Пентадекатлон мечты

[VAL]

Попробую реанимировать тему.

Ищу желающих поучаствовать в распределенном вычислении.
Цель - найти 15 последовательных чисел, имеющих в точности по 12 делителей.

Легко показать, что для каждого натурального $k$ найдется $M(k)$ - длина максимальной цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих в точности по $k$ натуральных делителей. Для нечетных $k$ $M(k)$ всегда равно 1. С четными все гораздо интереснее. На сегодняшний день известно несколько сотен $k$, для которых найдено точное значение $M(k)$. Но во всех этих случаях $M(k)\le 7$.

Из значений, больших 7, наиболее реально найти $M(12)$. Известно, что $13\le M(12)\le 15$. У меня есть код (на PARI) для поиска цепочки из 15 чисел. Но прикидка показывает, что на моем (довольно быстром) компе на это потребуется лет 7-10.
Но если навалиться коллективно, процесс ускорится.

Я запускаю сразу несколько экземпляров PARI. Каждый задействует одно логическое ядро процессора и совсем немного памяти. При этом ничего не тормозит. Перезапускаю вручную сразу все процессы одновременно. Дней на 5, чтобы не тратить время (минут 10) на перезапуск часто.

Ищу сообщников. Обращайтесь. Пришлю код и пояснения. (PAPI ставится на комп за несколько минут.)

Того, кому улыбнется удача, ждет приз (не то, чтобы очень уж ценный, но памятный).

====================================

6 апреля цепочка из 15 последовательных чисел, имеющих по 12 делителей была найдена Дмитрием Петуховым!

Но поиск $M(k)$ для других $k$ продолжается.
Здесь будут обновляться таблицы, связанные с задачей отыскания $M(k)$ для четных $k$

Цепочки, для которых $M(k)>7$, возможны только для $k$, кратных 12.

На данный момент такие цепочки известны для следующих значений $k$: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 288, 300, 312, 324, 336, 360, 384, 396, 408, 420, 432, 456, 480, 504, 528, 540, 576, 600, 624, 648, 720, 768, 792, 816, 840, 864, 936, 1008, 1080, 1176, 1200, 1296, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2160, 2520, 3600, 5040.

При этом максимальная длина известной на сегодняшний день цепочки равна 8 для следующих значений $k$:

156, 204, 228, 396, 408, 420, 456, 540, 624, 816, 840, 864, 936, 1008, 1176, 1200, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2520, 3600, 5040

Цепочки длиной 9 известны для следующих $k$:

132, 180, 252, 264, 300, 312, 324, 480, 504, 528, 600, 648, 720, 768, 792, 1080, 1296, 2160

Приведенная ниже таблица содержит сведения о самых длинных цепочках для тех $k$, для которых $M(k)\ge 10$.

$L(k)$ - длина самой длинной известной на сегодняшний день цепочки для данного $k$ (Lower bound);
$U(k)$ - доказанная оценка сверху для максимальной длины цепочки для данного $k$ (Upper bound).
Таким образом $L(k) \le M(k) \le U(k)$
Цепочки, найденные Евгением Жилицким и Артёмом Заржецким (и Дмитрием Петуховым ), получены с помощью программ Дмитрия Петухова.
Приводимые ниже (не только в таблице, но и после нее) оценки $M(k)$ сверху получили и улучшили Ivo Düntsch, Roger B. Eggleton, Hugo van der Sanden, Василий Дзюбенко, Владимир Лецко, Евгений Жилицкий и Денис Шатров.

\begin{tabular}{|c|c|c|l|r|l|} \hline k & L(k) & U(k) & Found by & Date & Comment\\ \hline 12 & \textbf{15} & 15 & Дмитрий Петухов & Apr 2022 & Complete\\ \hline 24 & 18 & 31 & Владимир Лецко & Jun 2022 & \\ \hline 36 & 13 & 15 & Евгений Жилицкий & Apr 2022 & \\ \hline 48 & \textbf{20} & 31 & Владимир Лецко & May 2022 & Current WR of length \\ \hline 60 & 11 & 23 & Артём Заржецкий & May 2022 & \\ \hline 72 & 14 & 31 & Евгений Жилицкий & Jul 2022 & \\ \hline 84 & 10 & 15 & Евгений Жилицкий & Jun 2022 & \\ \hline 96 & 17 & 31 & Владимир Лецко & Sep 2022 & \\ \hline 108 & 10 & 15 & Владимир Лецко & Sep 2022 & \\ \hline 120 & 12 & 107 & Владимир Лецко & Jul 2022 & \\ \hline 144 & 14 & 31 & Владимир Лецко & Oct 2022 & \\ \hline 168 & 11 & 31 & Владимир Лецко & Nov 2022 & \\ \hline 192 & 14 & 31 & Владимир Лецко & Jul 2022 & \\ \hline 216 & 12 & 31 & Владимир Лецко & Oct 2022 & \\ \hline 240 & 12 & 123 & Владимир Лецко & Aug 2022 & \\ \hline 288 & 11 & 31 & Владимир Лецко & Jul 2022 & \\ \hline 336 & 10 & 31 & Владимир Лецко & Nov 2022 & \\ \hline 360 & 11 & 119 & Владимир Лецко & Aug 2022 & \\ \hline 384 & 12 & 31 & Владимир Лецко & Aug 2022 & \\ \hline 432 & 10 & 31 & Владимир Лецко & Jul 2022 & \\ \hline 576 & 10 & 31 & Владимир Лецко & Oct 2022 & \\ \hline \end{tabular}

Если $k=12t\pm 4$, то $M(k)\le 7$. Ниже перечислены все $k$ указанного вида, для которых известны цепочки длины 7:

8, 16, 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56 , 64, 68, 76, 80, 88, 92, 100, 104, 112, 116, 124, 128, 136, 140, 148, 152, 160, 164, 172*, 
176,  184, 188*, 196, 200, 208, 220, 224, 232, 248, 256, 260, 272, 280, 296, 308, 320, 340, 352, 364, 380, 392, 400, 416, 440, 
448,  474, 500, 512, 560, 640, 700, 704, 784,  800, 896, 1000, 1024, 1120,  1280, 1600, 1792, 2048, 2560, 4096.

Денис Шатров доказал, что, для всех $k$ вида $12t+6$ справедлива оценка $M(k)\le5$.
Вот список значений $k$, для которых известны цепочки длины 5:

6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90, 102, 114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, 282, 294, 306, 318,
 330, 342, 354, 366, 378, 390, 414, 426, 438, 450, 462, 486, 498, 510, 522, 546, 558, 570, 594, 630, 666, 690, 702, 714, 726, 750,
 798, 810, 858, 870, 882, 930, 966, 1014, 1050, 1122, 1134, 1170, 1218, 1254, 1326, 1350, 1386, 1458, 1470, 1482, 1518, 1554, 
1650, 1734, 1782, 1794, 1890, 1914, 1938, 2046, 2166, 2250, 2310, 2430, 3150, 3402, 4374, 5670, 6750, 7290, 9450, 10206, 
12150, 13122, 17010, 20250, 21870 

Скорее всего, для всех $k$, сравнимых с $\pm 2$ по модулю 12 (за исключением $k = 2$) $M(k) = 3$.
Оценку $M(k)\le 3$ для таких $k$ удалось строго доказать для следующих случаев:
$M(2p) \le 3$, где $p$ - простое число, большее 3;
$M(2pq) \le 3$, где $p,q$ - простые числа, большие 3 (не обязательно различные);
$M(2P) \le 3$, где $P=\prod_{i=1}^s p_i$, а $p_i$ - простые числа такие, что $gcd_{i=1}^s(p_i-1) > 2$.
Последнее условие позволяет искать подходящие тройки даже для очень больших $k$.
Например, для $k=1017050412482$ (это больше триллиона!) поиск соответствующей тройки занял несколько минут.

(Первое число тройки)

876808460697450120945954523529391122826913770447215521293922322854246671317359638311181323772896378226056168127423836176038349152061070194671548193372434953712458723723440214529913674312866745467691290950916103794539107029237714798913297339976098386267890025513404389478325845811649302333636919917922236657330932366582525033279745091108057424916190185619670172217997071499767140561164846237001394534266512575515645739499042464880639076726644679453168096257632857676552956165348365446887911457786393454547735035561254405057394709904121092348401414273011267206346471697383332400333729137077860750035128532026101426294175648627308559140586324468444425107045767948511344144450055213363494122221840230896109004106619977392256259918212890623

Надеюсь, этот пример убедительно показывает, почему здесь не приводятся конкретные $k$ и соответствующие тройки для случая $M(k)=3$.

В прилагаемой таблице представлены числа, открывающие цепочки последовательных чисел, имеющих по $M(k)$ делителей, для всех таких $k$ (кроме помеченных звездочкой: они попадут в обновленную версию), для которых такие цепочки известны и $M(k)>3$.

А здесь представлены результаты работы команды, занимающейся поиском минимальных цепочек с 12 делителями.

[Yadryara]

VAL в сообщении #1547645 писал(а):

Обращайтесь. Пришлю код и пояснения.

А не надо присылать код. Если он не шибко длинный, выкладывайте его прямо здесь, ну или в PARI-шной теме. Под катом, конечно. Может спецы по PARI(которые здесь есть) не только погоняют прогу, но ещё и подскажут как оптимизировать.

Лично я готов немного погонять.

[VAL]

Yadryara в сообщении #1547811 писал(а):

VAL в сообщении #1547645 писал(а):

Обращайтесь. Пришлю код и пояснения.

А не надо присылать код. Если он не шибко длинный, выкладывайте его прямо здесь, ну или в PARI-шной теме. Под катом, конечно. Может спецы по PARI(которые здесь есть) не только погоняют прогу, но ещё и подскажут как оптимизировать.

Ну, основная оптимизация - замена PARI на что-нибудь более быстрое...

Цитата:

Лично я готов немного погонять.

Отлично!
Сейчас убегаю на работу, а вечером поймаю на слове.

[Yadryara]

VAL в сообщении #1547813 писал(а):

Ну, основная оптимизация - замена PARI на что-нибудь более быстрое...

Ну конечно же в первую очередь приходит в голову уважаемый Dmitriy40, разбирающийся в огромном количестве языков(в том числе PARI), в оптимизации программ и помогший на форуме огромному количеству людей.

[slavav]

Как устроена математика задачи? Откуда оценка сверху на время поиска? Есть какое-то конечное множество кандидатов?

[VAL]

Yadryara в сообщении #1547820 писал(а):

Ну конечно же в первую очередь приходит в голову уважаемый Dmitriy40, разбирающийся в огромном количестве языков(в том числе PARI), в оптимизации программ

Это смотря в чью голову.
(Данное замечание ни в коем случае не наезд на Dmitriy40, а констатация моей первой ассоциации.)

Что касается существа дела - задал Вам вопрос на e-mail.

-- 03 фев 2022, 19:37 --

slavav в сообщении #1547884 писал(а):

Как устроена математика задачи?

Танцы вокруг Китайской теоремы об остатках.

Цитата:

Откуда оценка сверху на время поиска? Есть какое-то конечное множество кандидатов?

Запустил проверку 100 000 цепочек, нашел число требуемых чисел в каждой позиции и посчитал в предположении независимости событий.

Подробности можно найти здесь

[Dmitriy40]

VAL
Первое.

Vladimir A. Letsko писал(а):

The smallest j satisfying these conditions is j = 647,045,875, which corresponds to n = 1,545,780,028,345,667,311,380,575,449 starting a run of 10 consecutive equidivisible numbers each having exactly 12 divisors.

Но я менее чем за час нашёл ещё два меньших числа:
430981534858706218000405849
627413859628182702013530649
Причём ровно по формулам из статьи. Почему автор их пропустил - загадка.

Второе.
А какой примерно порядок может иметь решение $M(12)=15$ по Вашей оценке?
Основываясь на той же статье самостоятельно нашёл 4 разных варианта остатка искомого числа $n$ по модулю младших простых и написал программу на PARI для поиска решения, до $n=10^{21}$ проверка заняла 4 минуты, интересно сравнить это с вашей скоростью и прикинуть сколько займёт поиск ожидаемого вами решения.

Третье.
Насколько вижу основное время тратится на проверку псевдопростоты чисел, а в этом соревноваться с PARI нет желания, сильно много тут не выиграть.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1547989 писал(а):

VAL
Первое.

Vladimir A. Letsko писал(а):

The smallest j satisfying these conditions is j = 647,045,875, which corresponds to n = 1,545,780,028,345,667,311,380,575,449 starting a run of 10 consecutive equidivisible numbers each having exactly 12 divisors.

Но я менее чем за час нашёл ещё два меньших числа:
430981534858706218000405849
627413859628182702013530649
Причём ровно по формулам из статьи. Почему автор их пропустил - загадка.

Что значит пропустил? Я не ставил себе цель найти все цепочки длины 10
И более реалистичную цель - найти цепочку с наименьшими числами тоже не ставил.
Цель была найти наиболее длинную цепочку.
С моими нынешними вычислительными возможностями (Вы процитировали результат 8-летней давности) цепочки из 10 чисел я могу находить быстро и в большом количестве.
Но я пытаюсь найти цепочку длины 15, поскольку именно она позволит найти первое точное значение $M(k)$, большее 7.
И именно в этом деле ищу собутыльников соучастников.

Цитата:

Второе.
А какой примерно порядок может иметь решение $M(12)=15$ по Вашей оценке?

От 28 знаков (это граница снизу) и больше.

Цитата:

Основываясь на той же статье самостоятельно нашёл 4 разных варианта остатка искомого числа $n$ по модулю младших простых и написал программу на PARI для поиска решения, до $n=10^{21}$ проверка заняла 4 минуты, интересно сравнить это с вашей скоростью и прикинуть сколько займёт поиск ожидаемого вами решения.

Моя программа за 5 суток проверяет $10^{11}$ цепочек. Одновременно у меня крутится 22 таких программы (проц. AMD Ryzen 9 5900X)

Цитата:

Третье.
Насколько вижу основное время тратится на проверку псевдопростоты чисел, а в этом соревноваться с PARI нет желания, сильно много тут не выиграть.

Можно не соревноваться, а сотрудничать. Возьметесь?

[Dmitriy40]

VAL в сообщении #1547995 писал(а):

И более реалистичную цель - найти цепочку с наименьшими числами тоже не ставил.

А, тогда понятно.

VAL в сообщении #1547995 писал(а):

Моя программа за 5 суток проверяет $10^{11}$ цепочек.

Странно, у меня заметно быстрее: первые $10^{11}$ цепочек проверились за 40 минут в одном потоке. Программа достаточно проста:

{forprime(p=1,10^11,
   if(abs(bitand(p,7)-4)!=3, next);\\Проверяем только простые вида 8k±1
   n=10*p^2-9;
   if((n+14)%45==0 && (n+3)%28==0
      && ispseudoprime((n+14)\45) && ispseudoprime((n+3)\28) && ispseudoprime((n+5)\18) && ispseudoprime((n+11)\12)
      && numdiv(n)==12 && numdiv(n+1)==12 && numdiv(n+2)==12 && numdiv(n+4)==12 && numdiv(n+6)==12 && numdiv(n+7)==12
      && numdiv(n+8)==12 && numdiv(n+10)==12 && numdiv(n+12)==12 && numdiv(n+13)==12
      , print(n);
   );
)}

VAL в сообщении #1547995 писал(а):

Возьметесь?

Вообще-то у меня мысль как-то ускорить перебор, наложив дополнительные фильтры на перебираемое простое число, чтобы передавать в PARI как можно меньше чисел для итоговой проверки. Пока в раздумьях что работает, а что нет, и что можно реализовать простыми средствами (не привлекая проверку на простоту больших чисел). Пока достиг фильтрации миллиарда цепочек за 5 секунд с коэффициентом примерно 10000:1 - в PARI уходит на проверку 97600 чисел из первого миллиарда цепочек, которые он проверяет за полсекунды. Похоже придётся ещё поиграться балансом между фильтрацией и проверкой в PARI. Программа фильтрации написана на ассемблере x64 (люблю я его), именно поэтому не хочу заморачиваться с проверкой на простоту.

PS.

VAL в сообщении #1547891 писал(а):

Запустил проверку 100 000 цепочек, нашел число требуемых чисел в каждой позиции и посчитал в предположении независимости событий.

Метод понятный, но я сталкивался (при занятии магическими квадратами, там перебор был сделан очень похоже) что он может достаточно сильно ошибаться, на несколько порядков, зато в любую сторону (если повезёт можно найти и раньше оценки). Аналогичную картину показывают и многие другие численные эксперименты. В общем не стоит очень уж сильно надеяться на эту оценку, лучше завысить её порядка на 3-5.
Но оценка $10^{\approx30}$ вообще говоря радует: туда вполне реально добраться за разумное время. Вот с $10^{40}$ будет грустно.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1548032 писал(а):

VAL в сообщении #1547995 писал(а):

Моя программа за 5 суток проверяет $10^{11}$ цепочек.

Странно, у меня заметно быстрее: первые $10^{11}$ цепочек проверились за 40 минут в одном потоке. Программа достаточно проста:

{forprime(p=1,10^11,
   if(abs(bitand(p,7)-4)!=3, next);\\Проверяем только простые вида 8k±1
   n=10*p^2-9;
   if((n+14)%45==0 && (n+3)%28==0
      && ispseudoprime((n+14)\45) && ispseudoprime((n+3)\28) && ispseudoprime((n+5)\18) && ispseudoprime((n+11)\12)
      && numdiv(n)==12 && numdiv(n+1)==12 && numdiv(n+2)==12 && numdiv(n+4)==12 && numdiv(n+6)==12 && numdiv(n+7)==12
      && numdiv(n+8)==12 && numdiv(n+10)==12 && numdiv(n+12)==12 && numdiv(n+13)==12
      , print(n);
   );
)}

Ничего странного. У меня проверяются числа из совсем другого диапазона (начинаются 28-значных и довольно быстро добираются 40-значных). При этом каждое из 15 гарантированно делится на квадрат простого числа (чтобы количество делителей было кратно 3). За исключением среднего числа в цепочке, которое кратно 32 (это необходимое условие).

Цитата:

VAL в сообщении #1547995 писал(а):

Возьметесь?

Вообще-то у меня мысль как-то ускорить перебор, наложив дополнительные фильтры на перебираемое простое число, чтобы передавать в PARI как можно меньше чисел для итоговой проверки. Пока в раздумьях что работает, а что нет, и что можно реализовать простыми средствами (не привлекая проверку на простоту больших чисел). Пока достиг фильтрации миллиарда цепочек за 5 секунд с коэффициентом примерно 10000:1 - в PARI уходит на проверку 97600 чисел из первого миллиарда цепочек, которые он проверяет за полсекунды. Похоже придётся ещё поиграться балансом между фильтрацией и проверкой в PARI. Программа фильтрации написана на ассемблере x64 (люблю я его), именно поэтому не хочу заморачиваться с проверкой на простоту.

Ну вот. А пока думаете, комп может посчитать, используя мои фильтры.

Цитата:

PS.

VAL в сообщении #1547891 писал(а):

Запустил проверку 100 000 цепочек, нашел число требуемых чисел в каждой позиции и посчитал в предположении независимости событий.

Метод понятный, но я сталкивался (при занятии магическими квадратами, там перебор был сделан очень похоже) что он может достаточно сильно ошибаться, на несколько порядков, зато в любую сторону (если повезёт можно найти и раньше оценки). Аналогичную картину показывают и многие другие численные эксперименты. В общем не стоит очень уж сильно надеяться на эту оценку, лучше завысить её порядка на 3-5.
Но оценка $10^{\approx30}$ вообще говоря радует: туда вполне реально добраться за разумное время. Вот с $10^{40}$ будет грустно.

У меня оценка - $10^{15} - 10^{16}$ цепочек. Каждая бракуется в среднем ранее чем на втором шаге. Но работа ведется в основном с 35-40 значными числами.

[Dmitriy40]

VAL в сообщении #1548034 писал(а):

За исключением среднего числа в цепочке, которое кратно 32 (это необходимое условие).

Интересно! У меня это условие почему-то оказалось гарантированно ложным. Причём возможные варианты закончились при размещении 5 и 7, до 11 и 13 дело даже не дошло.
Возможно где-то ошибся ...
Нет ли у Вас какого-нибудь промежуточного числа, проверить что за вариант я пропустил/отбросил?
И на всякий случай уточню, Вы ведь проверяете числа вида $n=25\pmod{32}$? Как раз у них в середине формула $n+7=2^5p$.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1548035 писал(а):

VAL в сообщении #1548034 писал(а):

За исключением среднего числа в цепочке, которое кратно 32 (это необходимое условие).

Интересно! У меня это условие почему-то оказалось гарантированно ложным. Причём возможные варианты закончились при размещении 5 и 7, до 11 и 13 дело даже не дошло.

Цитата:

Возможно где-то ошибся ...

Доказательство есть здесь

Цитата:

Нет ли у Вас какого-нибудь промежуточного числа, проверить что за вариант я пропустил/отбросил?

6854625212387082380472670696886398002841.
А еще есть таблицы, на основании которых я леплю программки (автоматически).

Цитата:

И на всякий случай уточню, Вы ведь проверяете числа вида $n=25\pmod{32}$? Как раз у них в середине формула $n+7=2^5p$.

Да.

[Dmitriy40]

VAL в сообщении #1548036 писал(а):

6854625212387082380472670696886398002841.

Спасибо, понял что упустил.

[Yadryara]

VAL в сообщении #1548034 писал(а):

При этом каждое из 15 гарантированно делится на квадрат простого числа (чтобы количество делителей было кратно 3). За исключением среднего числа в цепочке, которое кратно 32 (это необходимое условие).

То есть в искомом пентадекатлоне должно быть строго $7$ чётных, где степени двойки должны быть строго такими:

$ 1 \quad 2 \quad 1 \quad 5 \quad 1 \quad 2 \quad 1 $

Правильно? Таким образом, нужно ведь не просто проверять делимость на $32$ для среднего числа, но и проверять отсутствие делимости на $64$.

Возможно, всё это учтено, но я спрашиваю, поскольку Вашего кода пока не видел. Может быть в том файле формата xlsx, который у меня не открылся, уже все числа нужного вида, например, среднее $2^5p$.

А ещё, похоже, что кое-кто отчего-то перестал пользоваться кнопкой .

[VAL]

Yadryara в сообщении #1548053 писал(а):

То есть в искомом пентадекатлоне должно быть строго $7$ чётных, где степени двойки должны быть строго такими:

$ 1 \quad 2 \quad 1 \quad 5 \quad 1 \quad 2 \quad 1 $

Правильно?

Совершенно верно.

Цитата:

Таким образом, нужно ведь не просто проверять делимость на $32$ для среднего числа, но и проверять отсутствие делимости на $64$.

А вот это излишне. Это можно учесть, выбирая шаг.

Цитата:

Возможно, всё это учтено, но я спрашиваю, поскольку Вашего кода пока не видел.

У меня секретов нет. Пожалуйста:

 \l e:\VAL\Math\projects\equidivisible_numbers\PARI\15-12\res2\r2014

a = 722
m = 3660987554487982120802400
p1 = 5028162941065848674776261

i1=    00000000000
i2=i1+100000000000

s=0;
{for(i=i1,i2,if(i%5!=1 && i%7!=2 && i%11!=5 && i%13!=4 && i%17!=0 && i%19!=4 && i%23!=4 && i%29!=11 && i%31!=9 && i%37!=17, p=p1+i*m;
if(ispseudoprime(p),n=p*a; if(ispseudoprime((n+1)/2883) && ispseudoprime((n+3)/2645) && ispseudoprime((n+4)/18) && 
ispseudoprime((n+5)/847) && ispseudoprime((n+6)/32) && ispseudoprime((n+7)/4107) && ispseudoprime((n+8)/50),print(100.*(i-i1)/(i2-i1));
if(ispseudoprime((n+10)/12),print(n-1,"$");s=s+1; if(ispseudoprime((n+12)/98),print(n-1,"#"); 
if(ispseudoprime((n+13)/45),e=0;if(numdiv(n+2)==12,print(Yes);e=e+1,print(no));if(numdiv(n+9)==12,print(Yes);e=e+1,print(no));
if(numdiv(n+11)==12,print(Yes);e=e+1,print(no));if(e==3,print(14));if(numdiv(n-1)==12,print(Yes);e=e+1;if(e==4,break),print(no)))))))))};print(s);2014