Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набрано условие задачи (и когда файлообменник его сотрет, понять последующее обсуждение будет затруднительно).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[vpb]

Sinoid
1) А вы пункт "Действие $S_n$ на функциях" читали ?

2) Даже если не читали. Допустим, есть некоторая функция $f(x,y)$ от двух переменных (не обязательно выражаемая многочленом). Можно с ней сделать разное: скажем, переставить аргументы. Т.е. рассмотреть новую функцию $f_1(x,y)$, определяемую как $f_1(x,y)=f(y,x)$. А можно умножить на число, скажем на 2, т.е. рассматриваем функцию, определяемую как $f_2(x,y)=2f(x,y)$. Теперь такой вопрос: понятно ли, что если у функции переставить аргументы, а потом умножить на число, получится та же функция, которая получилась бы, если бы исходную сначала умножили на число, а потом переставили аргументы ?

[Sinoid]

vpb в сообщении #1511474 писал(а):

понятно ли, что если у функции переставить аргументы, а потом умножить на число, получится та же функция, которая получилась бы, если бы исходную сначала умножили на число, а потом переставили аргументы ?

Это доказывается без труда.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1511611 писал(а):

Это доказывается без труда.

Вот и хорошо. Теперь надо только заметить, что (а) то же самое верно для перестановок аргументов в функциях не только от двух, а и от произвольного числа переменных, и (б) функция, о которой идет речь в задаче, совпадает с определителем Вандермонда, либо получается из него умножением на $-1$. А для Вандермонда утверждение вы уже доказали.

Только вот беспокоит вот что ... похоже, в этом месте в Кострикине ошибка. В том смысле, что правильное определение действия перестановок на функции должно быть

$$ (\pi f)(x_1,\ldots,x_n)=f(x_{\pi^{-1}1},\ldots,x_{\pi^{-1}n}), $$

а не

$$ (\pi f)(x_1,\ldots,x_n)=f(x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}), $$

чтобы соотношение $(\alpha\beta)(f)=\alpha(\beta(f))$ было верным. Надо поразбираться. В старом издании с $\pi^{-1}$. (И не только в старом издании так, а вроде как вообще такое правило действия в науке.)
Может, дело в том, что Алексей Иванович, когда готовил переработанное издание, был уже немолод, ну и сделал там ляпов некоторое количество. Заскок, так сказать, случился. А может, это у меня заскок. В общем, разобраться надо.

[vpb]

Разобрался. Нет, ошибки нет. Это в первом издании в этом месте был ляпсус. Такое уж это место, к путанице располагающее.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1511694 писал(а):

(б) функция, о которой идет речь в задаче, совпадает с определителем Вандермонда, либо получается из него умножением на $-1$.

А, выносим, если нужно, из каких-то скобок -1 и эти -1 перемножаем?

[vpb]

Sinoid в сообщении #1511716 писал(а):

А, выносим, если нужно, из каких-то скобок -1 и эти -1 перемножаем?

Разумеется.

[Sinoid]

Спасибо. Пойду дальше.

[Sinoid]

Гляньте, пожалуйста, как написана задача 3.10:

Мне кажется или нет, что вместо $q$ и $q+1$ должно быть соответственно написано $a_q$ и $a_{q+1}$? Хотя, утверждение задачи верно и при текущей формулировке, но мне кажется, что задача о другом. Или об этом?

[vpb]

Sinoid в сообщении #1512037 писал(а):

Или об этом?

И так, и так утверждение верно. Авторы имели в виду именно то, что написали (с $a_q$, $a_{q+1}$ вообще тривиально, доказывать почти что нечего. Впрочем, и то, что написано, тоже несложно).

[Sinoid]

Ясно. Я почему за индексы-то уцепился? Есть же теорема о том, что все перестановки $n$ элементов можно расположить так, что любые 2 соседние будут различаться лишь одной транспозицией. Вот я и думал, что эта задача - мостик, чтобы доказать, что все такие перестановки можно расположить так, что любые 2 соседние будут различаться лишь одной транспозицией соседних элементов, но прошлой ночью я вспомнил, что мне попадалось вот это:

Короче, к моменту моего подхода к компу я допускал, что задача было именно о том, про что и написано. Да, плюс ваш ответ окончательно убедил меня в том, что нужно доказывать утверждение задачи. О, а когда я это доказал, это дало мне подсказку для решения следующей задачи:
Пусть задана перестановка

$$\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n\\ a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \end{pmatrix}$$

, причем число инверсий в нижней строке равно $k$. Доказать, что:
а) $\sigma$ является произведением $k$ транспозиций вида $(q,\, q+1)$‚ где $1\leqslant q\leqslant n-1$
Как видно по приведенному скрину, в книге, которую я частично осилил, доказывается, что система транспозиций $(q,\,q+1)$, где $q=1,\,2,\ldots,\,n$, является системой образующих для элементов $S_n$. Однако приведенное там доказательство не позволяет даже близко предположить, что может существовать для данной перестановки разложение в произведение такого количества транспозиций. Нужно еще покопаться. Спасибо за помощь.

[Sinoid]

Думаю над задачей 3.22:
Пусть $d=d(\sigma)$ — декремент перестановки $\sigma$. Доказать, что:
а) $\sgn\sigma=(-l)^d$;
б) перестановку $\sigma$ можно представить в виде произведения $d$ транспозиций;
в) перестановку а нельзя представить в виде произведения менее, чем $d$ транспозиций.
Буква б) практически решена в курсе высшей алгебры Куроша, там совсем чуток подписать и все. А вот буква в)... Я решил сначала взять обыкновенный цикл длины $n$:

$$\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3} & \ldots & a_{n-1} & a_{n}\\ a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} & a_{1} \end{pmatrix}$$

его декремент равен $n-1$. Значит, если верить задаче, минимальное количество транспозиций, необходимое для превращения этой перестановки в тождественную, есть столько же. Посмотрел я на этот цикл, на первый взгляд меня все устроило: каждый из $n$ элементов стоит не на своем месте, для того, чтобы каждый из $n$ элементов поставить на свое место, нужна как минимум одна транспозиция. Итого, чтобы поставить все $n$ элементов на свои места, нужно, как минимум, $n-1$ транспозиций: после того, как какие-нибудь $n-1$ элементов встают на место, оставшийся, $n-$ый, встает на место автоматически и все было нормально, жизнь, как мне казалось, у меня удалась , ровно до тех пор, пока мне не пришла в голову такая перестановка $\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3} & \ldots & a_{n-1} & a_{n}\\ a_{n} & a_{n-1} & \ldots & a_{2} & a_{1} \end{pmatrix}$ при четном $n$. И что? Ее можно привести всего за $\dfrac{n}{2}$ транспозиций, что, вообще говоря, значительно меньше $n-1$, так что все мои "рассуждения" рассыпаются в прах.

[Sinoid]

При решении возник 1 момент. Хочу посоветоваться, правильно или нет думаю. Вот пусть дан правильный $2m$-угольник. Тогда подстановку $\setcounter{MaxMatrixCols}{12}\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & m-1 & m & m+1 & m+2 & \ldots & 2m-2 & 2m-1 & 2m\\ 2m & 2m-1 & \ldots & m+2 & m+1 & m & m-1 & \ldots & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ можно трактовать как симметрию этого угольника относительно прямой‚ проходящей через середины сторон‚ соединяющих вершины 1 с $2m$ и $m$ с $m+1$. Это понятно. А можно ли ту же подстановку рассматривать как симметрию относительно прямой, проходящей через середины отрезков, соединяющих вершины $t$ с $2m+1-t$ и $t+m$ с $m+1-t$ при произвольном $1\leqslant t\leqslant m$? У меня получается, что да, можно.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1514439 писал(а):

А можно ли ту же подстановку рассматривать как симметрию относительно прямой, проходящей через середины отрезков, соединяющих вершины $t$ с $2m+1-t$ и $t+m$ с $m+1-t$ при произвольном $1\leqslant t\leqslant m$? У меня получается, что да, можно.

Да, конечно. Середины всех отрезков, $l$-ю вершину с $(2m+1-l)$-й, лежат на одной прямой. Это совершенно очевидно, из картинки.

Sinoid в сообщении #1513773 писал(а):

Думаю над задачей 3.22:

(Если еще вдруг не решили) Сначала подумайте, почему произведение двух транспозиций не может быть 4-циклом, потом --- почему поизведение трех (или двух) 5-циклом, а потом общий случай. Вообще, если в задаче встречается какой-то натуральный параметр, то сначала почти всегда полезно решить задачу для маленьких его значений, это наводит на мысли (а иногда напротив, для очень больших проще).