Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

(НЛО)

arseniiv в сообщении #1515924 писал(а):

[off="НЛО"]

Sinoid в сообщении #1515866 писал(а):

Вы имели ввиду кубик Рубика 3 × 3 × 3 ?

Да, спасибо, забыл придать ему глубины.

Там, на самом деле, ничего нет такого. Я сам несколько лет просидел с ним, пока не выявил систему. Я пришел к тому, что сначала нужно ставить все угловые кубики. Для этого я сначала собирал все угловые квадраты какой-либо одной грани и соседней с ней грани. Когда я это доделывал до конца, у меня 2 квадрата, которые на стороне, противоположной соседней и не примыкают к той грани, которую я собирал, становились практически всегда в одно и тоже неправильное положение. И вот тут я долго ничего не мог поделать. Но потом я и это решил. Оказалось, что это лечится трехкратным повторением одного и того же цикла вращений. При этом я перекидывал кубик с уже собранной примыкающей грани, тот кубик, который не примыкал к главной собранной мной уже грани в положение, при котором он становился против оставшегося на соседней грани, не примыкающего к главной грани квадрата. А потом опять собирал эту соседнюю грань, таким образом, что, когда соседняя грань становилась собранной, оказывалась собранной и главная грань. Как это сделать, почти очевидно, когда непосредственно это делаешь. О, кубик Рубика на многие размышления наталкивает. Как вот доказать, что он вообще собирается? При этом вы конкретного способа это сделать и не предъявляете, а доказывать доказываете. А если какой-нибудь шутник возьмет, да какой-нибудь из центральных квадратов возьмет, да и воткнет наоборот, а другой-то человек об этом знать не будет. Вот хохма-то будет: человек, имея в голове доказательство того, что кубик собирается, будет изо всех сил его собирать, а он не будет собираться никогда). Ну, чем не разрушение в пух и прах вообще всего мировоззрения? а если переставить 2 центральных квадрата, не изменяя их место? Мне почему-то кажется, что в этом случае кубик должен-таки собраться.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1515866 писал(а):

Так?

Да, именно так.

[Sinoid]

Ага, огромное всем спасибо за помощь.

[Sinoid]

Помогите, пожалуйста, понять, что значит указание к задаче 5.1:
Найти сумму $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}$
В указании сказано
рассмотреть сумму $(0+1)^{2}+(1+1)^{2}+\ldots+((n-1)+1)^{2}$
ОК. Рассматриваем:
$(0+1)^{2}+(1+1)^{2}+\ldots+((n-1)+1)^{2}=\left[0^{2}+1^{2}+\ldots+(n-1)^{2}\right]+$ $2\cdot1\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n\cdot1=$ $\left[0^{2}+1^{2}+\ldots+(n-1)^{2}\right]+n^{2}$ И что? Масло масляное какое-то получили. Естественно, я с такими формулами до этого чего только не делал: и доказывал индукцией уже написанные, и выводил их дифференцированием соответствующей суммы, и вычислял приравниванием их многочлену степени на 1 больше показателя суммы с последующим применением метода неопределенных коэффициентов, а тут в толк не могу взять, что же они хотели донести. А донести что-то хотели. ??????????

[arseniiv]

Гм, да, мне тоже непонятно. Хороший способ получать суммы $m$-х степеней — это разложить каждую степень в сумму убывающих факториальных степеней $a^{\underline m} = a (a - 1) \ldots (a - m + 1)$, которые суммируются в $a^{\underline {m + 1}}$. (И наоборот, взятие правой конечной разности понижает показатель на 1.)

Ещё есть неопределённые коэффициенты, но надо знать, что сумма даёт многочлен степени $m + 1$, что не сразу очевидно. Что-то из этого вы точно знаете, это на случай.

[vpb]

Я тоже не знаю, что бы это указание могло значить. Поскольку, как я понимаю, вы такие задачи и так хорошо умеете решать, думать по поводу этой задачи и "указания" к ней смысла нет. Лично я, когда мне случалось решать из учебников или задачников, в указания вообще, как правило, не смотрю. (Есть, например, такой известный полуучебник-полузадачник по функциональному анализу Кириллов-Гвишиани, там в этих указаниях часто вообще черт знает что написано.) Иногда смотрю, уже после того как решил задачу.

[Roman_T]

Sinoid в сообщении #1516083 писал(а):

тут в толк не могу взять, что же они хотели донести.

Может что $\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n (k(k-1)+k)=\sum_{k=1}^n k(k-1)+\sum_{k=1}^n k$?

[vpb]

Roman_T в сообщении #1516164 писал(а):

Может что

Дык, в этом соотношении никакой явной идеи для дальнейшего решения нет...

[Sinoid]

Roman_T в сообщении #1516164 писал(а):

Может что $\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n (k(k-1)+k)=\sum_{k=1}^n k(k-1)+\sum_{k=1}^n k$?

А ведь точно! Я вспомнил задачу 4.8, б). В ней индукцией требовалось доказать формулу $1\cdot2+2\cdot3+\ldots(n-1)\cdot n=\dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}$. Я просто пока то упражнение пропустил. Думал, не к спеху: я такого решал, перерешал. Только опять не пойму, как из того, что сказано в указании, получить вот это:

Roman_T в сообщении #1516164 писал(а):

$\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n (k(k-1)+k)$

[svv]

Sinoid в сообщении #1516246 писал(а):

А ведь точно! Я вспомнил задачу 4.8, б). В ней индукцией требовалось доказать формулу $1\cdot2+2\cdot3+\ldots(n-1)\cdot n=\dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}$.

Так ведь зная, что $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, это тоже легко доказать индукцией. Объём работы:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=n^2$

[Sinoid]

vpb в сообщении #1516113 писал(а):

Лично я, когда мне случалось решать из учебников или задачников, в указания вообще, как правило, не смотрю. (Есть, например, такой известный полуучебник-полузадачник по функциональному анализу Кириллов-Гвишиани, там в этих указаниях часто вообще черт знает что написано.) Иногда смотрю, уже после того как решил задачу.

Вы знаете, а у меня ровно другое впечатление от указаний к задачникам, задачам. Когда в школе я решал геометрию Погорелова, мне не попалось ни одной бесполезной подсказки. А при решении задач по высшей алгебре из задачника Фаддеева, Сомнинского, большинство из тех задач, которые мне там удалось решить, имея на руках 1 учебник Куроша (а решил я там около 65% общего числа задач), без указаний я решал бы раза в 2-3 дольше. Хотя, конечно, вы просто прорешали большее количество задачников и вам виднее.

-- 30.04.2021, 23:31 --

svv в сообщении #1516248 писал(а):

Так ведь зная, что $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, это тоже легко доказать индукцией.

Ну, там-то хотели через доказанное в это книге ранее. Хотя опять же, в указании к задаче 5.2 сказано см. указание к задаче 5.1. Опять, непонятно чем это помогает.

[vpb]

А какой смысл решать задачи, если по каждой задаче сначала смотреть в "Ответы, указания, решения " ? Ведь смысл задач в том, чтобы учащиеся сами размышляли. А то получается как в сказке про хеломских мудрецов:

Цитата:

Доски строгай, строгай, не ленись,
Но только клади их остроганным вниз !

Я лично вижу цель указаний в том, что если человек уже старался и так и этак, и всё равно не может придумать как решить, удовлетворить его интерес, "а как же оно решается всё-таки" ?

[mihiv]

Где-то я видел, доказывалось с помощью суммы: $(0+1)^3+(1+2)^3\dots +((n-1)+1)^3$

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1516262 писал(а):

А какой смысл решать задачи, если по каждой задаче сначала смотреть в "Ответы, указания, решения"?

Я думаю, что это были указания, данные в самом тексте задачи.

-- 01 май 2021, 17:38 --

В "Конкретной математике" есть два способа нахождения суммы квадратов "именно через суммы": через сумму $\sum\limits_{k=0}^n (k+1)^3$ (метод 2) и через двойную сумму $\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=j}^n k$ (метод 5).

[vpb]

mihiv в сообщении #1516280 писал(а):

Где-то я видел, доказывалось с помощью суммы: $(0+1)^3+(1+2)^3\dots +((n-1)+1)^3$

Так ведь и в Кострикине сумма с кубами, между прочим ! Причем во всех изданиях.

kotenok gav в сообщении #1516283 писал(а):

Я думаю, что это были указания, данные в самом тексте задачи.

Нет. Кстати, открою секрет: даже если указание дано прямо после задачи, на него можно и не смотреть ...