Множества и объекты

[Vladimir Pliassov]

Я имею в виду не этот случай, а вообще: подмножества множества $X$, которые составляют топологию $\mathcal T$, должны быть различны или нет? Ведь топология $\mathcal T$ это множество, а элементы множества должны быть различны.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

Ведь топология $\mathkal T$ это множество, а элементы множества должны быть различны.

$$\{\{a,b\},\{a,b\}\}=\{\{a,b\},\{b,a\}\}=\{\{b,a\},\{b,a,b\}\}=\{\{a,b\}\}=\{\{b,a\}\}=\{\{a,b,a\}\}.$$

-- Вт июн 08, 2021 02:15:20 --

Верно ли, что $\{c,d\}\in\mathcal{T}_2$?
Верно ли, что $\{d,c\}\in\mathcal{T}_2$?
Верно ли, что $\{c,d,c\}\in\mathcal{T}_2$?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521723 писал(а):

(Оффтоп)

Верно ли, что $\varnothing$ - это не обозначение множества, а само множество?
Верно ли, что $2$ - это не обозначение числа, а само число?
Верно ли, что стол - это не обозначение стола, а сам стол?

1. Верно ли, что стол - это не обозначение стола, а сам стол? -- Да.

2. Верно ли, что $2$ - это не обозначение числа, а само число? --

Этот вопрос я как раз хотел поднять. Когда заключается договор, что цифра $2$ (или взять в кавычки?) ассоциируется с об'ектом, который есть второе по величине натуральное число, то эта цифра становится именем этого об'екта, но когда мы произносим имя, то имеем в виду число, то есть мы отождествляем имя с об"ектом. Так что, если специально не указано, что имеется в виду имя, то $2$ это само число.

3. Верно ли, что $\varnothing$ - это не обозначение множества, а само множество? -- Здесь то же самое.

У меня сейчас планшет, который заряжается медленнее, чем потребляет энергию, так что, боюсь, скоро выйду из общения.

На нем, к тому же, нет твердого знака (вы, наверное, заметили).

-- 08.06.2021, 02:40 --

tolstopuz в сообщении #1521726 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

Ведь топология $\mathkal T$ это множество, а элементы множества должны быть различны.

$$\{\{a,b\},\{a,b\}\}=\{\{a,b\},\{b,a\}\}=\{\{b,a\},\{b,a,b\}\}=\{\{a,b\}\}=\{\{b,a\}\}=\{\{a,b,a\}\}.$$

Разве они различны? Они же все состоят из одних и тех же элементов.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

Цитата:

- Ты загрустила? - огорчился Рыцарь. - Давай я спою тебе в утешение песню.
- А она очень длинная? - спросила Алиса.
В этот день она слышала столько стихов!
- Она длинная, - ответил Рыцарь, - но очень, очень красивая! Когда я ее пою, все рыдают... или...
- Или что? - спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
- Или... не рыдают. Заглавие этой песни называется "Пуговки для сюртуков".
- Вы хотите сказать - песня так называется? - спросила Алиса, стараясь заинтересоваться песней.
- Нет, ты не понимаешь, - ответил нетерпеливо Рыцарь. - Это заглавие так называется. А песня называется "Древний старичок".
- Мне надо было спросить: это у песни такое заглавие? - поправилась Алиса.
- Да нет! Заглавие совсем другое. "С горем пополам!" Но это она только так называется!
- А песня эта какая? - спросила Алиса в полной растерянности.
- Я как раз собирался тебе об этом сказать. "Сидящий на стене"! Вот какая это песня! Музыка собственного изобретения!

-- Вт июн 08, 2021 02:45:49 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

Разве они различны? Они же все состоят из одних и тех же элементов.

"Элементы множества должны быть различны" - не совсем точное описание. Точнее будет сказать, что вопросы "сколько раз элемент входит во множество" и "на каком месте во множестве находится элемент" не имеют смысла, можно только задавать вопрос, входит ли элемент во множество.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

1. Верно ли, что стол - это не обозначение стола, а сам стол? -- Да.

2. Верно ли, что $2$ - это не обозначение числа, а само число? --

Когда мы говорим о самом объекте, то называем (или пишем) его имя. Если мы хотим говорить о его имени, мы должны использовать имя этого имени. Можно, например, договориться, что одним из имён имени является само имя, снабжённое каким-то дополнительным значком. Например, кавычками. Например, "стол" — это имя стола. В первом случае речь идёт об имени, во втором — о самом столе. $2$ — это число, а "$2$" — его имя, которое представляет собой строку из одного символа.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

когда мы произносим имя, то имеем в виду число, то есть мы отождествляем имя с об"ектом.

Нет. Если мы начнём отождествлять имена с объектами, у нас получится полная путаница.

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

На нем, к тому же, нет твердого знака (вы, наверное, заметили).

А если на экранной клавиатуре прикоснуться к изображению "ь" и немного подержаться за него, то там не появится изображение "ъ"? У меня на телефоне клавиатура работает именно так. И некоторые другие значки так же получаются.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

подмножества множества $X$, которые составляют топологию $\mathcal T$, должны быть различны или нет?

Ситуация с ними в точности как с элементами множества. В записи $\mathcal T=\{\ldots\}$ могут попасться одинаковые элементы (одинаковые подмножества $X$), но тогда можно просто "убрать лишние" из этой записи и топология $\mathcal T$ никак не поменяется. То есть, например, $\mathcal T=\{\varnothing,X,\{a\},\{a\}\}=\{\varnothing,X,\{a\}\}$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

элементы множества должны быть различны

Только не относитесь к этому как к какому-то "правилу, которое нужно запомнить". Это утверждение, на самом деле, вообще бессодержательно. Возьмём множество $M=\{1,2,3\}$. Тогда, например, $2\in M$ и $3\in M$, и элементы $2$ и $3$ различны. Но точно так же верно, что $1\in M$ и $1\in M$, а элементы $1$ и $1$ не различны. Что значит "элементы множества должны быть различны"? Различные элементы множества должны быть различны, а совпадающие должны совпадать. Это утверждение одновременно самоочевидно и бессодержательно, оно не стоит выеденного яйца.

Что Вы должны точно понимать - это что один и тот же элемент не может входить в множество "сколько-то раз". Никаких мультимножеств! Просто в теории множеств есть понятие "принадлежит" ($\in$), но нет понятия "принадлежит столько-то раз". Ну, просто нет такого понятия и всё. Так же, как, например, нельзя сказать, что множество "такого-то цвета" или "такой-то температуры". Если даны множество и элемент, можно сказать, принадлежит этот элемент множеству или не принадлежит. Больше ничего сказать нельзя.

-- 08.06.2021, 03:40 --

Мне кажется, Вы продолжаете путать запись множества с самим множеством.
Запись нужна для того, чтобы определить множество.
В записи могут быть повторяющиеся элементы, точнее, их имена, в любом количестве.
Но запись нужна лишь для того, чтобы для каждого элемента уметь определить, принадлежит оно множеству или нет. Да или нет.
Множество "хранит в себе информацию" только об этом: про каждый элемент оно "знает", принадлежит он множеству или нет.
Запись, в отличие от множества, может содержать в себе больше информации. Например, когда мы записываем $M=\{1,2,3\}$, мы пишем эти $1$, $2$, $3$ в каком-то порядке. Но информация о порядке элементов может быть (а может и не быть) только в записи, но не в самом множестве. Множество $\{3,2,1\}$ - это то же самое множество, что и $\{1,2,3\}$ или $\{1,1,3,2,3\}$.
Запись нужна только для того, чтобы определить множество. Всю лишнюю информацию, которую содержит запись, при работе с множествами мы игнорируем.

-- 08.06.2021, 03:49 --

Когда Вы говорите "элементы множества должны быть различны", Вы путаете запись множества и само множество.

В записи множества могут быть повторяющиеся элементы, но это неважно при работе с множествами. Запись $M=\{1,1,2,3\}$, точно так же как и запись $M=\{3,2,1\}$, позволяет констатировать, что каждое из чисел $1$, $2$, $3$ множеству $M$ принадлежит, а никакие другие числа не принадлежат. Множество содержит в себе только эту информацию, поэтому что бы мы дальше с ним ни делали, мы не сможем различить множества $\{1,1,2,3\}$ и $\{3,2,1\}$. Не может оказаться так, что у первого множества окажется какое-то свойство, которого нет у второго множества, просто потому что все инструменты работы со множествами, имеющиеся в математике, оперируют лишь с тем, принадлежат те или иные элементы множеству или нет - а в этом как раз эти множества не различаются. Именно поэтому мы говорим, что это одно и то же множество.

Если же Вы говорите о самом множестве, а не о записи, предложение "элементы множества должны быть различны" звучит странно, как было показано выше. Различные элементы должны быть различны, совпадающие элементы должны совпадать. Верно, что $1\in M$ и $1\in M$ и $1\in M$ хоть миллион раз; это значит лишь, что число $1$ принадлежит множеству $M$, и эту истину можно написать столько раз, сколько хочется - хотя все эти единицы будут совпадать.

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521716 писал(а):

Так как же понять его мысль? Что $\vert X\vert=5$?

Вот так надо понимать его мысль:

beroal в сообщении #1521711 писал(а):

Автор не уточнил, что в этих примерах строчные латинские буквы есть литералы. Причём в дальнейших примерах — переменные.

Похоже, что строчные латинские буквы из начала алфавита (примерно до $f$) у автора книги являются литералами, а остальные — переменными. Потому что в дальнейших примерах он использует $n$, $r$, $x$ явно в качестве переменных. Я догадался об этом, потому что, автор утверждает, что

$$\{c, d\}\cup \{a, c, e\}\not\in \{X, \varnothing, \{a\}, \{c, d\}, \{a, c, e\}, \{b, c, d\}\},$$

но это ложно, если $c=d$. Умение угадывать, что автор подразумевал, очень ценно при чтении книг по математике. Хотя я бы на его месте использовал натуральные числа и тем устранил бы неоднозначность на корню.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

У меня сейчас планшет, который заряжается медленнее, чем потребляет энергию, так что, боюсь, скоро выйду из общения.

Думаю, дело не в планшете, а силе тока зарядного устройства. Какая она у вас?

[Vladimir Pliassov]

На выходе -- 500 mA.

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521720 писал(а):

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

Я имею в виду не этот случай, а вообще: подмножества множества $X$, которые составляют топологию $\mathcal T$, должны быть различны или нет? Ведь топология $\mathcal T$ это множество, а элементы множества должны быть различны.

Видите ли, термин «элемент множества» всегда используется в синтаксической конструкции «$a$ есть элемент множества $A$» (или просто «$a$ есть элемент $A$»), даже если $a$ не упоминается явно. Пример. Пусть $X=\{2, 10, 4\}$. Утверждение «любой элемент $X$ чётен» значит «любой $x$ такой, что $x\in X$, чётен». Переменная $x$ не упоминается.

Если понимать термин «элемент множества» так, как описано выше, тогда ваше утверждение «элементы множества должны быть различны» формализуется как «для любых $x$ и $y$ таких, что $x\in X$ и $y\in X$, $x\neq y$». Это утверждение ложно для любого непустого $X$, как ни парадоксально.

У меня сложилось впечатление, что когда авторы пишут «возьмём два элемента» (некоторого множества), они имеют в виду то, что я описал выше, то есть две подразумеваемых переменных, скажем, $x$ и $y$. Эти переменные могут иметь одинаковые значения, могут иметь разные значения. Если автору нужно, чтобы выполнялось $x\neq y$, он пишет «возьмём два различных элемента».

В общем, каждый раз, когда я слышу термин «элемент», я вставляю переменную. Рассуждения о том, что такое элемент и что такое его имя — это философия. Я не философ, я простой человек.

-- Вт июн 08, 2021 12:14:22 --

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1521764 писал(а):

На выходе -- 500 mA.

У меня 2 А при 9 В. Диагональ экрана — 10 дюймов.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1521764 писал(а):

На выходе -- 500 mA.

Очень мало. Для комфортной работы нужно 2-3 А, если не ошибаюсь.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо, попробую найти.

-- 08.06.2021, 12:46 --

Mikhail_K в сообщении #1521736 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521725 писал(а):

подмножества множества $X$, которые составляют топологию $\mathcal T$, должны быть различны или нет?

Ситуация с ними в точности как с элементами множества. В записи $\mathcal T=\{\ldots\}$ могут попасться одинаковые элементы (одинаковые подмножества $X$), но тогда можно просто "убрать лишние" из этой записи и топология $\mathcal T$ никак не поменяется. То есть, например, $\mathcal T=\{\varnothing,X,\{a\},\{a\}\}=\{\varnothing,X,\{a\}\}$.

То есть мы просто-напросто не сможем взять для топологии $\mathcal T$ какое-то подмножество множества $X$ два раза.

И это соответствует тому, что топология $\mathcal T$ сама является множеством (элементами которого являются подмножества множества $X$) -- никакой элемент по определению не может входить в множество два раза.

Mikhail_K в сообщении #1521736 писал(а):

Если же Вы говорите о самом множестве, а не о записи, предложение "элементы множества должны быть различны" звучит странно,

потому что в этом предложении есть слова "должны быть", убрать их, и станет как надо, потому что элементы множества различны по определению.

Спасибо! Вообще, я думаю, тексты подобных сообщений должны входить в учебники -- причем полностью, -- чтобы читателю было понятно, о чём идёт речь., но авторы очень боятся написать что-нибудь лишнее, и дают почти только самую необходимую информацию, которая понятна только тем, кто и так все это знает. Раз так, они могли бы дать только набор аксиом, а читатель пусть сам из них все выводит.

-- 08.06.2021, 12:51 --

tolstopuz в сообщении #1521733 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:

- Ты загрустила? - огорчился Рыцарь. - Давай я спою тебе в утешение песню.
- А она очень длинная? - спросила Алиса.
В этот день она слышала столько стихов!
- Она длинная, - ответил Рыцарь, - но очень, очень красивая! Когда я ее пою, все рыдают... или...
- Или что? - спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
- Или... не рыдают. Заглавие этой песни называется "Пуговки для сюртуков".
- Вы хотите сказать - песня так называется? - спросила Алиса, стараясь заинтересоваться песней.
- Нет, ты не понимаешь, - ответил нетерпеливо Рыцарь. - Это заглавие так называется. А песня называется "Древний старичок".
- Мне надо было спросить: это у песни такое заглавие? - поправилась Алиса.
- Да нет! Заглавие совсем другое. "С горем пополам!" Но это она только так называется!
- А песня эта какая? - спросила Алиса в полной растерянности.
- Я как раз собирался тебе об этом сказать. "Сидящий на стене"! Вот какая это песня! Музыка собственного изобретения!

Очень смешно! И как раз о том, о чем мы говорим.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521771 писал(а):

но авторы очень боятся написать что-нибудь лишнее, и дают почти только самую необходимую информацию, которая понятна только тем, кто и так все это знает.

Это не так. В "Элементарной топологии", например, было

Цитата:

Заметьте, что множества {1,2,3} и {3,2,1,2} равны, поскольку они состоят из одних и тех же элементов. На первый взгляд, список с повторениями никогда не может возникнуть естественным образом. Появляется даже соблазн на всякий случай запретить списки с повторениями в подобных обозначениях. Однако, как это часто случается с соблазном что-то запретить, в данном случае запрет этот не был бы разумным. Действительно, часто никто не может сказать, имеются в списке повторения или нет. Например,если элементы списка зависят от параметра, то при одних значениях параметра некоторые члены списка могут совпасть, тогда как при других значениях они окажутся различными.

[tolstopuz]

Вот простой пример: пусть выпущен миллион лотерейных билетов с номерами от $000000$ до $999999$. Выигрышными объявили билеты, у которых первые три цифры одинаковые, например, $111507$. Но потом добавили второй пул выигрышных билетов - у которых последние три цифры одинаковые, например, $235888$. Билет $222666$ входит в оба пула.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1521735 писал(а):

Нет. Если мы начнём отождествлять имена с объектами, у нас получится полная путаница.

"Отождествляем" -- не в том смысле, что "считаем, будто между объектом и его именем нет разницы" -- она, конечно, есть, -- а в том смысле, что, работая с объектами, не принимаем эту разницу во внимание (если только в нашей работе мы не рассматриваем эту разницу). Работая с объектами, мы делаем это не непосредственно, а опосредованно, то есть работаем не с ними, а а с их обозначениями -- потому что не можем иначе, -- но это не мешает нам работать с ними: когда мы видим запись $2<3$, то понимаем ее не как три знака, расположенных в одну строку, а как то, что число $2$ меньше числа $3$.

Если бы не было этого отождествления, мы не могли бы в наших мыслях работать с объектами, потому что не могли бы до них добраться.

Отождествление здесь это замена объекта на его имя, которая предпринимается для того, чтобы нам было возможно с ним работать.

Someone в сообщении #1521735 писал(а):

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1521730 писал(а):

На нем, к тому же, нет твердого знака (вы, наверное, заметили).

А если на экранной клавиатуре прикоснуться к изображению "ь" и немного подержаться за него, то там не появится изображение "ъ"? У меня на телефоне клавиатура работает именно так. И некоторые другие значки так же получаются.

Спасибо за совет! Я нашел не только твердый знак, но и фигурные скобки, а то приходилось копировать.

-- 08.06.2021, 16:00 --

xagiwo в сообщении #1521790 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521771 писал(а):

но авторы очень боятся написать что-нибудь лишнее, и дают почти только самую необходимую информацию, которая понятна только тем, кто и так все это знает.

Это не так. В "Элементарной топологии", например, было

Цитата:

Заметьте, что множества {1,2,3} и {3,2,1,2} равны, поскольку они состоят из одних и тех же элементов. На первый взгляд, список с повторениями никогда не может возникнуть естественным образом. Появляется даже соблазн на всякий случай запретить списки с повторениями в подобных обозначениях. Однако, как это часто случается с соблазном что-то запретить, в данном случае запрет этот не был бы разумным. Действительно, часто никто не может сказать, имеются в списке повторения или нет. Например,если элементы списка зависят от параметра, то при одних значениях параметра некоторые члены списка могут совпасть, тогда как при других значениях они окажутся различными.

Значит, бывают приятные исключения.