Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
то давайте под достаточно малой величиной будем понимать такую, как определил в общем В.И. Смирнов (т.2, стр. 51-52), называя ее б.м. величиной, стремящейся к нулю и остающейся по модулю «меньше любого наперед заданного малого положительного числа»
Нет не будем!!. Бесконечно малая величина в математике - это стремящаяся к нулю функция или последовательность. Именно тогда она подходит под цитированное определение.
Если для Вас определение Вашего научного прадеда, которым Вы вполне обоснованно гордитесь, не является исчерпывающим, то я затрудняюсь предложить более подходящую ссылку.
Цитата:
Для Вас - это число?? Тогда объясните, как число может быть и не нулем, и меньше любого положительного. Еще один пример вашего патологического непонимания явно написанного.
Вы сначала строите догадки, затем приписываете Ваши предположения мне и на этом основании строите обвинения. Свое понимание б.м. я Вам уже излагал…
Я уже предлагал, что лучше говорить не бесконечно малый, а как угодно малый, т.е. больше нуля и меньше любого как угодно близкого к нулю. Это, может быть, трудно осознать, но на практике проверить можно. Математическую игру любознательным школьникам даже можно предложить….
И, как видите, даже примеры математических игр для учащихся приводил, которые могут пригодиться учителю (математики?) из Tel-Aviv, задавшему вопрос
То бишь бесконечно малая - это ноль?
Михаэль Розенберг
Поэтому давайте наше понимание б.м. мы пока оставим в стороне и будем руководствоваться лишь непротиворечивыми правилами выполнения математических операций с этими гениальными, но весьма деликатными творениями человеческого разума.
shwedka писал(а):
Ваши измышления по поводу формулы (11)
и разбирать не буду.
Это не позиция математика-профессионала, а просто общеизвестный прием, когда отсутствуют аргументы для возражений! Вы отказываетесь, несмотря на мою просьбу, рассматривать преобразования формулы 11, подробно расписанные специально для Вас!
Цитата:
Я уже показала, что она выполнена автоматически для любого бездивергентного поля скоростей.
Эта формула выведена для общего случая и поэтому справедлива и для сжимаемой, и для несжимаемой жидкости.
Цитата:
и потому никаких дополнительных ограничений вносить не может.
Посмотрите внимательно на правую часть этой формулы. При равенстве нулю левой части правая часть представляет собой неявную функциональную зависимость между дивергенцией перемещения и различными произведениями производных скорости и перемещения. А это и есть те невидимые без анализа ограничения (связи), которые вскрывает эта формула.
Цитата:
ФОРМУЛА (11) ВЫПОЛНЕНА ДЛЯ МОЕГО ПРИМЕРА. Как и для всех других!!
Я тоже это подтверждаю
Цитата:
Она перестает выполняться в формулах с буквами, когда Вы используете ОШИБОЧНОЕ утверждение о равенстве нулю дивергенции перемещения.
А здесь Вы сказали именно то, что позволяет хоть немного двигаться дальше, несмотря на Ваш отказ рассматривать преобразования. К этому следует добавить еще сказанное Вами ниже
Цитата:
Вы согласны, что решения в контрпримерах с ненулевой дивергенцией ускорения противоречат уравнению неразрывности, записанному в развернутой форме (11,б)?
Да, полностью согласна. Правильные решения притиворечат неправильным уравнениям, полученных из правильных уравнений ошибочным путем. Было бы странно, если бы не противоречили
Свое голословное утверждение кроме как эмоциями Вы ничем не можете подкрепить, поскольку отказались указать ошибку в подробно расписанных элементарных преобразованиях формулы 11.
Цитата:
Сжимаемую жидкость пока не рассматриваем.
А мне кажется, что уже пора. Это позволило бы быстрее достигнуть консенсуса. Чтобы в этом убедиться, достаточно лишь взглянуть на корректную запись УНС для идеально вязкой сжимаемой жидкости
http://a-kozachok1.narod.ru/stokes1S.pdf ![\[
\rho \vec F + (\mu _o + \frac{\mu }
{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u,
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/3/4d3a6f97732dbad26d66c577208b453182.png "\[
\rho \vec F + (\mu _o + \frac{\mu }
{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u,
\]")
Цитата:
По поводу равенства нулю дивергенции перемещения. вы эту 'формулу' как бы вывели для 'бесконечно малого временми'.
В моем выводе понятие б.м. времени
в явном виде не фигурирует (просмотрите- вывод элементарный и совершенно прозрачный).
А равенство нулю дивергенции перемещения- это следствие равенства нулю дивергенции скорости, если перемещения определяются за достаточно малый промежуток времени Цитата:
Попробуйте определиться. При 'выводе' Вы чем-то пренебрегали.
Если рассматривать применительно к Вашему примеру с нулевыми деформациями сдвига, то ничем не пренебрегал.
Цитата:
Там величинами второго порядка малости..(относительно чего??).получился, по-Вашему ноль. то есть на самом-то деле - не ноль, а как раз то, чем Вы пренебрегли при Выводе. сами Вы доказали, что дивергенция перемещения НЕ НОЛЬ.
Бесконечно мал;ая какого-то там порядка оносительно 
, но не ноль. Ровно на эту бесконечно малую и нарушается (11), когда Вы превращаете его в формулы с буквами.
При ненулевых, но достаточно малых, деформациях сдвига в выражении объемной деформации появляются члены второго порядка малости. Однако при вычислениях объемной деформации оставляются только члены первого порядка малости.
Вся система дифференциального исчисления построена с учетом пренебрежения величинами второго порядка малости при наличии величин первого порядка. Вы это прекрасно знаете.
Цитата:
Вообще, попробуйте придать смысл словам, что что-то (дивергенция приращения??? или что -то другое)е равно нулю при бесконечно малых временах.) я уже, кажется в четвертый раз прошу, а Вы уклоняетесь. ЧТО ЭТО ЗНАЧИТ??
Не что-то другое, а
дивергенция перемещения. И равна нулю только в том случае, когда равна нулю и дивергенция скорости! Цитата:
Вот, для начала,
чтобы думать привыкать, приведите ПРИМЕР функции
переменой
, которая 'равна нулю при бесконечно малых
' , в Вашем понимании. Хoтя бы одну!!
Навскидку дам несколько вариантов, если ни один не нравится, дайте свой!
В предыдущих комментариях я уже дал разъяснение, из которого вытекает, что Ваше требование невыполнимо, поскольку сформулировано не правильно. Для большей ясности добавлю, т.е. разжую:
1. дивергенция скорости адекватна скорости относительного изменения элементарного объема сплошной среды;
2. дивергенция перемещения адекватна самой величине относительного изменения элементарного объема, но только в том случае, когда в выражение для дивергенции закладываются достаточно малые перемещения, т.е.
происшедшие за достаточно малое время;3.
в случае несжимаемости среды величина элементарного объема не изменяется, а это означает, что и скорость его изменения равна нулю;4. очевидным является и обратное утверждение:
если скорость изменения элементарного объема равна нулю, то величина элементарного объема не изменяется;5. с учетом сказанного в п.п. 1 и 2
только при нулевой дивергенции скорости дивергенция малых перемещений ОБЯЗАТЕЛЬНО равна нулю;6. и чтобы совсем исключить какие-либо сомнения, вспомните известную со школьной скамьи фразу:
путь (перемещение) равен произведению скорости на время. Проанализируйте сказанное и сопоставьте с Вашим заявлением
«Вы используете ОШИБОЧНОЕ утверждение о равенстве нулю дивергенции перемещения».
Цитата:
Oб уравнениях. Вы все время говорите о каких-то основных уравнениях,
Основными уравнениями и гидромеханике, и в теории упругости обычно принято называть исходную замкнутую систему уравнений для той или иной конкретной задачи
Цитата:
Подбирать уравнение под решение - это то, что я называю жульничеством. Это ваше личное изобретение.
Вы приписываете мне надуманное Вами. Из моих рассуждений следует, что основные уравнения могут существенно измениться и даже поменять свой тип согласно принятой математическим сообществом классификации, если заранее наложить ограничения на искомое решение или же произвольно задавать решение, содержащее видимые или невидимые и зачастую неприемлемые ограничения.
Цитата:
Значит так. Если Вам уравнения Навье-Стокса и неразрывности, движения несжимаемой жидкости в традиционном виде не нравятся, напишите свои. Зафиксируем.. Будет закон природы в форме Козачка. Но стабильный. Не меняющийся в зависимости от выбора решения или направления ветра.
Уравнения Навье-Стокса не нравятся не только мне.
Эти уравнения не пригодны 1) при описании течении жидкости в нанотрубках (придётся уменьшить вязкость в тысячи раз), 2) они не пригодны при описании ламинарного течения, когда...
И Вы об этом прекрасно знаете
Применимость или неприменимость НС к реальному миру иррелевантна.
задача признана важной математическим сообществом.
К тому же для сжимаемой жидкости УНС записаны с явными ошибками. Исправление этих ошибок преобразует УНС к виду, записанному мною выше. Так что по этому поводу, милости прошу, сдержите слово –«
зафиксируйте» и публично сформулируйте свою позицию здесь
http://dxdy.ru/topic2695.html .
Цитата:
Таким образом, при неизменной плотности среды относительное изменение элементарного объема за малый промежуток времени, как и скорость этого изменения, равно нулю.
Ровно настолько же, как и выше дивергенция перемещения.
Не равна нулю, а равна отброшенным при выводе членам. Можете и у классиков посмотреть, как они эти члены отбрасывают.
По этому поводу я уже дал комментарии. Однако добавлю. Здесь Вы явно противоречите известному из физики и повседневного опыта факту. Например, переливая стакан несжимаемой жидкости с любой скоростью в другой сосуд мы не сможем изменить ни объема, ни плотности как всей жидкости, так и отдельных ее частиц. Поэтому и скорость такого изменения равна нулю.
Цитата:
Ваши рассуждения о знаках величин и их производных. Все это правда, но только в нулевой (начальный ) момент времени. Потом же время уже ненулевое. Ваши формулы портятся, отброшенные члены о себе напоминают. И никакого противоречия между знаками различных величин и их производных уже Вы не показали!
А Вы попробуйте это показать на подробно расписанных преобразованиях формулы (11). Почему Вы отказались?
Если продолжить Ваши рассуждения, то надо пересмотреть многие формулы для производных, при выводе которых отбрасываются члены второго порядка малости. И очень прошу Вас ответить на вопрос,
почему те же «формулы НЕ портятся, отброшенные члены о себе НЕ напоминают» в Вашем же примере с нулевой дивергенцией ускорения?Цитата:
По поводу 11б
. Величина же перемещений всецело зависит от начала отсчета, т.е. от произвольно задаваемых начальных координат подвижных материальных точек.
вы повторяете эту молитву из поста в пост. Святая простота. Начальные координаты точек совсем не произвольно задаются Даже наоборот!. если задано поле скоростей, а сейчас время
, то начальные координаты точки, которая сейчас находится в позиции (x,y,z) определены однозначно,. с точностью до свободы выбора ТОЛЬКО начального момента времени
,Общего для всех точек. Я уже объясняла как это делается Вот
момент времени, который хотите считать начальным - в Вашей власти. Больше свободы и произвольности, тем более, совершенной, нет, если поле скоростей задано..
Все совершенно верно!
Именно это имелось в ввиду и заложено в фразе «всецело зависит от начала отсчета (читайте дальше - времени)». Извините за допущенную неточность, о которой Вы хорошо знаете. Если бы не знали, то этот вопрос
Как следует понимать Ваше утверждение о равенстве нулю дивергенции перемещения при бесконечно малом времени?
Вы бы сформулировали без слов «
бесконечно малом времени» .
Цитата:
Да, а куда делась теория тривиальных решений, которую вы так лихо использовали две недели назад? Присоединилась к делению векторов?? И теория основных уравнений для векторного поля?? Вроде бы, собирались определение дать.
По этому поводу я могу лишь повторить, что сказал раньше: займитесь этим! Тогда
перед Вами и Вашими учениками откроются новые неизведанные направления исследований на стыках математики и механики сплошных сред.
А по поводу деления векторов не все так просто, как Вам кажется. Я уже изложил свою позицию и дал Вам много ссылок на этот счет, но комментировать Вы не захотели
Эта идея, как оказалось, многими обсуждается и в чем-то уже как-то реализована…
По поводу тривиальных решений, кроме своего «фе», ничего не сказали, а стоило хотя бы задуматься по поводу этой ссылки на выдающегося классика
Смирнов В.И. (т.2, стр. 11, 48) при определении понятия решения ДУ, как правило, приводят запись ДУ в виде функции, разрешенной относительно старшей производной. А при такой записи…
shwedka писал(а):
В общем, для тех, кто еще читает, но не хочет разбираться в деталях, даю краткий итог Александр Козачок дифференцировать и комбинировать умеет, в чем ему не откажешь. Руками машет отменно. Наукообразной терминологией владеет.Книжек начитался. В остальном же демонстрирует незнание базовых математических понятий и заменяет их самопальными суррогатами. Теорем математических не знает. Типичные приемы.
Спасибо за откровенные «комплименты»! В ответ скажу, что я много чего, что надо и что хотелось бы знать, еще не знаю. И это иногда доставляет мне огорчение, особенно, когда приходится писать ответ профессиональному математику. Но в таких случаях я вспоминаю заповедь мудрецов: «Не стыдно чего-то не знать, стыдно не хотеть учиться». И вот оказывается: в процессе самообразования всегда отчетливее видны ошибки предшественников и чаще рождаются новые идеи.
Цитата:
1. Заявляет, что что-то можно положить нулю. Обосновать не может.
2. Не понимает разницу между нулем и бесконечно малыми функциями, посему их взаимно подменяет.
3. считает, что функция, удовлетворяющая уравнению, не обязательно является решением. Нужно еще высочайшее одобрение получить, чтобы так называться.
4. И любимое. Считает, что для каждой функции есть СВОЕ особое уравнение, которое запрещает ей быть решением других уравнений. Оставляет за собой исключительное право писать это уравнение.
Для убедительности следовало бы снабдить п.п.1-4 цитатами из моих сообщений. А так - одни эмоции. Поэтому комментировать и возражать по п.п. 1,3,4 бесполезно. А что касается п.2, то комментарии по этому поводу будут означать возврат к дискуссии, о которой шла речь в первых строках этого сообщения.
С уважением, Александр Козачок
![\[
y = - cx + d
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/0665b4d33a9d90f6227a1ede8f67b11082.png "\[
y = - cx + d
\]")
, удовлетворяющая уравнению ![\[
\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} + \frac{{dy}}{{dx}} + c = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/c/d1c6c4c8a7c53b71aa8addbbd5898d9f82.png "\[
\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} + \frac{{dy}}{{dx}} + c = 0
\]")
, есть решение этого уравнения со всеми вытекающими отсюда последствиями, т.е. к этой функции можно предъявить те же требования, что и к решению уравнения с учетом высшей производной? А ведь 
. 
.
называется решением 
![\[ y = - cx + d \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/2/9b2781141d4a72d9a1eb94d6b082aebb82.png "\[ y = - cx + d \]")
, удовлетворяющая уравнению ![\[ \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} + \frac{{dy}}{{dx}} + c = 0 \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/d/9adbcb4a59e5eb72ac4420d6d4034de382.png "\[ \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} + \frac{{dy}}{{dx}} + c = 0 \]")
, есть решение этого уравнения со всеми вытекающими отсюда последствиями, т.е. к этой функции можно предъявить те же требования, что и к решению уравнения с учетом высшей производной![\[ \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} =- \frac{{dy}}{{dx}} - c \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/3/593a10e1d5c18a9e8b4359e1d7821e3682.png "\[ \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} =- \frac{{dy}}{{dx}} - c \]")
, как и решения УЭ по отношению к УНС, тоже должны быть отнесены к категории тривиальных с вытекающими отсюда следствиями. Классики, видимо, это прекрасно понимали (стр. 48, т.2, Смирнов В.И.), поскольку ДУ первого порядка перестает быть ДУ вообще, а в остальных случаях снижается порядок ДУ для тривиального решения. Чтобы подчеркнуть это, Смирнов В.И. сначала записывает ДУ в виде неявной функции ![\[
\phi (x,y,y',y''..........y^n ) = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/4/c64c0ff6caf5bde191f246aed5cf4d9982.png "\[
\phi (x,y,y',y''..........y^n ) = 0
\]")
, а затем относительно старшей производной ![\[
y^n = \phi (x,y,y',y''..........y^{n - 1} )
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/a/46a06e9e0564ac597e2cffa3450c80ef82.png "\[
y^n = \phi (x,y,y',y''..........y^{n - 1} )
\]")
. ![\[
y^n
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/f/a3f8b8ffce50d60a70982079d920301682.png "\[
y^n
\]")
равна нулю, то ее наличие в неявной записи, очевидно, теряет смысл, а появление в явной записи лишено оснований, и поэтому мы можем вести речь лишь об ДУ более низкого порядка.![\[
\mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u + {\mathop{\rm grad}\nolimits} p - \rho \vec F
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/f/03fc68ef6052fa8edb77eef938fd799382.png "\[
\mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u + {\mathop{\rm grad}\nolimits} p - \rho \vec F
\]")
![\[
\nabla ^2 \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/b/85b34c301b3bb2e998f432318594d91e82.png "\[
\nabla ^2 \dot \vec u = 0
\]")
следует считать тривиальными применительно к УНС![\[
\nabla ^2 \dot \vec u = {\mathop{\rm grad}\nolimits} {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u + {\mathop{\rm rot}\nolimits} {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/d/b2ddf1ddae859b73c0650445f1568a8082.png "\[
\nabla ^2 \dot \vec u = {\mathop{\rm grad}\nolimits} {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u + {\mathop{\rm rot}\nolimits} {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u
\]")
![\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/2/5d222d9f64df339ce66ccd6ddca6882182.png "\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]")
правая часть становится равной нулю (поскольку ![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca436b3b1d015f9391858f6ed7a7b0d082.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]")
) и поэтому ![\[
\dot u_x = x,\dot u_y = y,\dot u_z = - 2z
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/1469673013fbed630bd75f529f37527a82.png "\[
\dot u_x = x,\dot u_y = y,\dot u_z = - 2z
\]")
, удовлетворяющее УНС, но являющееся тривиальным из-за ограничения ![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} = 1,\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} = 1,\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = - 2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5f30f3fcb5d32ceddb1d6d919ec117a82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} = 1,\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} = 1,\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = - 2
\]")
, 
.
., а 1 уже неправильное, тривиальное, недопустимое решение (1), а решать надо (2).
![\[
dt
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/3/87331fd280cb4a39be134575d5fc991c82.png "\[
dt
\]")
» ( ![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \dot \vec u + \frac{1}
{{1 - \operatorname{div} \vec u}}\frac{d}
{{dt}}(1 - \operatorname{div} \vec u) = \hfill \\
= \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/1/5e1d7d38fc12e837291f5db3a441dd8282.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \dot \vec u + \frac{1}
{{1 - \operatorname{div} \vec u}}\frac{d}
{{dt}}(1 - \operatorname{div} \vec u) = \hfill \\
= \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(11,а)![\[
\operatorname{div} \vec u
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/1/9d134f6c72071718473c1023b9656a4682.png "\[
\operatorname{div} \vec u
\]")
с точностью до малых второго порядка характеризует деформацию элементарного объема, имеющего в рассматриваемый момент времени форму прямоугольного параллелепипеда, а именно:![\[
\operatorname{div} \vec u = \frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}},,,,\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d23292f3c149604a6aa493b7b81e0f82.png "\[
\operatorname{div} \vec u = \frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}},,,,\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]")
![\[
\delta V_0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c929eb896c2acd75280e8a5e634a1ed82.png "\[
\delta V_0
\]")
тоже можно и всегда принято считать прямоугольным параллелепипедом.![\[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/1/e516b4e0377deb7d2522a13953b58c1782.png "\[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]")
в виде прямоугольного параллелепипеда. Но ведь ![\[
\rho
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/7/e17bb4df253bb60c133c6eb37ea7d35e82.png "\[
\rho
\]")
, элементарной массой ![\[
\delta m
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/a/8aaa85e053e70d0f69d72e3bb250a1bf82.png "\[
\delta m
\]")
и элементарным объемом ![\[
\delta V
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64aa8e03328c8accd3e2a4a23477888c82.png "\[
\delta V
\]")
, с учетом, что масса одного и того же элементарного объема постоянна, ![\[
\delta m = \rho \delta V \Rightarrow \delta V = \frac{{\delta m}}
{\rho }
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/4/b1483e605687386a301ae537b951882282.png "\[
\delta m = \rho \delta V \Rightarrow \delta V = \frac{{\delta m}}
{\rho }
\]")
![\[
\begin{gathered}
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = \hfill \\
= \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) \hfill \\
\end{gathered}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/f/57f94b17b21b8c7c354461db1d82004f82.png "\[
\begin{gathered}
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = \hfill \\
= \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}}} \right) \hfill \\
\end{gathered}\]")
(11,б) ![\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/8/f386ccb02932d64a86c00510bc13a6a582.png "\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]")
(****)![\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}} = 0 \Rightarrow \frac{{d\rho }}
{\rho } + \frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/f/dafda9a9d384decffb8559ab290daed782.png "\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}} = 0 \Rightarrow \frac{{d\rho }}
{\rho } + \frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\]")
![\[
d(\delta V) = \delta V - \delta V_0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/f/2dfb30ff005be3efd42443e655c37fe882.png "\[
d(\delta V) = \delta V - \delta V_0
\]")
«дикая производная» пропадает. Однако при такой же записи в первой формуле она появляется. Математикам следует как-то договориться на этот счет, а не продолжать изворачиваться и молчаливо обходить эти острые углы.![\[
\begin{gathered}
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta V}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta V}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta V}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta x}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta y}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta z}} \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/0/c30d9b6d48cc45855c47336494c18ab782.png "\[
\begin{gathered}
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta V}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta V}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta V}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta x}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta y}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta z}} \hfill \\
\end{gathered}
\]")
![\[
d(\delta x_i ) = \delta x_i - \delta x_{i0} = \delta (x_i - x_{i0} ) = \delta u_i
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/1/021a380fded8c7b44d1d846c14204bbc82.png "\[
d(\delta x_i ) = \delta x_i - \delta x_{i0} = \delta (x_i - x_{i0} ) = \delta u_i
\]")
. В таком случае после подстановки получим![\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{\delta u_x }}
{{\delta x}} + \frac{{\delta u_y }}
{{\delta y}} + \frac{{\delta u_z }}
{{\delta z}} = \frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} = \operatorname{div} \vec u.
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e7e70271368f1f8a52620fbf57c33bf82.png "\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{\delta u_x }}
{{\delta x}} + \frac{{\delta u_y }}
{{\delta y}} + \frac{{\delta u_z }}
{{\delta z}} = \frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} = \operatorname{div} \vec u.
\]")
![\[
\begin{gathered}
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e971a16ee633cb25c947933f7f70f6282.png "\[
\begin{gathered}
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(11,в)![\[
\operatorname{rot} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/d/ecd38541d921dea142e95658a17fa65c82.png "\[
\operatorname{rot} \dot \vec u = 0
\]")
автоматически следует ![\[
\operatorname{rot} \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/8/d4867dc627fd78c1455cf4920c2806e382.png "\[
\operatorname{rot} \vec u = 0
\]")
(нет скорости вращения, нет и самих поворотов). В таком случае из уравнения неразрывности (11,а), записанного в развернутой форме, уже отчетливо видно, что ограничение 
в формулу (11,в) у Вас получится ![\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f144f6dc80aec030d91722de6f39f6d82.png "\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]")
, а должно быть ![\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/5/6e57d8488b5f4035abc6e881556ade2182.png "\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]")
.
.
. Хорошее уравнение. У него есть решение
. Для всего мира - это решение. во всех учебниках называют его 'частным решением', полезным для отыскания общего решения Но не для Козачка!!! для него эта функция НЕ ЯВЛЯЕТСЯ решением уравнения, поскольку старший член в уравнении обращается на этой функции в ноль. И Козачок заявляет, что ДЛЯ ЭТОГО РЕШЕНИЯ основным уравнением будет 
, а решением исходного уравнения эта функция уже не считается.