2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение02.06.2021, 22:11 


21/04/19
1184
tolstopuz в сообщении #1520914 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):
(Ведь то, что ${X_x, X_y}\in X$, верно?)
Я в прошлом сообщении объяснил, что не так

tolstopuz в сообщении #1520650 писал(а):
Что-то типа $\forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}, x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y$.

tolstopuz в сообщении #1520680 писал(а):
$X_0$ - нулевой элемент в фигурных скобках (то есть $a$), $X_1$ - первый ($b$) и так далее

$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$? Если так, то $X=\{X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6\}$ и ${X_x, X_y}\in X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение02.06.2021, 23:12 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Vladimir Pliassov в сообщении #1520969 писал(а):
$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$? Если так, то $X=\{X_0,X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6\}$ и ${X_x, X_y}\in X$.
Я уже объяснил, что это было моей неточностью, и то, как вы упорно за нее цепляетесь, заставляет предположить троллинг с вашей стороны (кстати, мы договорились нумеровать элементы с единицы).

Если вы хотите сказать, что $\{a,b,c,d,e,f,g\}_1=a$, то подумайте, чему равно $\{g,f,e,d,c,b,a\}_1$, а потом вспомните, что эти два множества равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение02.06.2021, 23:55 


21/04/19
1184
Меня поразило и огорчило Ваше предположение, ничего подобного и близко не было, я просто совсем запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 00:12 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Вы почему-то считаете, что множество сохраняет "память" о том, как именно оно создавалось, в каком порядке и количестве были написаны элементы через запятую в фигурных скобках. Это не так, и вопрос "каков первый элемент множества" не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 01:20 


21/04/19
1184
Мне кажется, надо начать сначала.

Пусть имеем множество

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g.$$
Вот это: $x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g$, -- надо как-то записать в общем виде.

То есть нужна биекция $\{1,2,3,4,5,6,7\}\Leftrightarrow \{a,b,c,d,e,f,g\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 01:33 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Vladimir Pliassov в сообщении #1520979 писал(а):
Мне кажется, надо начать сначала.
Думаю, не с того начала. Вы хотите пронумеровать семь (возможно, одинаковых) объектов и помнить, кто из них каким по счету идет. Множество для этого не подходит. Отлично подходит конечная последовательность - функция $F: \{1\cdots7\}\to U$, где $U$ - множество возможных значений переменных (придется перейти к большой $F$, раз вы хотите еще работать со своими семью буквами).

Теперь положим $a=F(1), \cdots, g=F(7)$. Зачем они вам - не знаю, но пусть будут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:00 


21/04/19
1184
Первоначальная задача была -- показать, что в множестве $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ столько элементов, сколько их обозначений, то есть сколько букв в скобках.

Это можно показать так: $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, -- или так: $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

Так ведь тоже можно:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g?$$
Но $x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g$ хотелось бы записать в общем виде, и тут, вероятно, можно задействовать функцию $F: \{1\cdots7\}\to X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:11 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Vladimir Pliassov в сообщении #1520983 писал(а):
Так ведь тоже можно:
$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow x_i\ne y_j, \;\; x_1, y_1=a, \;\;x_2, y_2=b,\; \ldots, \;\; x_7, y_7=g?$$
Нет, так нельзя. Давайте не пользоваться буквами, которые еще не определены.

Идем слева направо:

$a,b,c,d,e,f,g$ - произвольные объекты (элементы некоторого универсума).
$X$ - множество, состоящее из них.
$i,j$ - натуральные числа от $1$ до $7$.
$x,y$ - ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:18 


21/04/19
1184
$x, y$ принимают любые значения из $a,b,c,d,e,f,g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:22 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
То есть, например, $x=a$ и $x_i=a_i$?

-- Чт июн 03, 2021 02:44:06 --

Как сказали бы программисты, меня интересует тип каждой переменной, которая встречается в ваших выкладках.

$a,b,c,d,e,f,g$ имеют некий тип U, зависящий от задачи. Может, числа, может, звезды или животные.
$X$ имеет тип set<U>.
$i,j$ имеют тип int.
$x,y$ - ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:45 


21/04/19
1184
Нет, имеется всего семь обозначений элементов множества $X$, это $a,b,c,d,e,f,g$ (при этом неизвестно, сколько элементов, то есть каждый элемент может иметь более, чем одно обозначение), и $x$ может браться вместо любого из этих семи обозначений, то же самое -- $y$.

$a_i$ или $b_i$ нет.

Можно было бы вместо $a,b,c,d,e,f,g$ взять, например, $a_i, i=\overline {1,7}$, но тогда не было бы $a,b,c,d,e,f,g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 02:55 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Я все равно упорно не понимаю, сущностями какого рода являются $x$ и $y$ и что означает приписывание к ним индекса. Я привык, что индекс означает вычисление функции. Вот, например, что пишет Кострикин:
Цитата:
При заданных множествах $X$ и $Y$ отображение $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ элемент $f(x)\in Y$, обозначаемый также $fx$ или $f_x$.
То есть $x$ и $y$ - функции? Каковы их области определения и области значений?

-- Чт июн 03, 2021 02:58:47 --

Чем конкретно вас не устраивает моя формулировка? Вы отмахнулись от нее и начали развивать что-то неудобоваримое.
tolstopuz в сообщении #1520981 писал(а):
Отлично подходит конечная последовательность - функция $F: \{1\cdots7\}\to U$, где $U$ - множество возможных значений переменных (придется перейти к большой $F$, раз вы хотите еще работать со своими семью буквами).

Теперь положим $a=F(1), \cdots, g=F(7)$. Зачем они вам - не знаю, но пусть будут.
После этого положим $X=\operatorname{Im}F=\{F_1,F_2,F_3,F_4,F_5,F_6,F_7\}=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ и делайте с ним что хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 03:36 


21/04/19
1184
Так, наверное, Ваша функция $F$ это и есть мой $x$, а для $y$ надо еще одну функцию $G$:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne G_j, \;\; a=F(1)=G(1), \cdots, g=F(7)=G(7).$$
Отсюда следует $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, или $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 03:47 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Vladimir Pliassov в сообщении #1520989 писал(а):
Так, наверное, Ваша функция $F$ это и есть мой $x$, а для $y$ надо еще одну функцию $G$:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne G_j, \;\; a=F(1)=G(1), \cdots, g=F(7)=G(7).$$
Отсюда следует $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$, или $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.
У вас тут написано, что $F$ и $G$ совпадают при всех значениях аргумента, то есть равны. Зачем вам две одинаковых функции?

Если убрать $G$, то получается все хорошо: $|X|=7$ равносильно $a\ne b,a\ne c,\cdots,f\ne g$ или, что то же самое, инъективности $F$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 03:54 


21/04/19
1184
Ваша правда! А как написать, что $F$ инъективно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 273 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group