Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

2004.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1517346 писал(а):

2004.

На какой странице? У меня ctrl-F вообще не находит слово "опечатка".

[Sinoid]

Это написано во втором томе, в предисловии про задачник:

Но, как видно, и теоретическую часть курса не миновала сия чаша.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1517393 писал(а):

Это написано во втором томе, в предисловии про задачник:

Во 2-м томе (издание 2000 года) тоже ничего нет про опечатки. Опечатки в задачнике мы с вами не обсуждали. Еще раз: пользуйтесь изданием 1977 года, там замеченных опечаток нет.

[Sinoid]

Дочитал до стр. 93, споткнулся на теореме 6:

это же слагаемое +1 добавлено на нулевую матрицу?

[nnosipov]

Да.

[Sinoid]

Спасибо. Читаю дальше.

[Sinoid]

nnosipov в сообщении #1517407 писал(а):

Еще раз: пользуйтесь изданием 1977 года

Скажите, пожалуйста, это же однотомное издание?

[vpb]

Sinoid в сообщении #1518542 писал(а):

Скажите, пожалуйста, это же однотомное издание?

Да. Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным. В трехтомном есть разные вещи, которых нет в однотомном. С другой стороны, в трехтомном больше опечаток, а также, возможно, (но не факт ! ) некоторые "улучшения" по сравнению с однотомным на самом деле таковыми не являются. Впрочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

[nnosipov]

vpb в сообщении #1518543 писал(а):

Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным.

Я, собственно, тоже. Почему-то мне казалось, что однотомное издание содержит весь материал, включая и линейную алгебру. Но на самом деле нет. Так что трехтомное издание тоже необходимо. Хотя лично мне линейную алгебру лучше бы было изучать по книжке Кострикина и Манина "Линейная алгебра и геометрия". (Впрочем, есть еще и "Лекции по линейной алгебре" Гельфанда, но это отдельный разговор.)

Вообще, наличие такого количества опечаток в трехтомнике не радует. Кажется, он еще не переиздавался.

[Sinoid]

nnosipov в сообщении #1518562 писал(а):

Почему-то мне казалось, что однотомное издание содержит весь материал, включая и линейную алгебру. Но на самом деле нет.

Нет, конечно, нет. Это видно даже мне. Именно поэтому я изучать буду по трехтомнику, а сверяться с однотомником.

vpb в сообщении #1518543 писал(а):

прочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

Да, я тоже так думаю. Спасибо за ответы.

[Sinoid]

Помогите, пжл, с задачей 7.2, ж). Нужно определить ранг матрицы $\setcounter{MaxMatrixCols}{40}\begin{pmatrix}\lambda\ & 1 & 2 & 3 & \ldots\ & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 1 & \lambda\ & 2 & 3 & \ldots\ & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 1 & 2 & \lambda\ & 3 & \ldots\ & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & \lambda\ & \ldots\ & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ \hdotsfor{9}\\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots\ & \lambda\ & n-2 & n-1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots\ & n-2 & \lambda\ & n-1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots\ & n-2 & n-1 & \lambda\ & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots\ & n-2 & n-1 & n & 1 \end{pmatrix}$ у меня не получаются случаи $\lambda=1,\,2,\ldots,n$. А именно, пусть $t$ - любое число из чисел $\lambda=1,\,2,\ldots,\,n$. Тогда матрица примет вид: $\begin{array}{c|cccccccccccccccc} \phantom{k} & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & n+1\\ \cline{1-17}1 & t & 1 & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 2 & 1 & t & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & t & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 4 & 1 & 2 & 3 & t & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ \vdots & \hdotsfor{16}\\ t-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t+2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ \vdots & \hdotsfor{16}\\ n-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & t & n-2 & n-1 & 1\\ n-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & t & n-1 & 1\\ n & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & t & 1\\ n+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & 1 \end{array}$.
Я оставлю эту матрицу, не заключая в скобки. При этом первый столбец и первая строка - это номера строк и столбцов соответственно. И поэтому они отделены от собственно матрицы линиями. Как видно, у этой матрицы $t$-я и $t+1$-я строки совпадают. Поэтому задача сводится к вычислению ранга следующей матрицы: $A=\begin{array}{c|cccccccccccccccc} \phantom{k} & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & n+1\\ \cline{1-17}1 & t & 1 & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 2 & 1 & t & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & t & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ 4 & 1 & 2 & 3 & t & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ \vdots & \hdotsfor{16}\\ t-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ t+2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\ \vdots & \hdotsfor{16}\\ n-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & t & n-2 & n-1 & 1\\ n-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & t & n-1 & 1\\ n & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & t & 1\\ n+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & 1 \end{array}$.
В нумерации строк этой матрицы я специально перескочил с $t$ на $t+2$ для большей наглядности. В этой системе $n+1-1=n$ строка и $n+1$ столбец. Пусть $A_i$ обозначает $i$-ю строку последней матрицы $i=1,\,2,\,3,\,,4\ldots,\, t-2,\, t-1,\, t,\, t+2,\ldots,\, n-2,\, n,\, n+1$. Далее, пусть $x_{1},\, x_{2},\, x_{3},\, x_{4},\ldots,\, x_{t-2},\, x_{t-1},\, x_{t},\, x_{t+2},\, x_{n-3},\, x_{n-2},\, x_{n-1},\, x_{n},\, x_{n+1}$ - такие числа. что $x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4}+\ldots+x_{t-2}A_{t-2}+x_{t-1}A_{t-1}+x_{t}A_{t}+x_{t+2}A_{t+2}+\ldots+x_{n-3}A_{n-3}+x_{n-2}A_{n-2}+x_{n-1}A_{n-1}+x_{n}A_{n}+x_{n+1}A_{n+1}=0$.
Это равенство равносильно следующей системе уравнений:
$\setcounter{MaxMatrixCols}{60}\left\{ \begin{matrix}tx_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & +\ldots+ & x_{t-2} & + & x_{t-1} & + & x_{t} & + & x_{t+2} & +\ldots+ & x_{n-3} & + & x_{n-2} & + & x_{n-1} & + & x_{n} & + & x_{n+1} & = & 0\\ x_{1} & + & tx_{2} & + & 2x_{3} & + & 2x_{4} & +\ldots+ & 2x_{t-2} & + & 2x_{t-1} & + & 2x_{t} & + & 2x_{t+2} & +\ldots+ & 2x_{n-3} & + & 2x_{n-2} & + & 2x_{n-1} & + & 2x_{n} & + & 2x_{n+1} & = & 0\\ 2x_{1} & + & 2x_{2} & + & tx_{3} & + & 3x_{4} & +\ldots+ & 3x_{t-2} & + & 3x_{t-1} & + & 3x_{t} & + & 3x_{t+2} & +\ldots+ & 3x_{n-3} & + & 3x_{n-2} & + & 3x_{n-1} & + & 3x_{n} & + & 3x_{n+1} & = & 0\\ 3x_{1} & + & 3x_{2} & + & 3x_{3} & + & tx_{4} & +\ldots+ & 4x_{t-2} & + & 4x_{t-1} & + & 4x_{t} & + & 4x_{t+2} & +\ldots+ & 4x_{n-3} & + & 4x_{n-2} & + & 4x_{n-1} & + & 4x_{n} & + & 4x_{n+1} & = & 0\\ \hdotsfor{27}\\ (t-3)x_{1} & + & (t-3)x_{2} & + & (t-3)x_{3} & + & (t-3)x_{4} & +\ldots+ & tx_{t-2} & + & (t-2)x_{t-1} & + & (t-2)x_{t} & + & (t-2)x_{t+2} & +\ldots+ & (t-2)x_{n-3} & + & (t-2)x_{n-2} & + & (t-2)x_{n-1} & + & (t-2)x_{n} & + & (t-2)x_{n+1} & = & 0\\ (t-2)x_{1} & + & (t-2)x_{2} & + & (t-2)x_{3} & + & (t-2)x_{4} & +\ldots+ & (t-2)x_{t-2} & + & tx_{t-1} & + & (t-1)x_{t} & + & (t-1)x_{t+2} & +\ldots+ & (t-1)x_{n-3} & + & (t-1)x_{n-2} & + & (t-1)x_{n-1} & + & (t-1)x_{n} & + & (t-1)x_{n+1} & = & 0\\ (t-1)x_{1} & + & (t-1)x_{2} & + & (t-1)x_{3} & + & (t-1)x_{4} & +\ldots+ & (t-1)x_{t-2} & + & (t-1)x_{t-1} & + & tx_{t} & + & tx_{t+2} & +\ldots+ & tx_{n-3} & + & tx_{n-2} & + & tx_{n-1} & + & tx_{n} & + & tx_{n+1} & = & 0\\ tx_{1} & + & tx_{2} & + & tx_{3} & + & tx_{4} & +\ldots+ & tx_{t-2} & + & tx_{t-1} & + & tx_{t} & + & (t+1)x_{t+2} & +\ldots+ & (t+1)x_{n-3} & + & (t+1)x_{n-2} & + & (t+1)x_{n-1} & + & (t+1)x_{n} & + & (t+1)x_{n+1} & = & 0\\ (t+1)x_{1} & + & (t+1)x_{2} & + & (t+1)x_{3} & + & (t+1)x_{4} & +\ldots+ & (t+1)x_{t-2} & + & (t+1)x_{t-1} & + & (t+1)x_{t} & + & tx_{t+2} & +\ldots+ & (t+2)x_{n-3} & + & (t+2)x_{n-2} & + & (t+2)x_{n-1} & + & (t+2)x_{n} & + & (t+2)x_{n+1} & = & 0\\ \hdotsfor{27}\\ (n-4)x_{1} & + & (n-4)x_{2} & + & (n-4)x_{3} & + & (n-4)x_{4} & +\ldots+ & (n-4)x_{t-2} & + & (n-4)x_{t-1} & + & (n-4)x_{t} & + & (n-4)x_{t+2} & +\ldots+ & tx_{n-3} & + & (n-3)x_{n-2} & + & (n-3)x_{n-1} & + & (n-3)x_{n} & + & (n-3)x_{n+1} & = & 0\\ (n-3)x_{1} & + & (n-3)x_{2} & + & (n-3)x_{3} & + & (n-3)x_{4} & +\ldots+ & (n-3)x_{t-2} & + & (n-3)x_{t-1} & + & (n-3)x_{t} & + & (n-3)x_{t+2} & +\ldots+ & (n-3)x_{n-3} & + & tx_{n-2} & + & (n-2)x_{n-1} & + & (n-2)x_{n} & + & (n-2)x_{n+1} & = & 0\\ (n-2)x_{1} & + & (n-2)x_{2} & + & (n-2)x_{3} & + & (n-2)x_{4} & +\ldots+ & (n-2)x_{t-2} & + & (n-2)x_{t-1} & + & (n-2)x_{t} & + & (n-2)x_{t+2} & +\ldots+ & (n-2)x_{n-3} & + & (n-2)x_{n-2} & + & tx_{n-1} & + & (n-1)x_{n} & + & (n-1)x_{n+1} & = & 0\\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & +\ldots+ & x_{t-2} & + & x_{t-1} & + & x_{t} & + & x_{t+2} & +\ldots+ & x_{n-3} & + & x_{n-2} & + & x_{n-1} & + & x_{n} & + & x_{n+1} & = & 0 \end{matrix}\right.$.

[Sinoid]

Решил я эту задачу. Оказалось, действительно, я ее расписал неправильно, потому что не было подходящей прогры для этого. А потом друг по инету, программист, не математик, надыбал программу, такую, как нужно мне, и всё получилось. Спасибо за попытки помочь.

[Sinoid]

Теперь я думаю над задачей 6.16:
Доказать, что если система целоисчисленных векторов линейна независима над полем вычетов по модулю $p$ для некоторого простого числа $p$, то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел.
Что я думаю. Давайте для простоты иллюстрации возьмём 2 двумерных вектора: $a_{1}=(a_{11},\, a_{12})$ и $a_{2}=(a_{21},\, a_{22})$. Предположим, что некоторая линейная комбинация этих векторов равна 0: $k_{1}(a_{11},\, a_{12})+k_{2}(a_{21},\, a_{22})=0$, где не все $k$ равны 0. С другой стороны, эти $k$ можно считать/сделать взаимно простыми. Переходя в этом равенстве к сравнению по модулю $p$, получим: $k_{1}(a_{11},\, a_{12})+k_{2}(a_{21},\, a_{22})\equiv0(\mod p)$. Откуда, в силу линейной независимости над полем вычетов по модулю $p$, получаем: $k_{1}=l_{1}p$, $k_{2}=l_{2}p$, и, опять же, повторюсь, не все $k$ равны 0. Получается, пришли к противоречию с простотой в совокупности чисел $k$. Но что-то мне не нравится в этом доказательстве.

-- 20.08.2021, 22:03 --

Если, например, будет $k_1=0$. И что? Ну, и сокращай себе на здоровье $k_1$ на какой угодно простой делитель числа $k_2$.

[lel0lel]

Если определитель не равен нулю по простому модулю, то он ...