция между $G$ и $\mathbb R$

Почему? И это просто неправда - существуют векторные пространства над $\mathbb R$ более чем континуальной мощности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

а и тем самым (единственным образом) определяются рациональные приближения к элементу $\alpha g \;\; \alpha \in \mathbb R, g\in G$,

Что такое "рациональные приближения" в данном контексте?
Ну хорошо, у нас есть два множества, $\{q g | q \in \mathbb Q, q < \alpha\}$ и $\{q g | q \in \mathbb Q, q > \alpha\}$. Теперь вам по ним необходимо как-то найти элемент $G$. Как вы это собираетесь делать?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563556 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

так как элемент $\alpha a \;\; \alpha \in \mathbb R, a\in G$ должен быть единственным

Не совсем так. Эти элементы должны быть различными для разных $\alpha$.

Да, правда! Надо так:

умножение на все вещественные числа можно определить только для несчетных множеств -- например, группа $G$ для этого должна иметь несчетное число элементов, так как элементы $\alpha a$ должны быть различными для разных $\alpha$.

mihaild в сообщении #1563556 писал(а):

Это, кстати, еще доказать надо из аксиом векторного пространства - сможете?

Седьмая аксиома:

Цитата:

7. $(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);

$(\alpha-\beta)\textbf x=\alpha \textbf x-\beta \textbf x.$ При $\alpha\ne \beta$ имеем $\alpha- \beta\ne 0$, поэтому $\alpha \textbf x-\beta \textbf x=(\alpha-\beta)\textbf x\ne 0,$ откуда $\alpha \textbf x\ne \beta \textbf x.$

mihaild в сообщении #1563556 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

и потому должна быть биекция между $G$ и $\mathbb R$

Почему? И это просто неправда - существуют векторные пространства над $\mathbb R$ более чем континуальной мощности.

Да, это я опять неправильно сказал. Здесь каждый элемент $\mathbb R$ должен инъективно отображаться в $G$, то есть мощность $G$ должна быть не меньше мощности $\mathbb R.$ Если $\mathbb R\to G$ будет еще и сюръекцией, тогда будет биекция.

mihaild в сообщении #1563556 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

а и тем самым (единственным образом) определяются рациональные приближения к элементу $\alpha g \;\; \alpha \in \mathbb R, g\in G$,

Что такое "рациональные приближения" в данном контексте?
Ну хорошо, у нас есть два множества, $\{q g | q \in \mathbb Q, q < \alpha\}$ и $\{q g | q \in \mathbb Q, q > \alpha\}$. Теперь вам по ним необходимо как-то найти элемент $G$. Как вы это собираетесь делать?

С тех пор, как я об этом писал, у меня изменилось представление. Теперь понимаю так:

Если в аддитивной абелевой группе $G$ введено умножение на рациональные числа и получено, таким образом, рациональное векторное пространство, можно его произвольный вектор $g$ умножать на всевозможные рациональные числа и получить множество векторов, находящихся в биекции с рациональными числами. Затем можно произвести в области этих векторов сечение третьего вида -- без пограничного вектора, -- и потом уже ввести этот недостающий вектор, который будет получаться умножением вектора $g$ на соответствующее иррациональное число. Для этого придется изменить группу $G$: ввести в нее новый элемент -- а тогда уже заодно и все остальные элементы, получающиеся таким путем, -- то есть заменить группу $G$ на другую. Кроме того надо будет ввести на ней умножение на все вещественные числа.

То есть, как я теперь понимаю, не на всякой абелевой группе (даже и с бесконечным числом элементов) можно ввести умножение на вещественные числа.

mihaild в сообщении #1563556 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563554 писал(а):

Пусть $y=a\cdot x, z=b\cdot x$

А если нет? Там же стоит квантор всеобщности по $y$ и $z$, а вы не доказали, что произвольные элементы представляются в таком виде (и это, вообще говоря, неправда).
Более того, вы не пользовались существованием единицы, а без него это утверждение может быть неверно.

Должен признаться, что я не понял задания:

mihaild в сообщении #1563512 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563511 писал(а):

Поскольку $R$ -- кольцо, то $a + b=b+a$, поэтому $(a + b) \cdot x = (b + a) \cdot x$, отсюда $a\cdot x + b\cdot x=b\cdot x + a\cdot x$, или $y+z=z+y$, где $y=a\cdot x, z=b\cdot x$.

Напишите определение абелевой группы с кванторами, и сравните с тем, что вы доказали.

Я не понял, что значит: "сравните с тем, что вы доказали".

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563626 писал(а):

поэтому $\alpha \textbf x-\beta \textbf x=(\alpha-\beta)\textbf x\ne 0,$

Откуда взялось последнее неравенство? Т.е. почему из $\gamma \neq 0$ следует $\gamma x \neq 0$?
Тут нужно воспользоваться тем, что у нас поле - в модулях над кольцом выполнены все те же аксиомы об умножении элементов на скаляры, а доказываемое свойство - не выполнено.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563626 писал(а):

Здесь каждый элемент $\mathbb R$ должен инъективно отображаться в $G$, то есть мощность $G$ должна быть не меньше мощности $\mathbb R.$

На самом деле даже это неправда. Существует конечное векторное пространство над $\mathbb R$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563626 писал(а):

Затем можно произвести в области этих векторов сечение третьего вида

Каким определением сечения вы пользуетесь? И посмотрите внимательно, какую структуру на множестве оно использует?

Vladimir Pliassov в сообщении #1563626 писал(а):

Я не понял, что значит: "сравните с тем, что вы доказали".

Вам нужно было доказать "для любых $y$ и $z$ что-то там". А вы доказали "для вот таких $y$ и $z$ что-то там".