подмножества множества
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
, которые составляют топологию
![$\mathcal T$ $\mathcal T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/b/08b23d9ce416111822470c1e9e961e6e82.png)
, должны быть различны или нет?
Ситуация с ними в точности как с элементами множества. В
записи ![$\mathcal T=\{\ldots\}$ $\mathcal T=\{\ldots\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/b/68b36e9f5c3f786b76f83ca11f3f6aca82.png)
могут попасться одинаковые элементы (одинаковые подмножества
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
), но тогда можно просто "убрать лишние" из этой записи и топология
![$\mathcal T$ $\mathcal T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/b/08b23d9ce416111822470c1e9e961e6e82.png)
никак не поменяется. То есть, например,
![$\mathcal T=\{\varnothing,X,\{a\},\{a\}\}=\{\varnothing,X,\{a\}\}$ $\mathcal T=\{\varnothing,X,\{a\},\{a\}\}=\{\varnothing,X,\{a\}\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/5/3d544fedf9e7707c2901dcc20a169b7682.png)
.
элементы множества должны быть различны
Только не относитесь к этому как к какому-то "правилу, которое нужно запомнить". Это утверждение, на самом деле, вообще бессодержательно. Возьмём множество
![$M=\{1,2,3\}$ $M=\{1,2,3\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b365ee33684d2467cabfd51b5dcdae82.png)
. Тогда, например,
![$2\in M$ $2\in M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/e/b2e362d0ca595a2baea73ac263a8b42a82.png)
и
![$3\in M$ $3\in M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/e/e1e198f534abf19f5351c3c66d3130f582.png)
, и элементы
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
различны. Но точно так же верно, что
![$1\in M$ $1\in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd01e0e691509c4d835a1a4b14856cb882.png)
и
![$1\in M$ $1\in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd01e0e691509c4d835a1a4b14856cb882.png)
, а элементы
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
и
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
не различны. Что значит "элементы множества должны быть различны"? Различные элементы множества должны быть различны, а совпадающие должны совпадать. Это утверждение одновременно самоочевидно и бессодержательно, оно не стоит выеденного яйца.
Что Вы должны точно понимать - это что один и тот же элемент не может входить в множество "сколько-то раз". Никаких мультимножеств! Просто в теории множеств есть понятие "принадлежит" (
![$\in$ $\in$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/a/5ba9e09976f6a5a8919c63baa6f2fbe782.png)
), но нет понятия "принадлежит столько-то раз". Ну, просто нет такого понятия и всё. Так же, как, например, нельзя сказать, что множество "такого-то цвета" или "такой-то температуры". Если даны множество и элемент, можно сказать, принадлежит этот элемент множеству или не принадлежит. Больше ничего сказать нельзя.
-- 08.06.2021, 03:40 --Мне кажется, Вы продолжаете путать запись множества с самим множеством.
Запись нужна для того, чтобы определить множество.
В записи могут быть повторяющиеся элементы, точнее, их имена, в любом количестве.
Но запись нужна лишь для того, чтобы для каждого элемента уметь определить, принадлежит оно множеству или нет. Да или нет.
Множество "хранит в себе информацию" только об этом: про каждый элемент оно "знает", принадлежит он множеству или нет.
Запись, в отличие от множества, может содержать в себе больше информации. Например, когда мы записываем
![$M=\{1,2,3\}$ $M=\{1,2,3\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b365ee33684d2467cabfd51b5dcdae82.png)
, мы пишем эти
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
,
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
,
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
в каком-то порядке. Но информация о порядке элементов может быть (а может и не быть) только в записи, но не в самом множестве. Множество
![$\{3,2,1\}$ $\{3,2,1\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/6/3e6758653da3f08e85afd114aab5287082.png)
- это то же самое множество, что и
![$\{1,2,3\}$ $\{1,2,3\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/5/49519068a123d98fcecd8120989abbc582.png)
или
![$\{1,1,3,2,3\}$ $\{1,1,3,2,3\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/a/95aca42bc67cdc01e82d0e00e9d389a282.png)
.
Запись нужна только для того, чтобы определить множество. Всю лишнюю информацию, которую содержит запись, при работе с множествами мы игнорируем.
-- 08.06.2021, 03:49 --Когда Вы говорите "элементы множества должны быть различны", Вы путаете запись множества и само множество.
В записи множества могут быть повторяющиеся элементы, но это неважно при работе с множествами. Запись
![$M=\{1,1,2,3\}$ $M=\{1,1,2,3\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/1/851f823d3a2b073eabb3dce92b90415b82.png)
, точно так же как и запись
![$M=\{3,2,1\}$ $M=\{3,2,1\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/f/bef618231e12f18885b6ef39ca27c03482.png)
, позволяет констатировать, что каждое из чисел
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
,
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
,
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
множеству
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
принадлежит, а никакие другие числа не принадлежат. Множество содержит в себе только эту информацию, поэтому что бы мы дальше с ним ни делали, мы не сможем различить множества
![$\{1,1,2,3\}$ $\{1,1,2,3\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c4ab51e09be03accb780e59bf58679982.png)
и
![$\{3,2,1\}$ $\{3,2,1\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/6/3e6758653da3f08e85afd114aab5287082.png)
. Не может оказаться так, что у первого множества окажется какое-то свойство, которого нет у второго множества, просто потому что все инструменты работы со множествами, имеющиеся в математике, оперируют лишь с тем, принадлежат те или иные элементы множеству или нет - а в этом как раз эти множества не различаются. Именно поэтому мы говорим, что это одно и то же множество.
Если же Вы говорите о самом множестве, а не о записи, предложение "элементы множества должны быть различны" звучит странно, как было показано выше. Различные элементы должны быть различны, совпадающие элементы должны совпадать. Верно, что
![$1\in M$ $1\in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd01e0e691509c4d835a1a4b14856cb882.png)
и
![$1\in M$ $1\in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd01e0e691509c4d835a1a4b14856cb882.png)
и
![$1\in M$ $1\in M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd01e0e691509c4d835a1a4b14856cb882.png)
хоть миллион раз; это значит лишь, что число
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
принадлежит множеству
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, и эту истину можно написать столько раз, сколько хочется - хотя все эти единицы будут совпадать.