Нам же нужна действующая величина.
И зачем нам она? Второй закон Ньютона в форме

она не спасает, а при правильной записи

она не нужна. В тензор энергии-импульса входит масса, которую Вы называете инвариантной, а не релятивистская масса, которую Вы хотите называть просто массой. Вдобавок релятивистскую массу часто называют поперечной массой, потому что есть ещё и продольная…
Парадокс тут в том, что учёные давно уже релятивистской массой не пользуются (Ландау и Лифшиц уже в 1941 году в своём курсе теоретической физики её не использовали), но всякие популяризаторы просто жить без неё не могут, да и авторы учебников буквально через одного никак с ней расстаться не могут.