Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
barga44 писал(а):
Уравнения Навье-Стокса на самом деле не подходят
для разряженных сред.Это все знают…
Если не верите прочитайте учебник Померанцев А.А.
Уравнения Навье-Стокса на самом деле не подходят и для многих других ситуаций, где они, тем не менее, используются.
Цитата:
Вопрос A. Казачку.
http://a-kozachok1.narod.ru/stokes1S.pdf Страница 1.
Что такое идеально вязкая сжимаемая жидкость и упруго сжимаемай жидкость? Ни в Ландау, ни в Лойцянском таких понятия нет.
Для идеально вязкой сжимаемаемой жидкости связь между компонентами напряжений и скоростей деформаций выражается второй формулой (14,а)
![\[
\sigma _{ii} = 2\mu (\dot \varepsilon _{ii} + \frac{{3\nu }}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{} )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/f/d0f3f84934665e2ab3d39f458108e65382.png "\[
\sigma _{ii} = 2\mu (\dot \varepsilon _{ii} + \frac{{3\nu }}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{} )
\]")
. В упруго сжимаемой жидкости эта связь согласно с первой формулой (22) содержит еще и упругую составляющую
![\[
\tilde p
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92b17e13ee234ad49b56262e92ecfa7f82.png "\[
\tilde p
\]")
, т.е.
![\[
\sigma _{ii} = - \tilde p + 2\mu (\dot \varepsilon _{ii} + \frac{{3\nu }}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{} )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/d/d7d38e9f0cace473cf52da2ea115ca1982.png "\[
\sigma _{ii} = - \tilde p + 2\mu (\dot \varepsilon _{ii} + \frac{{3\nu }}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{} )
\]")
.
Цитата:
В чем разница между абсолютно несжимаемой жидкостью и нe абсолютно?
Наверное это взято из теории упругости?
В статье эта разница не обсуждается, а слово «абсолютно» лишь подчеркивает отличие между слабосжимаемой и традиционной несжимаемой жидкостями.
Цитата:
В уравнении 1 и 2 вы зачем-то надписываете над давлением крышечку.А потом ее убираете, приравнивая давление p к этому давлению с крышечкой.Зачем вы запутываете читателей?
Читайте внимательно стр.3!!! Уравнения (1) могут считаться корректными, если
понимается как упругая составляющая давления. Уравнения (1,а) корректны, если
![\[
p
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/8/4c833c3e5f139a0bb10dfa2ee57c93bf82.png "\[
p
\]")
.понимается как вязкая составляющая, т.е.
![\[
p = \bar p
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/0/3204a6c71eaa2c6ed40f337ff405a8e282.png "\[
p = \bar p
\]")
, поскольку
![\[
\tilde p = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5a750f53848bc50fa9307fb92a6fbb582.png "\[
\tilde p = 0
\]")
.
Цитата:
Если же вы xотите сказать, что давление p не равно силе делить на площадь.Это и так известно из книги Ландау и экспериментов. Но они равны когда скорость течения равна нулю.
Цитата:
Давление p вводится при выводе уравнения Навье-Стокса, как сила, действующая на элементарную плошадку.
Второе Ваше утверждение противоречит первому! Сила, действующая на элементарную площадку, т.е. напряжение,- это вектор (точнее
тензор), а давление- это скаляр равный средней величине
нормальных компонент этого вектора (здесь допущена опечатка по сравнению с текстом в статье после формулы (5) - надо читать
этого тензора) со знаком минус.
Цитата:
Если вязкость равна нулю, то все равно есть гидродинамическое давление, которое зависит от высоты неподвижного столба жидкости при рассмотрении задач гидростатики
Все правильно! Но в традиционной идеальной сжимаемой жидкости фигурирует давление, обусловленное упругим сопротивлением сжатию.
Цитата:
Вам было бы полезно изложить и рассмотреть 1 тестовую задачу и дать результаты реального или воображаемого эксперимента, чтобы все всем стало ясно. Что такое p и p с крышечкой.
Читайте внимательно п.6 в статье и обратите внимание на формулу (19):
![\[
\sigma _{xx} + \sigma _{yy} + \sigma _{zz} = - 3\tilde p + \bar \sigma _{xx} + \bar \sigma _{yy} + \bar \sigma _{zz} = - 3(\tilde p + \bar p) = - 3p = 3\sigma _{}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e64e1485f428f3e113e46f63c8a0f3582.png "\[
\sigma _{xx} + \sigma _{yy} + \sigma _{zz} = - 3\tilde p + \bar \sigma _{xx} + \bar \sigma _{yy} + \bar \sigma _{zz} = - 3(\tilde p + \bar p) = - 3p = 3\sigma _{}
\]")
, в которой наглядно представлен ответ на Ваш вопрос.
serge писал(а):
Серьезных ошибок в этих уравнениях нет. Есть пределы применимости.
Но и они весьма своеобразны. Есть, например, работы в которых показано, что эти уравнения дают правильный свободномолекулярный предел для случая гиперзвукового течения газа.
Создается впечатление, что Вы не внимательно прочитали обзорную часть работы, которую я вынужден здесь привести и выделить в ней места, свидетельствующие об ошибках при записи замкнутой системы:
1. Реферат
При выводе классических уравнений теории упругости и гидромеханики используются одни и те же уравнения движения в напряжениях. При этом определяющие соотношения (
и в гидромеханике, и в теории упругости они формально одинаковы - это здесь добавлено) представляют собой линейные зависимости между девиаторами напряжений и деформаций или скоростей деформаций. Эти аналогии общеизвестны. Однако,
окончательные уравнения гидромеханики и в учебных курсах (Лойцянский Л.Г. и др.), и в научной практике (Шлихтинг Г., Мизес Р. и др.) существенно отличаются от уравнений теории упругости. Система уравнений движения классической теории упругости не содержит давление. Даже в случае игнорирования уравнения неразрывности эта система рассматривается как замкнутая.
Для вязкой сжимаемой жидкости почему-то используется еще и дополнительное замыкающее соотношение между плотностью ![\[
\rho
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/7/e17bb4df253bb60c133c6eb37ea7d35e82.png "\[
\rho
\]")
и давлением . Причем
входит в уравнения явно. На самом же деле,
если воспользоваться упомянутыми аналогиями или строгими математическими доказательствами, то давление, как и в теории упругости, можно исключить. В таком случае появляется скрытый в выражении для давления второй коэффициент и исчезает известная проблема «второй вязкости». К тому же уравнения идеально вязкой сжимаемой жидкости по форме совпадают с уравнениями теории упругости (левые части). Они могут быть приведены к виду:
![\[
\rho \vec F + (\mu _o + \frac{\mu }{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u,
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/8/3d820b97d66421af9f2440111fccba1982.png "\[
\rho \vec F + (\mu _o + \frac{\mu }{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u,
\]")
(1)
где
![\[
\mu _{\mathop{\rm o}\nolimits} = {{2\mu (1 + \nu )} \mathord{\left/
{\vphantom {{2\mu (1 + \nu )} {3(1 - 2\nu )}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {3(1 - 2\nu )}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/0/4e0c6b695622dd0d5004012345a5b57b82.png "\[
\mu _{\mathop{\rm o}\nolimits} = {{2\mu (1 + \nu )} \mathord{\left/
{\vphantom {{2\mu (1 + \nu )} {3(1 - 2\nu )}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {3(1 - 2\nu )}}
\]")
-объемная вязкость;
![\[
\mu
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/d/66dc5813bf35f8c6b171eb3e41d0b37a82.png "\[
\mu
\]")
-вязкость;
![\[
\nu
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/2/fa2ef90de8340c32cf89361da0c8668882.png "\[
\nu
\]")
-коэффициент Пуассона;
![\[
\dot \vec u = d\vec u/dt,_{} \ddot \vec u = d^2 \vec u/dt^2 = d\dot \vec u/dt
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/8/f28cdf68ddc21753c55c6272e4873f5182.png "\[
\dot \vec u = d\vec u/dt,_{} \ddot \vec u = d^2 \vec u/dt^2 = d\dot \vec u/dt
\]")
- векторы скорости и ускорения соответственно;
![\[
\nabla ^2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1ad6e2cdf37cccac783b08eba3ad51282.png "\[
\nabla ^2
\]")
-оператор Лапласа.
Совместно с уравнением неразрывности уравнения (1) образуют замкнутую систему.
Для слабосжимаемой жидкости, очевидно, следует принять
![\[
\rho \approx \rho _0 = const
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/6/996fe1e5bdb1e5030812bcaae17033f282.png "\[
\rho \approx \rho _0 = const
\]")
. Тогда уравнение неразрывности, как и для твердого тела, может быть игнорировано. После решения такой системы можно выполнить предельный переход
![\[
\mu _{\mathop{\rm o}\nolimits} \to \infty ,
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/b/47bfe963f69690ab7dd678c0f99bc24e82.png "\[
\mu _{\mathop{\rm o}\nolimits} \to \infty ,
\]")
а следовательно и
![\[
div\dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/7/907665e6e666d3ad9432d59bdfdac52682.png "\[
div\dot \vec u = 0
\]")
. Это позволит получить результат для абсолютно несжимаемой жидкости. Разумеется, решение системы из трех однотипных уравнений движения значительно проще решения системы четырех традиционных уравнений разного типа.
Таким образом,
определяющее соотношение между плотностью и давлением для идеально вязкой сжимаемой жидкости вводить нельзя. Оно является избыточным. Его можно вводить лишь для упруго сжимаемой жидкости. Однако в этом случае общее давление следует разделить на упругую и вязкую ![\[
\bar p
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/f/64feb0bdbc43bc7b331893c5a6acba2f82.png "\[
\bar p
\]")
составляющие. Это означает переход к вязко-упругой модели Фойхта с упругими касательными напряжениями равными нулю. Следует принять во внимание, что скорость звука
![\[
a = \sqrt {{{\partial \tilde p} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \tilde p} {\partial \rho }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial \rho }}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/0/1d08645fe9c993e4789ea6ea785ed55882.png "\[
a = \sqrt {{{\partial \tilde p} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \tilde p} {\partial \rho }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial \rho }}}
\]")
. Тогда уравнения динамики упруго сжимаемой вязкой жидкости приобретут окончательный вид
![\[
\rho \vec F - a^2 grad(\rho - \rho _0 ) + (\mu _o + \frac{\mu }{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/f/08f776f59a97637864dda50b5828987a82.png "\[
\rho \vec F - a^2 grad(\rho - \rho _0 ) + (\mu _o + \frac{\mu }{3})grad(div\dot \vec u) + \mu \nabla _{}^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u
\]")
. (2)
Вместе с уравнением неразрывности уравнения (2) создают замкнутую систему. При экспериментальном определении объемной вязкости
![\[
\mu _o
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8d24fb3287e2d68dfb02317ececffd382.png "\[
\mu _o
\]")
в (2) из общего давления
следует вычесть упругую составляющую
. Поэтому
![\[
\mu _o = \frac{{a^2 (\rho - \rho _0 ) - p}}{{\dot \varepsilon _o }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/9/4d9ce09064d9d09fb58bb4704222b17882.png "\[
\mu _o = \frac{{a^2 (\rho - \rho _0 ) - p}}{{\dot \varepsilon _o }}
\]")
,
где
![\[
\dot \varepsilon _o = {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/9/029152386c44aab2da7f397a784ca6a082.png "\[
\dot \varepsilon _o = {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u
\]")
-скорость объемной деформации для модели Фойхта.
Цитата:
в вашем случае видно сразу:
- без перепада давления жидкость не придет в движение;
Вы неправы. Посмотрите внимательно на первую формулу (14,а)
![\[
- p = \sigma _{} = \frac{{2\mu (1 + \nu )}}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/b/fdbb64caa45dc41a17fa9fa1bc86195682.png "\[
- p = \sigma _{} = \frac{{2\mu (1 + \nu )}}{{1 - 2\nu }}\dot \varepsilon _{}
\]")
(
индексы русскими буквами почему-то не проходят при конвертировании и в этой , и в других формулах), в результате применения которой из уравнений Н-С удалось исключить давление. Из этой формулы следует: при наличии как угодно малого постоянного давления, т.е. даже при отсутствии его перепада скорость объемной деформации не равна нулю.
Цитата:
- вы неправильно записали
ур-я Н-С в переменных Лагранжа;
И здесь Вы явно ошибаетесь!
Ур-я Н-С везде записаны, а если иметь в виду их первоначальный вид (1) и (1,а), то они фактически переписаны из учебников, т.е. исключительно в переменных Эйлера. Об этом идет речь и на стр. 1 и 2 в работе. А что касается возможности их (и не только их) корректной записи в переменных Лагранжа, то я Вам советую познакомиться с п. «1.4.2.Противоречия вывода уравнений движения в переменных Лагранжа» в учебном пособии
http://a-kozachok1.narod.ru/paradox.rus.pdf .
С уважением, Александр Козачок
23.05.2006, 21:32 
Ну и что из того. 
Любая достаточно сложная физическая теория противоречива.
