2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 22  След.
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума??
Сообщение12.10.2008, 20:21 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Рассмотрение примера
$\dot{u}=(y+z,x+z,x+y)$, с нулевой дивергенцией и выполнением уравнения Эйлера, становится допустимым.
По этому поводу следует заметить:
1. При поиске (или при угадывании?) общего решения на него наложено столько ограничений, что усеченное поле скоростей удовлетворяет не только УЭ, но еще и уравнениям Навье-Стокса (УНС) при ненулевой вязкости, а также уравнению Лапласа.
2. И с физической, и с математической точек зрения поле имеет существенные изъяны, а именно: на поверхности сферы бесконечного радиуса компоненты скорости изменяются от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Цитата:
Пример показывает, что ключевое утверждение автора о равенстве нулю дивергенции ускорения ошибочно, так как для этого поля скоростей дивергенция ускорения равна 6. Предложенный на основе исчезания дивергенции ускорения метод линеаризации уравнений Навье-Стокса недействителен. Статья ''Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами'', за исключением некоторых тривиальных и общеизвестных фактов, ошибочна.[/i]

Но ведь Вами также приведен пример векторного поля и с нулевой дивергенцией ускорения$\dot{u}=(y,z,x)$.Поэтому, вероятно, такой Ваш вывод с односторонней ориентацией только на отрицательный результат для математика-профессионала следует считать поспешным.

Цитата:
Вы утверждаете, что если сумма шести членов не ноль, то формула для дивергенции нарушится. Я же ДОКАЗАЛА, что для поля с нулевой дивергенцией сумма шести членов ВСЕГДА равна нулю АВТОМАТИЧЕСКИ(если поверить (4)). Тем самым самым Ваше утверждение, хотя и правильное, оказывается не относящимся к делу. Для бездивергентного поля эта сумма всегда ноль, поэтому совершенно не важно, что происходит, если она не ноль. Еще по-другому. Это ограничение есть, но оно НЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ.
А мы попробуем проверить эти утверждения на обоих Ваших примерах.
1. Подставим данные поля $\dot{u}=(y+z,x+z,x+y)$ в формулу (10). После группирования оставшихся членов получим

\[
\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}}} \right) = 0
\] (1,а)

Каждый из этих членов характеризует деформацию сдвига (изменение прямого угла прямоугольного параллелепипеда). Поскольку вся сумма равна нулю, то среди этих трех членов в скобках есть и положительные члены, и отрицательные либо каждый из них равен нулю. Однако, для этого векторного поля все компоненты скорости деформации положительны и равны между собой

\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}} \right) = 2
\] (1,б)

Вопрос. Откуда возьмутся отрицательные деформации сдвига при положительных скоростях деформаций? Как видите, именно Ваш контрпример противоречит Вашим же утверждениям. Более подробные выводы по поводу этого конрпримера и правомочности Вашего доказательства об упомянутых в цитате ограничениях, надеюсь, Вы сделаете сами.

2. Проверим теперь Ваш пример с нулевой дивергенцией ускорения $\dot{u}=(y,z,x)$. После подстановки этих данных в формулу (10) имеем:

\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\] (2,а)

Здесь каждый член характеризует одну из двух составляющих соответствующей компоненты деформации сдвига. При этом одноименные составляющие тех же компонент скоростей деформаций

\[
\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} = 0
\] (2,б)

Сравнение данных обеих формул свидетельствует об их полной совместимости. К тому же равенство нулю каждой компоненты скоростей деформаций означает, что

\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\] (2,аб)

Этот результат лишний раз подтверждает мои выводы о том, что в формуле (10) не только всю сумму, но и каждый из шести ее членов, следует считать равными нулю.

Надеюсь, что сравнение приведенных выше результатов позволяет Вам, опытному математику, сформулировать ответ, более профессиональный по сравнению с моим, на Ваш же вопрос:
Цитата:
Пoвторяю вопрос.
Вы по-прежнему утверждаете, что могут быть векторные поля, не удовлетворяющие (10)?? Или нет?
,
поскольку именно векторное поле$\dot{u}=(y+z,x+z,x+y)$не удовлетворяет формуле (10).
А теперь попробуем разобраться, почему Ваш контрпример, казавшийся таким неопровержимым, на самом деле опровергает Ваши же доказательства.
С этой целью для большей общности запишем в векторной форме УНС, поскольку векторное поле из Вашего контрпримера им тоже удовлетворяет

\[
\rho \vec F - {\mathop{\rm grad}\nolimits} p + \mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u
\] (15)

При некоторых ограничениях по отношению к первому члену операция \[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} 
\] позволяет привести (15) к виду

\[
\mu \nabla ^2 {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = \rho {\mathop{\rm rot}\nolimits} \ddot \vec u
\] (15,а)

т.е. исключить первых два члена. Это позволяет искать общее решение (15,а) без использования уравнения неразрывности, поскольку количество неизвестных (три компоненты скорости) соответствует количеству уравнений. Таким образом, уравнение неразрывности по сути дела является не замыкающим для системы, а ограничивающим условием, которое можно наложить и после получения решения (15,а).
(В этом ничего удивительного нет, поскольку уравнение неразрывности является замыкающим только при рассмотрении течения сжимаемой жидкости из-за переменной плотности). Если перед решением (15,а) применить, как это сделали Вы (сознательно или случайно?) необычайно сильное ограничение \[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0
\] , то вместо (15,а) нам придется искать решение усеченного и достаточно простого уравнения по сравнению с (15,а). Если к тому же наложить или при угадывании решения не заметить еще какие-то ограничения, то может оказаться, что наложение основного ограничения \[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\] совместно с вытекающими из него по формуле (10) дополнительными ограничениями не возможно. Своими предварительными ограничениями мы отсекли такую возможность, поскольку убрали те слагаемые, которые позволяли это сделать. Именно это и произошло при построении решения согласно Вашему контрпримеру. На возможность принять \[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\] эти предварительные ограничения еще не подействовали, а вот шестичлен уравнения (10) оказался достаточно потрепанным и непригодным для законных преобразований. Судите сами, половина составляющих (со знаком минус) исчезла, а оставшаяся принудительно ограничена достаточно жестким условием \[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}
\]
Цитата:
Рассуждение о бесконечно малых временах и элементарных объемах не принимается. математическая строгость отсутствует. Дайте, для начала, Ваше определение элементарного объема и докажите для начала (1).
Эту формулу и ее вывод Вы найдете, например, у Кочина Н.Е., стр. 259, а также в учебниках МСС и гидромеханики.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2008, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
1. При поиске (или при угадывании?) общего решения на него наложено столько ограничений, что усеченное поле скоростей удовлетворяет не только УЭ, но еще и уравнениям Навье-Стокса (УНС) при ненулевой вязкости, а также уравнению Лапласа.


Это вы говяорите все время о каких-то ограничениях. Не я. Я никаких ограничений не рассматртивала. И я общего решения НЕ ИЩУ. Вы меня с кем-то перепутали. Я нашла ЧАСТНОЕ решение, которое опровергает Ваше ОБЩЕЕ утверждение
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
2. И с физической, и с математической точек зрения поле имеет существенные изъяны, а именно: на поверхности сферы бесконечного радиуса компоненты скорости изменяются от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Не вижу, почему это можно считать изъяном. Обоснуйте. Хочу отметить, что ряазговора о поведении на бесконечности ранее не было!! В 'статье' никаких условий на поведение на бесконечности не было!! Ни слова!! Все 'доказательства' использовали только локальные рассмотрения. Привлечение бесконечности-это подлог, получается.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
$\dot{u}=(y+z,x+z,x+y)$ в формулу (10).
Давайте, подставьте. Но в (10) входят перемещения. Покажите, как вы их нашли? Пока что я вашей подстановки НЕ ВИЖУ. Не считается.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Этот результат лишний раз подтверждает мои выводы о том, что в формуле (10) не только всю сумму, но и каждый из шести ее членов, следует считать равными нулю.

Пример ничего подтверждать не может. Он говорит, что есть такой пример. То есть ИНОГДА Ваше утверждение верно.Не более того. Не может сказать, что 'следует'. Не путайте пример с доказательством. Контрпример может опровергнуть.


Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Это позволяет искать общее решение (15,а)

Все это рассуждение не имеет отношения к примеру. Я НЕ ИЩУ общих решений. Это Вы этим занимаетесь. Я лишь проверяю, что пример является решением УНС.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Таким образом, уравнение неразрывности по сути дела является не замыкающим для системы, а ограничивающим условием, которое можно наложить и после получения решения (15,а).

Опять. Не имеет отношения к примеру. Проверено, что пример удовлетворяет УНС. Все.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Цитата:
Рассуждение о бесконечно малых временах и элементарных объемах не принимается. математическая строгость отсутствует. Дайте, для начала, Ваше определение элементарного объема и докажите для начала (1).
Эту формулу и ее вывод Вы найдете, например, у Кочина Н.Е., стр. 259, а также в учебниках МСС и гидромеханики.

Ответ не на тот вопрос. Я просила ВАШЕ определение элементаярного объема. Я не спорю с формулой (1), если все входящие туда величины определены. А именно в зыбкости определений и состоит дефектность дальнейших рассуждений.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Если перед решением (15,а) применить, как это сделали Вы (сознательно или случайно?) необычайно сильное ограничение \[ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0 \] ,

Я НЕ применяла ограничений. Речь идет о примере! В трветий раз. чтобы Вы поняли. Речь не идет о преобразованиях УНС. Всего лишь проверено, что пример удовлетворяет УНС, но дает ненулевую дивергенжцию ускорения. Пример обладает еще и сотней других свойств, которые сейчас иррелевантны.

По-другому. Вы утверждаете, что для любого решения УНС дивергенция ускорения равна нулю. Пример показывает: НЕТ, НЕ ДЛЯ ЛЮБОГО!!!
Или я полгода назад Вас неправильно поняла?? Может, Вы теперь не утверждаете, что для любого?? Объяснитесь, плиз.
Александр Козачок в сообщении #150312 писал(а):
Поэтому, вероятно, такой Ваш вывод с односторонней ориентацией только на отрицательный результат для математика-профессионала следует считать поспешным.


Про ориентацию на отрицательный результат Вы правы. Я с самого начала не верила, что дивергенция ускорения всегда равна нулю. Для обоснования моей позиции я и предлагала контрпримеры. И
$\dot{u}=(y,z,x)$ тоже ведь, вспомните, одно из Ваших утверждений угробил, что всегда компоненты скорости выражаются через одну функцию.

Ситуация не изменилась. Линеаризация УНС не обоснована. статья, кроме общеизвестных и тривиальных утверждений, ошибочна.

 Профиль  
                  
 
 Рабочий момент
Сообщение13.10.2008, 16:52 


04/04/06
324
Киев, Украина
Цитата:
Давайте, подставьте. Но в (10) входят перемещения. Покажите, как вы их нашли? Пока что я вашей подстановки НЕ ВИЖУ. Не считается.
Понятно ли, как получены выражения (1,а) и (1,б) и что означает каждое из них?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок в сообщении #150453 писал(а):
Цитата:
Давайте, подставьте. Но в (10) входят перемещения. Покажите, как вы их нашли? Пока что я вашей подстановки НЕ ВИЖУ. Не считается.
Понятно ли, как получены выражения (1,а) и (1,б) и что означает каждое из них?

Про 1а непонятно. Покажите.

 Профиль  
                  
 
 Рабочий момент
Сообщение13.10.2008, 19:25 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka писал(а):
Про 1а непонятно. Покажите.
Мы уже договорились, что сумма шести последних членов в формуле (10) должна быть равна нулю при нулевой дивергенции скорости. Но в выражении для дивергенции Вы ввели ограничение: каждый ее член тоже равен нулю. Поэтому составляющие со знаком минус у каждого из шести членов исчезли. Оставшиеся составляющие после группирования по два и дали (1,а). Каждый из этих членов характеризует деформацию сдвига (изменение прямого угла прямоугольного параллелепипеда). Поскольку вся сумма равна нулю, то среди этих трех членов в скобках есть и положительные члены, и отрицательные либо каждый из них равен нулю. Это понятно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок в сообщении #150483 писал(а):
Мы уже договорились, что сумма шести последних членов в формуле (10) должна быть равна нулю при нулевой дивергенции скорости

Нет, ни в одном глазу не договорились. Только при условии, что Вы докажете, что дивергенция перемещения равна нулю.
shwedka в сообщении #146107 писал(а):
Да, Вы откуда-то взяли, что $ {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u = 0 $. Все оттуда же?? Если сумма равна нулю, то равно нулю каждое слагаемое?? (Суперправило Козачка). Или у Вас доказательство есть?? Поделитесь, плиз.
(опечатка исправлена)


Александр Козачок в сообщении #146457 писал(а):
По поводу правомочности условия \[ {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u=0 \] после завершения этой части дискуссии.


Александр Козачок в сообщении #150483 писал(а):
Но в выражении для дивергенции Вы ввели ограничение: каждый ее член тоже равен нулю.

Я ограничений не вводила.

Добавлено спустя 1 час 10 минут 59 секунд:

Можете не беспокоиться, я верю, что указанная дивергенция перемещения равна нулю в начальный момент времени. Потому,что тогда и само перемещение нулю равно. Так что сразу доказывайте, что она равна нулю в другие моменты. Или ссылочку дайте, что, мол, при движении несжимаемой жидкости дивергенция перемещения равна нулю. Тогда, когда это перемещение не инфинитезимально.

 Профиль  
                  
 
 Рабочий момент
Сообщение14.10.2008, 07:20 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka писал(а):
Александр Козачок в сообщении #150483 писал(а):
Мы уже договорились, что сумма шести последних членов в формуле (10) должна быть равна нулю при нулевой дивергенции скорости

Нет, не договорились. Только при условии, что Вы докажете, что дивергенция перемещения равна нулю
Посмотрите для начала, пожалуйста, Курс высшей математики, т.2, стр. 327-329, Смирнов В.И. При этом обратите внимание, что дивергенция скорости характеризует скорость относительного изменения элементарного объема (Смирнов использует термин элементарный объем), а дивергенция перемещения – его относительное изменение. Особое внимание обратите на выражение для перемещения между
формулами (59) и (60).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2008, 07:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Все там касается 'бесконечно малых' времен, перемещений и тп.
А я просила НЕ бесконечно малых.

Цитатка из Смирнова
Цитата:
Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации, при
которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции
координат


Только при этом условии Смирнов пишет формулы для дивергенции вектора перемещения.

Между прочим, я В.И. Смирнову научной правнучкой прихожусь. Самого его встречать не довелось, но у его учеников уже учиться привелось, а их ученики мною руководили.


Ну, ладно, чтобы Вам не мучаться..
Вот Вам полный анализ моего примера, но записанного, для простоты вычислений, в других координатах и с чуть другими коэффициентами, чтобы дроби не писать.

Итак, поле скоростей
$v(x,y,z)=(x,y,-2z)$. дивергенция равна нулю. Уравнения Эйлера выполнены.

Траектория движения частицы, находившейся в момент времени 0 в точке $x_0,y_0,z_0$:

$$x=x_0e^t,y=y_0e^t,z=z_0e^{-2t}$$

Перемещение:
$$u(x,y,z,t)=((1-e^{-t})x,(1-e^{-t})y,(1-e^{2t})z)$$
Дивергенция перемещения
$div u(x,y,z,t)=3-2e^{-t}-e^{2t}$

Действительно, в начальный момент времени равна нулю, даже производная в начальный момент времени равна нулю, но потом - уж извините. Не ноль!!



Дивергенция скорости равна нулю.
Дивергенция ускорения:
ускорение считать совсем легко, раз есть траектории:
$$(e^t x_0e^ty_0, 4e^{-2t}z_0)=(x,y,4z)$$
Дивергенция равна 6, не нулю, то есть.
Ваше любимое уравнение (10) выполнено.
Прямо подставьте!!

 Профиль  
                  
 
 Рабочий момент
Сообщение14.10.2008, 19:33 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka писал(а):
Все там касается 'бесконечно малых' времен, перемещений и тп.
А я просила НЕ бесконечно малых.
Цитатка из Смирнова
Цитата:
Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации, при
которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции
координат

Только при этом условии Смирнов пишет формулы для дивергенции вектора перемещения.
А вот Кочин дает вывод без такой оговорки (стр. 340-341). Но не в этом дело. Для того, чтобы правые части формул (4) и (5) в сообщении #146584 совпадали и чтобы из (5) можно было получить уравнение неразрывности, надо рассматривать именно бесконечно малые перемещения. Это осуществимо за счет соответствующего выбора начальных координат. Формула (4) получена исключительно за счет такого выбора начальных координат. Если это понятно, то будем двигаться дальше.

Цитата:
Между прочим, я В.И. Смирнову научной правнучкой прихожусь. Самого его встречать не довелось, но у его учеников уже учиться привелось, а их ученики мною руководили.
Эта информация для меня весьма приятна, поскольку иметь достойного оппонента хотя и не всегда приятно, но весьма полезно. Однако информация станет очевидной для всех лишь после снятия маски псевдонима.
И, если Вас не затруднит, то объясните, как делается активная ссылка на сообщение. .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2008, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок в сообщении #150705 писал(а):
Это осуществимо за счет соответствующего выбора начальных координат. Формула (4) получена исключительно за счет такого выбора начальных координат. Если это понятно, то будем двигаться дальше.


Обсуждать вывод неправильных утверждений не хочу.

Просчитанный полностью пример показывает, что
1. Дивергенция перемещения не обязательно равна нулю.
2. Дивергенция ускорения не обязательно равна нулю.

Этим опровергаются соответствующие заявления в статье.
Возможно, Вы хотите уточнить формулировки - пожалуйста!!

Чтобы сделать ссылку, нужно в сообщении отметить нужный кусок и кликнуть на 'вставка' в его правом верхнем углу.

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума??
Сообщение29.10.2008, 07:43 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Ну, ладно, чтобы Вам не мучаться..
«Мучаться» долго не пришлось, поскольку произошло удивительное совпадение. Именно такой пример мне пришлось рассматривать в 1967 г. Он даже вошел в отчет по научной теме. А это значит, что позволяет моделировать, хотя и весьма грубо, реальную ситуацию. Ситуация эта связана с принудительным растяжением вдоль двух координатных осей листовой заготовки из пластичного материала.
Цитата:
Вот Вам полный анализ моего примера, но записанного, для простоты вычислений, в других координатах и с чуть другими коэффициентами, чтобы дроби не писать.
Как понимать «в других координатах» и какие дроби?
Цитата:
Итак, поле скоростей
$v(x,y,z)=(x,y,-2z)$. дивергенция равна нулю. Уравнения Эйлера выполнены.
Траектория движения частицы, находившейся в момент времени 0 в точке $x_0,y_0,z_0$:

$$x=x_0e^t,y=y_0e^t,z=z_0e^{-2t}$$

Перемещение:
$$u(x,y,z,t)=((1-e^{-t})x,(1-e^{-t})y,(1-e^{2t})z)$$
Дивергенция перемещения
$div u(x,y,z,t)=3-2e^{-t}-e^{2t}$
С удовольствием Вам аплодирую! Если бы Вы еще прокомментировали блестяще выполненный переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера, то пятерка с плюсом.
Цитата:
Дивергенция скорости равна нулю.
Дивергенция ускорения:
ускорение считать совсем легко, раз есть траектории:
$$(e^t x_0e^ty_0, 4e^{-2t}z_0)=(x,y,4z)$$
Дивергенция равна 6, не нулю,
Цитата:
…то есть.
Ваше любимое уравнение (10) выполнено.
Прямо подставьте!!
Тоже все совершенно верно! Однако Вы упустили из виду весьма существенную деталь, на которую я уже обращал Ваше внимание
Александр Козачок в сообщении #146584 писал(а):
В формулах (4) и (5) левые части совершенно одинаковы. Сравнение правых частей показывает, что они совпадают только при наличии обсуждаемого нами ограничения. При нарушении этого ограничения формула для дивергенции нарушается

В этом Вы легко убедитесь, если подставите $v(x,y,z)=(x,y,-2z)$ в формулу (5). У Вас получится \[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\] , а должно быть \[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\] .
Хотя «нарушается»- это не совсем корректно. Более правильным будет утверждение: дивергенция скорости, определяемая по формуле (5), в таком случае уже не адекватна определяемой по формуле (4), которая соответствует скорости относительного изменения элементарного объема. Формула (4) как бы привязывает дивергенцию скорости к деформируемой сплошной среде, поскольку векторное поле скоростей с дивергенцией согласно (5) фактически принадлежит не деформируемой среде, а какому-то ансамблю подвижных точек. Насколько это поле скоростей соответствует деформируемой сплошной среде, позволяет определить сравнение выражений для дивергенции скорости деформируемой сплошной среды (4) и дивергенции скорости произвольного ансамбля подвижных точек (5). Это сравнение позволяет утверждать, что в деформируемой сплошной среде при нулевой дивергенции скорости обязательна и нулевая дивергенция перемещения, когда перемещение определяется за бесконечно малое время. Поэтому Ваши взаимоисключающие заявления на этот счет
shwedka в сообщении #146593 писал(а):
Тем не менее, формула (4) выглядит правдоподобно.
shwedka в сообщении #150721 писал(а):
Обсуждать вывод неправильных утверждений не хочу.
требуют пояснений. И, наконец, чтобы окончательно убедить Вас в несостоятельности этого, все же по-своему замечательного, контрпримера, я вынужден привести более прозрачные и, надеюсь, совершенно понятные аргументы:
1. Уравнения Навье- Стокса (УНС) выведены как результат сопоставления компонент ТЕНЗОРНЫХ полей напряжений и скоростей деформаций. Согласно этому сопоставлению взаимосвязи между компонентами указанных полей имеют вид
\[
\sigma _{ii}  =  - p + 2\mu \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }},_{} _{} \sigma _{ij}  = \mu \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} + \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}} \right)
\] (30)
2. При переходе от УНС

\[
\rho F_i  - \frac{{\partial p}}{{\partial x_i }} + \mu \nabla ^2 \dot u_i  = \rho \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial z}}} \right)
\] (32)

к основным уравнениям Вашего контрпримера (не будем пока называть их уравнениями Эйлера (УЭ), поскольку мы работаем с УНС несжимаемой ВЯЗКОЙ жидкости) молчаливо предполагается, что нормальные компоненты тензора напряжений не зависят от направления, т.е. \[
\sigma _{ii}  =  - p
\]. Но из первого соотношения (30) отчетливо видно, что такое предположение допустимо только при необычайно жестком ограничении \[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} = 0
\] . Поэтому для получения правдоподобных результатов именно в таком виде, а не \[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\] , следует писать уравнение неразрывности в Вашем контрпримере.. В рассматриваемом контрпримере обязательное ограничение, как видите, проигнорировано и принято \[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} \ne 0
\] . Напомню, что в первом конрпримере с нулевой дивергенцией ускорения это обязательное ограничение фигурирует.
3. Наряду с упомянутым в п.2 при переходе от УНС к основным уравнениям Вашего контрпримера принято еще одно ограничение \[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} = 0
\] . Это ограничение вместе с обязательным ограничением \[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} = 0
\] (если его оставить) полностью ликвидирует тензорное поле скоростей деформаций. К тому же заметьте: в выражениях для компонент ускорения исчезнет конвективная составляющая, и останутся только первые члены.
4. При таком некорректном переходе от УНС к основным уравнениям контрпримера представлять его в качестве аргумента для опровержения моих доказательств, согласитесь, нельзя. Внесенная при переходе малозаметная некорректность исключает получение ожидаемого результата.
Таким образом, Вы абсолютно правильно решили систему уравнений, но ошибочно предположили, что эта система представляет собой частный случай УНС. Поэтому своим конрпримером Вы не только не опровергли, а, наоборот, еще раз существенно подкрепили основные положения моей работы, а также то, насколько важными для математика могут быть промежуточные детали вывода исследуемых уравнений.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2008, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок в сообщении #154126 писал(а):
В этом Вы легко убедитесь, если подставите $v(x,y,z)=(x,y,-2z)$ в формулу (5). У Вас получится $\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0 $ .

Что за бред!!! Какой-то последний член сильно подозрительный!!
Цитата:
У Вас получится.. а должно быть \[ \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0 \]

Нет, это у ВАС получится.
Вы считаете дивергенцию перемещения,. а обращаться в нуль должна дивергенция скорости. Что 'должно быть', это неверно.
Проврались Вы там.!посчитайте производные! Дивергенция скорости в моем примере равна нулю.
Именно и есть $\frac{{\partial v_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial v_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial v_z }}{{\partial z}} = 0 $. $\frac {\partial x}{\partial x}=1, \frac {\partial y} {\partial y}=1, \frac{\partial(-2z)}{\partial z}=-2, 1+1-2=0$.

И если в формулу (5) подставить, тоже ноль получится.
Так Что двойка с минусом Вам за неумение дифференцировать.
Понимаете, если (10) выполнено, то (5) выполняется АВТОМАТИЧЕСКИ!!!
A все остальное - размахивание руками и к делу не относится.

Так равна в этом примере нулю дивергенция ускорения или нет?

Повторяю для непонятливых.
Я не занимаюсь преобразованиями УНС или поисками общего решения. Я не принимала никаких ограничений. Вы ошибочно приписываете мне какие-то уравнения, якобы эквивалентные УНС. Это все Ваши придумки.Это Вы что-то преобазуете!!
Александр Козачок в сообщении #154126 писал(а):
При переходе от УНС

к основным уравнениям Вашего контрпримера

Нет у меня никаких основных уравнений!!

Я предъявила решение , которое опровергает заявление Козачка о равенстве нулю дивергенции ускорения. То, что это решение -- проверяется непосредственной подстановкой.
Именно в УНС, а не в какие-то преобразованные Козачком формулы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2008, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Поясняю, чем занимается Козачок.

Вместо того, чтобы проверить (если не верит), что предложенное мной поле скоростей удовлетворяет обычному уравнению Эйлера или Навье-Стокса, Козачок с потолка конструирует ДРУГИЕ уравнения, которым это поле, вроде бы, удовлетворяет, а потом возмущается, что за глупые уравнения получились. Для любой функции можно напридумывать мешок уравнений, которым она удовлетворяет, в том числе, полмешка глупых. К делу совершенно никакого отношения не имеет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2008, 23:25 


29/09/06
4552
Поутру показалось, что мои вечерние язвости неуместны. Удалил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2008, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
и еще. по поводу
Александр Козачок в сообщении #154126 писал(а):
обязательна и нулевая дивергенция перемещения, когда перемещение определяется за бесконечно малое время.

Я даже и не пытаюсь выспросить у Козачка, что такое 'бесконечно малое время'. Он и сам этого не понимает и объяснить никогда не сможет. в лучшем случае на классика сошлется, который эти слова употреблял. сошлется без понимания. Предлагаю варианты понимания цитированного утверждения (через $DU$ обозначена дивергенция перемещения )
1. $DU=0 $ при $t$ достаточно близких к нулю, те $t<t_0$
2. $DU=0$ при $t=0$
3. $DU\to 0$ при $t\to  0$
4. $DU=O(t)$ при $t\to  0$
5. $DU=o(t)$ при $t\to  0$
гн. Козачок, может поднапряжетесь, и выберете, что должно быть. Или свой вариант предложите? только без заклинаний, а на ясном языке, поскольку без определения цитированное выражение совершенно лишено смысла. Что выберете, доказывать будете.

А до тех пор, могу лишь констатировать.
Пример показыевает, что утверждение Козачка о равенстве нулю дивергенции ускорения ошибочно, что делает ошибочной и линеаризацжию УНС. Статья, за исключением общеизвестных и тривиальных фактов ОШИБОЧНА.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 330 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group