2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 20:53 


21/04/19
1212
Mikhail_K в сообщении #1521966 писал(а):
xagiwo в сообщении #1521958 писал(а):
Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные?
Рассказывайте. Это лучше, чем невнятные "постоянные" и "переменные" в невнятных обсуждениях типа того, какие значения может принимать $x$ в формуле $x\in\{x\}$.

А вот, между прочим, я так и не понял, какие значения он может принимать в этой формуле. У меня в молодости был один знакомый, который говорил: "Ты не так живёшь!" - Я спрашивал: "А как надо жить? -- "Тебе ещё объяснять?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4685
Vladimir Pliassov
Мне всё это обсуждение кажется недостаточно внятным, поэтому я не очень хочу его комментировать.
Скажу лишь, что в формулу $x\in\{x\}$ можно подставить вместо $x$ любой объект <который в принципе может быть элементом множества>, и она будет верной.
Можно сказать, что справедливо $\forall x,\,x\in\{x\}$.
Можно, конечно, зафиксировать $x$, тогда $\{x\}$ будет фиксированным множеством, а $x\in\{x\}$ верным утверждением. Тогда вместо $x$ уже не нужно ничего подставлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 21:35 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
Надо различать определения и утверждения. Определения вводят новые символы, утверждения говорят что-то о существующих.

«Пусть $x\in\mathbf{Z}$» вводит новый символ $x$.
«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.
«$x\in\{x\}$» не вводит нового символа, а утверждает что-то о ранее введённом символе $x$. Вот там, ранее, и надо искать информацию о том, какие значения может принимать $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:24 


21/04/19
1212
beroal в сообщении #1521989 писал(а):
В выражении $\exists e(\phi)$ ($\phi$ — какая-нибудь логическая формула, например, $e\in A$), $e$ всегда переменная. Синтаксис не разрешает использовать там литерал или выражение.

Кстати, $\exists e(\phi)$ может писаться как $(\exists e)\phi$ или $(\exists e)(\phi)$. А я предпочитаю писать его как $\exists e, \phi$.

Спасибо, все понятно. Немного смущает только то, что не разрешается использовать при $\exists$ выражение, в том смысле, что мне это и в голову не приходило, а теперь я думаю, как бы можно было это себе представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:37 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Я, кажеця, проследил хронологию преступления:
  1. Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$
    tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
    Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$
  2. С муками Vladimir Pliassov формулирует некоторое достаточное условие неравенства двух множеств, имея ввиду заданное tolstopuzом $e$:
    Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):
    $$e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$
  3. Приходит Pphantom и предлагает использовать кванторы.
  4. Vladimir Pliassov ставит квантор над $e$, а никто и не против.
  5. Vladimir Pliassov не понимает, что значит $e$.

-- 09.06.2021, 22:47 --

Короче, либо мы забываем про то, что множество $X$ и $a, b, c, d, e$ у нас вообще были и считаем, что вне формулы $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ буква $e$ не встречается нигде(то есть совсем нигде), и тогда это формула значит просто "мы можем подставить что-то вместо $e$ так, чтобы выражение $e \notin A, e \in E$ стало истинным" и всё, вроде, хорошо

Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:56 


21/04/19
1212
tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):

«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.

Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4685
Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):
Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.
Ну, я выше говорил так: из утверждения $X=\{a,b,c\}$ логически не следует различность $a,b,c$, но она может подразумеваться автором.
tolstopuz это конкретизирует, когда именно такое происходит: если автор пишет "Пусть $X=\{a,b,c\}$" (т.е. объекты $X,a,b,c$ никогда ранее не упоминались и впервые вводятся этой фразой), то он обычно подразумевает, что $a,b,c$ различны.
Пожалуй, это вопрос соглашений, и в таком соглашении есть резон.
Важно здесь то, что если равенство $X=\{a,b,c\}$ записано в другом контексте, то в нём, понятное дело, $a,b,c$ не обязательно различны.

-- 09.06.2021, 23:17 --

К слову, само слово "пусть" в математическом тексте свидетельствует, что он записан не абсолютно строго, и поэтому в нём могут подразумеваться какие-то неформальные соглашения.

Абсолютно строгий математический текст (на уровне мат.логики) не содержит слов вообще, только символы.
Такие тексты всем хороши, кроме одного: их невозможно читать.
Поэтому математики работают всё-таки с читаемыми текстами, где есть слова и неформальные соглашения. Эти соглашения, обычно, даже не требуется формулировать, их понимание приходит с опытом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:25 


21/04/19
1212
Я опять дал маху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:33 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Vladimir Pliassov в сообщении #1521948 писал(а):
Достаточно. Тогда в выражении

$$(\exists e \; \; e\notin A, e\in E)\to A\ne E$$
$e$ это постоянный объект?

А у Вас останется этот вопрос, если заменить это выражение на $(\exists t \; \; t\notin A, t\in E)\to A\ne E$? Просто если нет, то достаточно сказать, что нехорошо засовывать сразу после квантора что-то, что имеет определённый смысл вне этого квантора — это то же самое, что написать $\exists 2 \; \;2\cdot2=4$. Не понятно, что в таком случае вообще значит квантор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:46 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):
Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$
tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$
Все намного смешнее. Началось с поста ТС:
Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):
Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.
Мы все хором убеждали его, что надо сначала определить $a,b,c,d,e,f,g$, и когда почти убедили, я нашел в "Топологии без слез" аналогичный пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:54 
Аватара пользователя


23/12/18
430
tolstopuz
Но это уже слабо связано с текущей ситуацией. Я-то к тому, что никто, кажется, не заметил, что ТС поставил квантор там, где ему лучше бы не быть и из-за этого могло возникнуть недопонимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 00:49 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):
«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов
Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.
Вы опять ходите по кругу.
Vladimir Pliassov в сообщении #1521835 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
Цитата:
Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$
Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.
В множестве $X$ по результатам голосования пять элементов. Пример элемента: $a$.
Вы пробовали читать какие-нибудь книги? Давайте перейдем от пустых рассуждений к разбору реального математического текста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:32 


21/04/19
1212
xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):
Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

Если
Vladimir Pliassov в сообщении #1521983 писал(а):
$\exists \,e$ означает "среди всевозможных объектов есть объект $e$, который ..."

то написать

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E?$$
это то же самое, что написать

$$(\exists e\in \mathbb U\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E,$$
где $\mathbb U$ самый общий универсум. Но даже если написать

$$(\exists e\in X\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E$$
(не знаю, надо ли поставить запятую после $X$), то это будет слишком много, так как в ситуации $X=\{a, b, c, d, e\}$, которая нам дана изначально, и так ясно, что $e\in X$, так что надо убрать $\in X$. Квантор тоже надо убрать, потому что и так ясно, что $\exists\, e$, раз оно находится в множестве $X$. Останется

$$e\notin A\wedge e\in E\to A\ne E.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:38 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Vladimir Pliassov
Забудьте. Лучше ответьте tolstopuz

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:46 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Vladimir Pliassov в сообщении #1522039 писал(а):
где $\mathbb U$ самый общий универсум
Нет такого понятия. Не буду даже просить вас его определить. Вы ответите что-то вроде: «Ну, это вообще всё!».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 273 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group