подмножества множества

, которые составляют топологию

, должны быть различны или нет?
Ситуация с ними в точности как с элементами множества. В
записи 
могут попасться одинаковые элементы (одинаковые подмножества

), но тогда можно просто "убрать лишние" из этой записи и топология

никак не поменяется. То есть, например,

.
элементы множества должны быть различны
Только не относитесь к этому как к какому-то "правилу, которое нужно запомнить". Это утверждение, на самом деле, вообще бессодержательно. Возьмём множество

. Тогда, например,

и

, и элементы

и

различны. Но точно так же верно, что

и

, а элементы

и

не различны. Что значит "элементы множества должны быть различны"? Различные элементы множества должны быть различны, а совпадающие должны совпадать. Это утверждение одновременно самоочевидно и бессодержательно, оно не стоит выеденного яйца.
Что Вы должны точно понимать - это что один и тот же элемент не может входить в множество "сколько-то раз". Никаких мультимножеств! Просто в теории множеств есть понятие "принадлежит" (

), но нет понятия "принадлежит столько-то раз". Ну, просто нет такого понятия и всё. Так же, как, например, нельзя сказать, что множество "такого-то цвета" или "такой-то температуры". Если даны множество и элемент, можно сказать, принадлежит этот элемент множеству или не принадлежит. Больше ничего сказать нельзя.
-- 08.06.2021, 03:40 --Мне кажется, Вы продолжаете путать запись множества с самим множеством.
Запись нужна для того, чтобы определить множество.
В записи могут быть повторяющиеся элементы, точнее, их имена, в любом количестве.
Но запись нужна лишь для того, чтобы для каждого элемента уметь определить, принадлежит оно множеству или нет. Да или нет.
Множество "хранит в себе информацию" только об этом: про каждый элемент оно "знает", принадлежит он множеству или нет.
Запись, в отличие от множества, может содержать в себе больше информации. Например, когда мы записываем

, мы пишем эти

,

,

в каком-то порядке. Но информация о порядке элементов может быть (а может и не быть) только в записи, но не в самом множестве. Множество

- это то же самое множество, что и

или

.
Запись нужна только для того, чтобы определить множество. Всю лишнюю информацию, которую содержит запись, при работе с множествами мы игнорируем.
-- 08.06.2021, 03:49 --Когда Вы говорите "элементы множества должны быть различны", Вы путаете запись множества и само множество.
В записи множества могут быть повторяющиеся элементы, но это неважно при работе с множествами. Запись

, точно так же как и запись

, позволяет констатировать, что каждое из чисел

,

,

множеству

принадлежит, а никакие другие числа не принадлежат. Множество содержит в себе только эту информацию, поэтому что бы мы дальше с ним ни делали, мы не сможем различить множества

и

. Не может оказаться так, что у первого множества окажется какое-то свойство, которого нет у второго множества, просто потому что все инструменты работы со множествами, имеющиеся в математике, оперируют лишь с тем, принадлежат те или иные элементы множеству или нет - а в этом как раз эти множества не различаются. Именно поэтому мы говорим, что это одно и то же множество.
Если же Вы говорите о самом множестве, а не о записи, предложение "элементы множества должны быть различны" звучит странно, как было показано выше. Различные элементы должны быть различны, совпадающие элементы должны совпадать. Верно, что

и

и

хоть миллион раз; это значит лишь, что число

принадлежит множеству

, и эту истину можно написать столько раз, сколько хочется - хотя все эти единицы будут совпадать.