Множества и объекты

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1520914 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

(Ведь то, что ${X_x, X_y}\in X$, верно?)

Я в прошлом сообщении объяснил, что не так

tolstopuz в сообщении #1520650 писал(а):

Что-то типа $\forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}, x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y$.

tolstopuz в сообщении #1520680 писал(а):

$X_0$ - нулевой элемент в фигурных скобках (то есть $a$), $X_1$ - первый ($b$) и так далее

$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$? Если так, то $X=\{X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6\}$ и ${X_x, X_y}\in X$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520969 писал(а):

$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$? Если так, то $X=\{X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6\}$ и ${X_x, X_y}\in X$.

Я уже объяснил, что это было моей неточностью, и то, как вы упорно за нее цепляетесь, заставляет предположить троллинг с вашей стороны (кстати, мы договорились нумеровать элементы с единицы).

Если вы хотите сказать, что $\{a,b,c,d,e,f,g\}_1=a$, то подумайте, чему равно $\{g,f,e,d,c,b,a\}_1$, а потом вспомните, что эти два множества равны.

[Vladimir Pliassov]

Меня поразило и огорчило Ваше предположение, ничего подобного и близко не было, я просто совсем запутался.

[tolstopuz]

Вы почему-то считаете, что множество сохраняет "память" о том, как именно оно создавалось, в каком порядке и количестве были написаны элементы через запятую в фигурных скобках. Это не так, и вопрос "каков первый элемент множества" не имеет смысла.

[Vladimir Pliassov]

Мне кажется, надо начать сначала.

Пусть имеем множество

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g.$$

Вот это: $x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g$, -- надо как-то записать в общем виде.

То есть нужна биекция $\{1,2,3,4,5,6,7\}\Leftrightarrow \{a,b,c,d,e,f,g\}$?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520979 писал(а):

Мне кажется, надо начать сначала.

Думаю, не с того начала. Вы хотите пронумеровать семь (возможно, одинаковых) объектов и помнить, кто из них каким по счету идет. Множество для этого не подходит. Отлично подходит конечная последовательность - функция $F: \{1\cdots7\}\to U$, где $U$ - множество возможных значений переменных (придется перейти к большой $F$, раз вы хотите еще работать со своими семью буквами).

Теперь положим $a=F(1), \cdots, g=F(7)$. Зачем они вам - не знаю, но пусть будут.

[Vladimir Pliassov]

Первоначальная задача была -- показать, что в множестве $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ столько элементов, сколько их обозначений, то есть сколько букв в скобках.

Это можно показать так: $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, -- или так: $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

Так ведь тоже можно:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g?$$

Но $x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g$ хотелось бы записать в общем виде, и тут, вероятно, можно задействовать функцию $F: \{1\cdots7\}\to X$?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520983 писал(а):

Так ведь тоже можно:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g?$$

Нет, так нельзя. Давайте не пользоваться буквами, которые еще не определены.

Идем слева направо:

$a,b,c,d,e,f,g$ - произвольные объекты (элементы некоторого универсума).
$X$ - множество, состоящее из них.
$i,j$ - натуральные числа от $1$ до $7$.
$x,y$ - ???

[Vladimir Pliassov]

$x, y$ принимают любые значения из $a,b,c,d,e,f,g$.

[tolstopuz]

То есть, например, $x=a$ и $x_i=a_i$?

-- Чт июн 03, 2021 02:44:06 --

Как сказали бы программисты, меня интересует тип каждой переменной, которая встречается в ваших выкладках.

$a,b,c,d,e,f,g$ имеют некий тип U, зависящий от задачи. Может, числа, может, звезды или животные.
$X$ имеет тип set<U>.
$i,j$ имеют тип int.
$x,y$ - ???

[Vladimir Pliassov]

Нет, имеется всего семь обозначений элементов множества $X$, это $a,b,c,d,e,f,g$ (при этом неизвестно, сколько элементов, то есть каждый элемент может иметь более, чем одно обозначение), и $x$ может браться вместо любого из этих семи обозначений, то же самое -- $y$.

$a_i$ или $b_i$ нет.

Можно было бы вместо $a,b,c,d,e,f,g$ взять, например, $a_i, i=\overline {1,7}$, но тогда не было бы $a,b,c,d,e,f,g$.

[tolstopuz]

Я все равно упорно не понимаю, сущностями какого рода являются $x$ и $y$ и что означает приписывание к ним индекса. Я привык, что индекс означает вычисление функции. Вот, например, что пишет Кострикин:

Цитата:

При заданных множествах $X$ и $Y$ отображение $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ элемент $f(x)\in Y$, обозначаемый также $fx$ или $f_x$.

То есть $x$ и $y$ - функции? Каковы их области определения и области значений?

-- Чт июн 03, 2021 02:58:47 --

Чем конкретно вас не устраивает моя формулировка? Вы отмахнулись от нее и начали развивать что-то неудобоваримое.

tolstopuz в сообщении #1520981 писал(а):

Отлично подходит конечная последовательность - функция $F: \{1\cdots7\}\to U$, где $U$ - множество возможных значений переменных (придется перейти к большой $F$, раз вы хотите еще работать со своими семью буквами).

Теперь положим $a=F(1), \cdots, g=F(7)$. Зачем они вам - не знаю, но пусть будут.

После этого положим $X=\operatorname{Im}F=\{F_1,F_2,F_3,F_4,F_5,F_6,F_7\}=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ и делайте с ним что хотите.

[Vladimir Pliassov]

Так, наверное, Ваша функция $F$ это и есть мой $x$, а для $y$ надо еще одну функцию $G$:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne G_j, \;\; a=F(1)=G(1), \cdots, g=F(7)=G(7).$$

Отсюда следует $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, или $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520989 писал(а):

Так, наверное, Ваша функция $F$ это и есть мой $x$, а для $y$ надо еще одну функцию $G$:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne G_j, \;\; a=F(1)=G(1), \cdots, g=F(7)=G(7).$$

Отсюда следует $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, или $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

У вас тут написано, что $F$ и $G$ совпадают при всех значениях аргумента, то есть равны. Зачем вам две одинаковых функции?

Если убрать $G$, то получается все хорошо: $|X|=7$ равносильно $a\ne b,a\ne c,\cdots,f\ne g$ или, что то же самое, инъективности $F$.

[Vladimir Pliassov]

Ваша правда! А как написать, что $F$ инъективно?