Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562575 писал(а):

Рассмотрение подгруппы, у которой нет подгрупп, кроме тривиальной, в данном контексте не очень интересно, потому что уже у $\mathbb Z$ (и соответственно любой содержащей целые числа группы, например $(\mathbb R, +)$) таких подгрупп нет.

Да, я как-то совсем не так понимал, мне даже не пришло в голову проверить, не является ли $(\mathbb Z, +)$ подгруппой $(\mathbb R, +)$. Сейчас проверил, является.

Мне казалось, что если из линейного пространства убрать умножение, подгруппами абелевой группы будет то, что останется от подпространств: нулевого, одномерного, двумерного и т. д., то есть, например, подгруппами трехмерного пространства, из которого убрано умножение, будут все двумерные и одномерные подпространства, из которых убрано умножение, и нулевое. И, например, что одномерное подпространство, из которого убрано умножение, то есть вся вещественная прямая, элементы которой могут складываться между собой, представляет собой подгруппу, которая не имеет больше подгрупп, кроме самой себя и нулевой.

Хорошо. Но если из линейного пространства убрать умножение, то то, что останется, будет той самой абелевой группой, над которой было построено пространство, правильно? Тогда структура пространства, то есть система подпространств, размерность, это все останется в полученной абелевой группе, то есть все это в ней уже было еще до введения умножения на числа?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562577 писал(а):

Но если из линейного пространства убрать умножение, то то, что останется, будет той самой абелевой группой, над которой было построено пространство, правильно? Тогда структура пространства, то есть система подпространств, размерность, это все останется в полученной абелевой группе, то есть все это в ней уже было еще до введения умножения на числа?

Вам уже четыре страницы пытаются втолковать, что не останется и не было. Вы не читаете, что Вам пишут?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562577 писал(а):

Тогда структура пространства, то есть система подпространств, размерность, это все останется в полученной абелевой группе, то есть все это в ней уже было еще до введения умножения на числа?

Подпространства, безусловно, являются подгруппами группы векторов как аддитивной группы. Но у этой группы есть еще куча подгрупп, подпространствами не являющихся. Причем могут быть и автоморфизмы группы, переводящие первые подгруппы во вторые, поэтому отличить их, глядя только на сложение, без умножения на скаляр, невозможно.
И в частности нельзя определить размерность. Я выше уже писал - прямая и плоскость изоморфны как группы по сложению.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1562582 писал(а):

Вам уже четыре страницы пытаются втолковать, что не останется и не было.

Спасибо! Для меня было важно это узнать.

Someone в сообщении #1562582 писал(а):

Вы не читаете, что Вам пишут?

Читаю.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Подпространства, безусловно, являются подгруппами группы векторов как аддитивной группы.

Это как у меня.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Но у этой группы есть еще куча подгрупп, подпространствами не являющихся.

А это нет. Я думал, что каждая подгруппа после введения умножения становится подпространством. Впрочем, это, может быть, еще не так страшно, главное, что есть подгруппы, которые становятся подпространствами.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Причем могут быть и автоморфизмы группы, переводящие первые подгруппы во вторые

то есть переводящие подгруппы, которые после введения умножения становятся подпространствами, в подгруппы, которые подпространствами так и не становятся? Я это не очень хорошо представляю, но, как я понимаю, бывает и так, что этих автоморфизмов нет, хотя если они хоть когда-то есть, это уже не дает возможности для существования общего принципа.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

поэтому отличить их, глядя только на сложение, без умножения на скаляр, невозможно.

Это совсем плохо.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

И в частности нельзя определить размерность.

И это тоже.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Я выше уже писал - прямая и плоскость изоморфны как группы по сложению.

Да, я помню: базис Гамеля. Я так до него пока и не добрался, надо добраться.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Подпространства, безусловно, являются подгруппами группы векторов как аддитивной группы. Но у этой группы есть еще куча подгрупп, подпространствами не являющихся.

Переделал начало и исправил немного кое-где. Взял не все подгруппы, а только те, которые после введения умножения станут подпространствами. Как теперь?

(Должен признаться, что пока еще упорствую в мнении, что в абелевой группе уже есть размерность, но, может быть, Вы меня разубедите.)

1.

Возьмем аддитивную абелеву группу $V=(\mathbb R^n, +)$. Будем называть ее группой $n$-го порядка.

Группа $V$ имеет нулевую подгруппу $V^0=(0,+)$, назовем ее подгруппой нулевого порядка.

Будем называть подгруппу $V^1=(\mathbb R^1, +)$ группы $V$ подгруппой первого порядка, подгруппу $V^2=(\mathbb R^2, +)$ подгруппой второго порядка и так далее.

Любые две несовпадающие подгруппы первого порядка $V^1_1$ и $V^1_2$ пересекаются только в одной точке (элементы будем называть также точками) и порождают некоторую подгруппу второго порядка $V^2$ в том смысле, что для любого элемента $c\in V^2$ найдутся такие элементы $a\in V^1_1$ и $b\in V^1_2$, что $c=a+b$, причем элементы $a$ и $b$ единственны (то есть $V^2$ представляет собой прямую сумму $V^1_1$ и $V^1_2$ ).

Если подгруппа $V^1$ первого порядка не лежит в подгруппе $V^2$ второго порядка (не является ее подгруппой), то они пересекается только в одной, нулевой точке и порождают некоторую подгруппу третьего порядка $V^3$.

Две подгруппы второго порядка $V^2_1$ и $V^2_2$ могут пересекаться либо в прямой (назовем так подгруппу первого порядка), и тогда они порождают подгруппу $V^3$ третьего порядка, либо только в нулевой точке, и тогда они порождают подгруппу $V^4$ четвертого порядка, представляя собой его прямую сумму.

И так далее.

Дальше изложение пойдет по двум вариантам.

1 вариант (с прицелом на умножение на вещественные числа).

Будем называть подгруппы первого порядка линейно независимыми, если они представляют собой слагаемые прямой суммы.

Любые $n$ линейно независимых подгрупп первого порядка группы $V$ $n$-ого порядка будем называть базисом группы $V$. Соответственно, эти $n$ линейно независимых подгрупп первого порядка будем называть базисными.

Понятно, что обращение с базисами абелевой группы следующее: берется по одному элементу из каждой базисной подгруппы и эти элементы складываются.

2 вариант (с прицелом на умножение на комплексные числа).

Будем называть подгруппы второго порядка линейно независимыми, если они представляют собой слагаемые прямой суммы.

При порядке группы $V$, равном $2n$, любые $n$ линейно независимых подгрупп второго порядка группы $V$ будем называть базисом группы $V$. Соответственно, эти $n$ линейно независимых подгрупп второго порядка будем называть базисными.

Размерностью группы назовем число ее базисных подгрупп. В соответствии с двумя вариантами определения базиса размерность группы может быть представлена в двух вариантах.

Независимо от того, какой базис применяется -- первого или второго варианта -- используя его, можно получить любой элемент группы $V$.

2.

Для первого варианта:

базисные прямые (то есть базисные подгруппы первого порядка) будем называть осями.

Таким образом, в $n$-мерной группе $V$ (в первом варианте!) имеется $n$ осей.

Для второго варианта:

любые две линейно независимые прямые $V^1_1, V^1_2$ (то есть любые две линейно независимые подгруппы первого порядка), лежащие в базисной подгруппе второго порядка, будем называть осями.

В одной из них, например, в $V^1_1$, после введения умножения на комплексные числа может лежать базисный вектор комплексного пространства.

После овеществления этого пространства в обеих осях $V^1_1, V^1_2$ могут лежать базисные векторы полученного вещественного пространства.

Таким образом, в $n$-мерной группе $V$ (во втором варианте!) имеется $2n$ осей.

Мне кажется, что употребление осей очень помогает пониманию линейных пространств -- вещественного и, особенно, комплексного, в частности, в его отношениях с соответствующими вещественными пространствами (при введении комплексной структуры это одно вещественное пространство, при комплексификации -- другое, с вдвое меньшим числом осей).

3.

Можно, как я понимаю, предложить еще несколько вариантов -- для кватернионов (с базисными подгруппами четвертого порядка), октав (с базисными подгруппами восьмого порядка) и т. д..

4.

Заметим, что для определения размерности (в двух вариантах) нам не понадобилось умножение элементов абелевой группы на числа. Соответственно, еще до введения умножения на числа у нас уже определились (в двух вариантах) подгруппы группы $V$, которые совпадают с подпространствами линейного пространства $\mathcal{V}$, которое можно построить на $V$ введением этого умножения.

Определены также совокупности подгрупп -- одномерных или двумерных, в зависимости от варианта (то есть от того, вещественным или комплексным будет пространство $\mathcal{V}$) -- в которых могут лежать базисные векторы пространства $\mathcal{V}$ после введения умножения (по одному базисному вектору в каждой подгруппе).

Еще одно.

После введения умножения в группе $V$ ее элементы начинают называться векторами, хотя их можно называть и элементами $V$.

Но я думаю, что и до введения умножения элементы группы $V$ могут называться векторами, так как можно считать, что они уже имеют направления. Например, можно считать, что элементы $a$ и $-a$ имеют противоположные направления.

Может быть, есть и еще что-то, что я забыл (или о чем не знаю), буду благодарен за дополнения.

5.

Если в линейном пространстве $\mathcal{V}$ линейную комбинацию $\textbf v=\alpha \textbf a+\beta \textbf b+\ldots+ \tau \textbf t$ представить в виде $\textbf v=\textbf a'+\textbf b'+\ldots+ \textbf t'$, где $\textbf a'=\alpha \textbf a, \textbf b'=\beta \textbf b, \ldots, \textbf t'=\tau \textbf t$, то получим одно только сложение векторов $\textbf a', \textbf b', \ldots, \textbf t'$ без умножения на числа, то есть сложение элементов $\textbf a', \textbf b', \ldots, \textbf t'$ группы $V$.

То есть умножение векторов на числа нужно для того, чтобы получить векторы, которые будут складываться. Если эти векторы уже известны, то нет необходимости в умножении векторов на числа -- можно обойтись одним только сложением в абелевой группе.

6.

После введения умножения.

Любой элемент $a$ группы $V$ ненулевого порядка может быть получен умножением на соответствующее вещественное число произвольного вектора $b\in V$, лежащего в той же прямой (то есть в той же подгруппе первого порядка), .

С умножением на комплексные числа дело обстоит сложнее.

Любой элемент $a$ группы $V$ порядка $2n$ может быть получен умножением на комплексное число произвольного элемента $c\in V$, лежащего в той же комплексной прямой, то есть в подгруппе второго порядка $V^2$, в которой определено умножение на комплексные числа как для элемента $a$,так и для элемента $c$.

(Если $a$ и $c$ лежат в одной и той же подгруппе $V'^2$ второго порядка, это еще не значит, что они лежат в одной и той же комплексной прямой, но если они лежат в одной и той же подгруппе $V'^2$ второго порядка, и подгруппа эта является комплексной прямой для $a$, то она является комплексной прямой и для $c$.)

(Подгруппу второго порядка группы назовем плоскостью.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562591 писал(а):

Будем называть подгруппу $V^1=(\mathbb R^1, +)$ группы $V$ подгруппой первого порядка, подгруппу $V^2=(\mathbb R^2, +)$ подгруппой второго порядка и так далее.

Вот на этом моменте уже непонятно (вообще, нет смысла писать сразу длинные посты, если как правила вопросы возникают уже к первым строчкам).
(предлагаю начать отделять группу, векторное пространство - носителей с операциями - от просто их носителей)
Носителем группы $V$ является множество $n$-элементых кортежей вещественных чисел. Вещественное число таким кортежем не является, поэтому $\mathbb R^1$ не является подмножеством носителя $V$. соответственно носитель $V^1$ - не подмножество носителя группы $V$, и $V^1$ по вашему определению - не подгруппа $V$.
Естественно у группы $V$ есть куча подгрупп, изоморфных $V^1$, но если вы хотите рассмотреть их - нужно сказать, какие.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562597 писал(а):

(предлагаю начать отделять группу, векторное пространство - носителей с операциями - от просто их носителей)

mihaild в сообщении #1562597 писал(а):

Носителем группы $V$ является множество $n$-элементных кортежей вещественных чисел.

Обозначим это множество $\mathsf{V}$ (другим шрифтом). $\mathsf{V}$ это множество, на котором будет задана аддитивная группа $V$, на которой, в свою очередь, будет задано линейное пространство $\mathcal{V}$.

При этом множество $\mathsf{V}$, группа $V$ и пространство $\mathcal{V}$ состоят из одних и тех же элементов.

Эти элементы (которые являются $n$-элементными кортежами вещественных чисел по своей природе) в множестве $\mathsf{V}$ и в группе $V$ можно обозначить как $a, b, c, \ldots,$ а в пространстве $\mathcal{V}$ -- как $\textbf a, \textbf b, \textbf c, \ldots .$

mihaild в сообщении #1562597 писал(а):

Вещественное число таким кортежем не является, поэтому $\mathbb R^1$ не является подмножеством носителя $V$.

Вещественное число $\alpha$ кортежем не является, но существуют одноэлементные кортежи вещественных чисел, например, $(\alpha)$. Под $\mathbb R^1$ я имел в виду множество всех одноэлементных кортежей вещественных чисел, а не множество всех вещественных чисел, это было неудачно.

Был и еще один неудачный момент. Я полагал, что, например, множество одноэлементных кортежей может быть подмножеством множества, скажем, трехэлементных кортежей (подобно тому, что одномерное пространство может быть подпространством трехмерного пространства), но это невозможно, так как одноэлементный кортеж не может быть элементом множества трехэлементных кортежей.

У меня, кажется, начинает что-то брезжить.

В группе $V$ (в качестве элементов) имеются такие $n$-элементные кортежи вещественных чисел, в которых все элементы, кроме одного, равны нулю. Если взять один такой кортеж и, сохраняя нули на своих местах, придавать ненулевой компоненте всевозможные вещественные значения, то полученные кортежи составят подгруппу группы $V$.

$n$ различных таких подгрупп являются прямой суммой группы $V$ и составляют ее базис (обращение с базисами абелевой группы следующее: берется по одному элементу из каждой базисной подгруппы и эти элементы складываются.)

(При сложении кортежей их соответствующие элементы складываются.)

Вопрос: возможно ли перейти к любому другому базису абелевой группы, используя только сложение ее элементов (не используя их умножение на числа)?

(Подозреваю, что нет.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562658 писал(а):

Вопрос: возможно ли перейти к любому другому базису абелевой группы, используя только сложение ее элементов (не используя их умножение на числа)?

Подумайте, существует ли автоморфизм аддитивной группы $(\mathbb R^2, +)$, сохраняющий множества $x = 0$ и $y = 0$, но переводящий прямую $x = y$ во что-то, не являющееся прямой. Если существует - то какой будет ответ на этот вопрос?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562658 писал(а):

Вещественное число $\alpha$ кортежем не является, но существуют одноэлементные кортежи вещественных чисел, например, $(\alpha)$. Под $\mathbb R^1$ я имел в виду множество всех одноэлементных кортежей вещественных чисел, а не множество всех вещественных чисел, это было неудачно.

Но множество одноэлементных кортежей не является подмножеством множества $n$-элементных кортежей.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1562668 писал(а):

Но множество одноэлементных кортежей не является подмножеством множества $n$-элементных кортежей.

(при $n\ne 1$) Да, я вижу, что когда писал то, что Вы процитировали, не очень хорошо соображал. Тем более, что следующий абзац у меня там:

Vladimir Pliassov в сообщении #1562658 писал(а):

Был и еще один неудачный момент. Я полагал, что, например, множество одноэлементных кортежей может быть подмножеством множества, скажем, трехэлементных кортежей (подобно тому, что одномерное пространство может быть подпространством трехмерного пространства), но это невозможно, так как одноэлементный кортеж не может быть элементом множества трехэлементных кортежей.

mihaild в сообщении #1562667 писал(а):

Подумайте, существует ли автоморфизм аддитивной группы $(\mathbb R^2, +)$, сохраняющий множества $x = 0$ и $y = 0$, но переводящий прямую $x = y$ во что-то, не являющееся прямой. Если существует - то какой будет ответ на этот вопрос?

Я не понимаю, что значит: "множества $x = 0$ и $y = 0$"

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562670 писал(а):

Я не понимаю, что значит: "множества $x = 0$ и $y = 0$"

У нас же носитель группы - двухэлементные кортежи. $x = 0$ - это множество кортежей вида $\langle 0, y\rangle$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562671 писал(а):

$x = 0$ - это множество кортежей вида $\langle 0, y\rangle$.

Это понял, спасибо. Но это, предположительно, тождественный автоморфизм, который сохраняет все: и прямые $x = 0$, $y = 0$, то есть оси координат $y, x$, и прямую $x=y.$ Или не так?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562674 писал(а):

Но это, предположительно, тождественный автоморфизм, который сохраняет все: и прямые $x = 0$, $y = 0$, то есть оси координат $y, x$, и прямую $x=y.$ Или не так?

Самостоятельные попытки решения?
Тут вы сформулировали более простую задачу, но можно начать и с неё. Пусть автоморфизм плоскости как группы по сложению сохраняет прямые $x = 0$ и $y = 0$. Верно ли, что он сохраняет и прямую $x = y$?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562687 писал(а):

Пусть автоморфизм плоскости как группы по сложению сохраняет прямые $x = 0$ и $y = 0$. Верно ли, что он сохраняет и прямую $x = y$?

Автоморфизм это биекция и гомоморфизм вместе.

Существует биекция между вещественными прямой и плоскостью. Тут я натолкнулся на препятствие.

Имеется построение этой биекции через бесконечные последовательности из нулей и единиц в доказательстве равномощности множеств $\mathbb R$ и $\mathbb R\times \mathbb R$ -- http://vyshka.math.ru/pspdf/f08/calculus-1/l3.pdf, начало стр. 3, но мне это построение не кажется убедительным.

Цитата:

Доказательство. Поскольку $\mathbb R$ равномощно множеству $C$ бесконечных
последовательностей из нулей и единиц, достаточно показать, что $C\times C$
равномощно $C$. Биекцию же $f : C\times C \to C$ можно построить следующим
образом. Если $a = (a_1, a_2, \ldots)$ и $b = (b_1, b_2, \ldots)$ -- две последовательности
нулей и единиц из $C$, то можно положить
$f(a, b) = (a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots)$
(элементы последовательностей $a$ и $b$ перемежаются).

Разве это биекция? Да, если поставить пару последовательностей $(a, b)$ в соответствие последовательности $a$, а пару последовательностей $(b, a)$ в соответствие последовательности $b$, то тогда каждой упорядоченной паре последовательностей будет соответствовать единственная последовательность. Но каждому $a$ будет соответствовать бесконечное число пар $(a, a), (a, b), (a, c), \ldots .$ Разве нет?

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562720 писал(а):

Существует биекция между вещественными прямой и плоскостью.

А причём тут прямая? Автоморфизм отображает плоскость на себя.

Подсказка к более простой задаче "Верно ли, что он сохраняет и прямую $x = y$?":

(Оффтоп)