2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.05.2021, 14:37 


03/06/12
2742
2004.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.05.2021, 14:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Sinoid в сообщении #1517346 писал(а):
2004.
На какой странице? У меня ctrl-F вообще не находит слово "опечатка".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.05.2021, 21:38 


03/06/12
2742
Это написано во втором томе, в предисловии про задачник:
Изображение
Но, как видно, и теоретическую часть курса не миновала сия чаша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение07.05.2021, 23:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Sinoid в сообщении #1517393 писал(а):
Это написано во втором томе, в предисловии про задачник:
Во 2-м томе (издание 2000 года) тоже ничего нет про опечатки. Опечатки в задачнике мы с вами не обсуждали. Еще раз: пользуйтесь изданием 1977 года, там замеченных опечаток нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.05.2021, 21:33 


03/06/12
2742
Дочитал до стр. 93, споткнулся на теореме 6:
Изображение
это же слагаемое +1 добавлено на нулевую матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.05.2021, 21:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.05.2021, 21:42 


03/06/12
2742
Спасибо. Читаю дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.05.2021, 16:04 


03/06/12
2742
nnosipov в сообщении #1517407 писал(а):
Еще раз: пользуйтесь изданием 1977 года

Скажите, пожалуйста, это же однотомное издание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.05.2021, 16:53 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Sinoid в сообщении #1518542 писал(а):
Скажите, пожалуйста, это же однотомное издание?
Да. Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным. В трехтомном есть разные вещи, которых нет в однотомном. С другой стороны, в трехтомном больше опечаток, а также, возможно, (но не факт ! ) некоторые "улучшения" по сравнению с однотомным на самом деле таковыми не являются. Впрочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.05.2021, 19:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vpb в сообщении #1518543 писал(а):
Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным.
Я, собственно, тоже. Почему-то мне казалось, что однотомное издание содержит весь материал, включая и линейную алгебру. Но на самом деле нет. Так что трехтомное издание тоже необходимо. Хотя лично мне линейную алгебру лучше бы было изучать по книжке Кострикина и Манина "Линейная алгебра и геометрия". (Впрочем, есть еще и "Лекции по линейной алгебре" Гельфанда, но это отдельный разговор.)

Вообще, наличие такого количества опечаток в трехтомнике не радует. Кажется, он еще не переиздавался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение14.05.2021, 19:47 


03/06/12
2742
nnosipov в сообщении #1518562 писал(а):
Почему-то мне казалось, что однотомное издание содержит весь материал, включая и линейную алгебру. Но на самом деле нет.

Нет, конечно, нет. Это видно даже мне. Именно поэтому я изучать буду по трехтомнику, а сверяться с однотомником.
vpb в сообщении #1518543 писал(а):
прочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

Да, я тоже так думаю. Спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение05.06.2021, 11:25 


03/06/12
2742
Помогите, пжл, с задачей 7.2, ж). Нужно определить ранг матрицы $\setcounter{MaxMatrixCols}{40}\begin{pmatrix}\lambda\  &  1  &  2  &  3  &  \ldots\  &  n-3  &  n-2  &  n-1  &  1\\
1  &  \lambda\  &  2  &  3  &  \ldots\  &  n-3  &  n-2  &  n-1  &  1\\
1  &  2  &  \lambda\  &  3  &  \ldots\  &  n-3  &  n-2  &  n-1  &  1\\
1  &  2  &  3  &  \lambda\  &  \ldots\  &  n-3  &  n-2  &  n-1  &  1\\
\hdotsfor{9}\\
1  &  2  &  3  &  4  &  \ldots\  &  \lambda\  &  n-2  &  n-1  &  1\\
1  &  2  &  3  &  4  &  \ldots\  &  n-2  &  \lambda\  &  n-1  &  1\\
1  &  2  &  3  &  4  &  \ldots\  &  n-2  &  n-1  &  \lambda\  &  1\\
1  &  2  &  3  &  4  &  \ldots\  &  n-2  &  n-1  &  n  &  1 
\end{pmatrix}$ у меня не получаются случаи $\lambda=1,\,2,\ldots,n$. А именно, пусть $t$ - любое число из чисел $\lambda=1,\,2,\ldots,\,n$. Тогда матрица примет вид: $\begin{array}{c|cccccccccccccccc}
\phantom{k} & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & n+1\\
\cline{1-17}1 & t & 1 & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
2 & 1 & t & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
3 & 1 & 2 & t & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
4 & 1 & 2 & 3 & t & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
\vdots & \hdotsfor{16}\\
t-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t+2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
\vdots & \hdotsfor{16}\\
n-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & t & n-2 & n-1 & 1\\
n-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & t & n-1 & 1\\
n & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & t & 1\\
n+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & 1
\end{array}$.
Я оставлю эту матрицу, не заключая в скобки. При этом первый столбец и первая строка - это номера строк и столбцов соответственно. И поэтому они отделены от собственно матрицы линиями. Как видно, у этой матрицы $t$-я и $t+1$-я строки совпадают. Поэтому задача сводится к вычислению ранга следующей матрицы: $A=\begin{array}{c|cccccccccccccccc}
\phantom{k} & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & n+1\\
\cline{1-17}1 & t & 1 & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
2 & 1 & t & 2 & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
3 & 1 & 2 & t & 3 & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
4 & 1 & 2 & 3 & t & \ldots & t-3 & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
\vdots & \hdotsfor{16}\\
t-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t & t-2 & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t & t-1 & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t & t+1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
t+2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 & n-1 & 1\\
\vdots & \hdotsfor{16}\\
n-2 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & t & n-2 & n-1 & 1\\
n-1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & t & n-1 & 1\\
n & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & t & 1\\
n+1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & t-2 & t-1 & t & t+1 & t+2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 & n & 1
\end{array}$.
В нумерации строк этой матрицы я специально перескочил с $t$ на $t+2$ для большей наглядности. В этой системе $n+1-1=n$ строка и $n+1$ столбец. Пусть $A_i$ обозначает $i$-ю строку последней матрицы $i=1,\,2,\,3,\,,4\ldots,\, t-2,\, t-1,\, t,\, t+2,\ldots,\, n-2,\, n,\, n+1$. Далее, пусть $x_{1},\, x_{2},\, x_{3},\, x_{4},\ldots,\, x_{t-2},\, x_{t-1},\, x_{t},\, x_{t+2},\, x_{n-3},\, x_{n-2},\, x_{n-1},\, x_{n},\, x_{n+1}$ - такие числа. что $x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4}+\ldots+x_{t-2}A_{t-2}+x_{t-1}A_{t-1}+x_{t}A_{t}+x_{t+2}A_{t+2}+\ldots+x_{n-3}A_{n-3}+x_{n-2}A_{n-2}+x_{n-1}A_{n-1}+x_{n}A_{n}+x_{n+1}A_{n+1}=0$.
Это равенство равносильно следующей системе уравнений:
$\setcounter{MaxMatrixCols}{60}\left\{ \begin{matrix}tx_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & +\ldots+ & x_{t-2} & + & x_{t-1} & + & x_{t} & + & x_{t+2} & +\ldots+ & x_{n-3} & + & x_{n-2} & + & x_{n-1} & + & x_{n} & + & x_{n+1} & = & 0\\
x_{1} & + & tx_{2} & + & 2x_{3} & + & 2x_{4} & +\ldots+ & 2x_{t-2} & + & 2x_{t-1} & + & 2x_{t} & + & 2x_{t+2} & +\ldots+ & 2x_{n-3} & + & 2x_{n-2} & + & 2x_{n-1} & + & 2x_{n} & + & 2x_{n+1} & = & 0\\
2x_{1} & + & 2x_{2} & + & tx_{3} & + & 3x_{4} & +\ldots+ & 3x_{t-2} & + & 3x_{t-1} & + & 3x_{t} & + & 3x_{t+2} & +\ldots+ & 3x_{n-3} & + & 3x_{n-2} & + & 3x_{n-1} & + & 3x_{n} & + & 3x_{n+1} & = & 0\\
3x_{1} & + & 3x_{2} & + & 3x_{3} & + & tx_{4} & +\ldots+ & 4x_{t-2} & + & 4x_{t-1} & + & 4x_{t} & + & 4x_{t+2} & +\ldots+ & 4x_{n-3} & + & 4x_{n-2} & + & 4x_{n-1} & + & 4x_{n} & + & 4x_{n+1} & = & 0\\
\hdotsfor{27}\\
(t-3)x_{1} & + & (t-3)x_{2} & + & (t-3)x_{3} & + & (t-3)x_{4} & +\ldots+ & tx_{t-2} & + & (t-2)x_{t-1} & + & (t-2)x_{t} & + & (t-2)x_{t+2} & +\ldots+ & (t-2)x_{n-3} & + & (t-2)x_{n-2} & + & (t-2)x_{n-1} & + & (t-2)x_{n} & + & (t-2)x_{n+1} & = & 0\\
(t-2)x_{1} & + & (t-2)x_{2} & + & (t-2)x_{3} & + & (t-2)x_{4} & +\ldots+ & (t-2)x_{t-2} & + & tx_{t-1} & + & (t-1)x_{t} & + & (t-1)x_{t+2} & +\ldots+ & (t-1)x_{n-3} & + & (t-1)x_{n-2} & + & (t-1)x_{n-1} & + & (t-1)x_{n} & + & (t-1)x_{n+1} & = & 0\\
(t-1)x_{1} & + & (t-1)x_{2} & + & (t-1)x_{3} & + & (t-1)x_{4} & +\ldots+ & (t-1)x_{t-2} & + & (t-1)x_{t-1} & + & tx_{t} & + & tx_{t+2} & +\ldots+ & tx_{n-3} & + & tx_{n-2} & + & tx_{n-1} & + & tx_{n} & + & tx_{n+1} & = & 0\\
tx_{1} & + & tx_{2} & + & tx_{3} & + & tx_{4} & +\ldots+ & tx_{t-2} & + & tx_{t-1} & + & tx_{t} & + & (t+1)x_{t+2} & +\ldots+ & (t+1)x_{n-3} & + & (t+1)x_{n-2} & + & (t+1)x_{n-1} & + & (t+1)x_{n} & + & (t+1)x_{n+1} & = & 0\\
(t+1)x_{1} & + & (t+1)x_{2} & + & (t+1)x_{3} & + & (t+1)x_{4} & +\ldots+ & (t+1)x_{t-2} & + & (t+1)x_{t-1} & + & (t+1)x_{t} & + & tx_{t+2} & +\ldots+ & (t+2)x_{n-3} & + & (t+2)x_{n-2} & + & (t+2)x_{n-1} & + & (t+2)x_{n} & + & (t+2)x_{n+1} & = & 0\\
\hdotsfor{27}\\
(n-4)x_{1} & + & (n-4)x_{2} & + & (n-4)x_{3} & + & (n-4)x_{4} & +\ldots+ & (n-4)x_{t-2} & + & (n-4)x_{t-1} & + & (n-4)x_{t} & + & (n-4)x_{t+2} & +\ldots+ & tx_{n-3} & + & (n-3)x_{n-2} & + & (n-3)x_{n-1} & + & (n-3)x_{n} & + & (n-3)x_{n+1} & = & 0\\
(n-3)x_{1} & + & (n-3)x_{2} & + & (n-3)x_{3} & + & (n-3)x_{4} & +\ldots+ & (n-3)x_{t-2} & + & (n-3)x_{t-1} & + & (n-3)x_{t} & + & (n-3)x_{t+2} & +\ldots+ & (n-3)x_{n-3} & + & tx_{n-2} & + & (n-2)x_{n-1} & + & (n-2)x_{n} & + & (n-2)x_{n+1} & = & 0\\
(n-2)x_{1} & + & (n-2)x_{2} & + & (n-2)x_{3} & + & (n-2)x_{4} & +\ldots+ & (n-2)x_{t-2} & + & (n-2)x_{t-1} & + & (n-2)x_{t} & + & (n-2)x_{t+2} & +\ldots+ & (n-2)x_{n-3} & + & (n-2)x_{n-2} & + & tx_{n-1} & + & (n-1)x_{n} & + & (n-1)x_{n+1} & = & 0\\
x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & +\ldots+ & x_{t-2} & + & x_{t-1} & + & x_{t} & + & x_{t+2} & +\ldots+ & x_{n-3} & + & x_{n-2} & + & x_{n-1} & + & x_{n} & + & x_{n+1} & = & 0
\end{matrix}\right.$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.08.2021, 19:46 


03/06/12
2742
Решил я эту задачу. Оказалось, действительно, я ее расписал неправильно, потому что не было подходящей прогры для этого. А потом друг по инету, программист, не математик, надыбал программу, такую, как нужно мне, и всё получилось. Спасибо за попытки помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.08.2021, 20:50 


03/06/12
2742
Теперь я думаю над задачей 6.16:
Доказать, что если система целоисчисленных векторов линейна независима над полем вычетов по модулю $p$ для некоторого простого числа $p$, то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел.
Что я думаю. Давайте для простоты иллюстрации возьмём 2 двумерных вектора: $a_{1}=(a_{11},\, a_{12})$ и $a_{2}=(a_{21},\, a_{22})$. Предположим, что некоторая линейная комбинация этих векторов равна 0: $k_{1}(a_{11},\, a_{12})+k_{2}(a_{21},\, a_{22})=0$, где не все $k$ равны 0. С другой стороны, эти $k$ можно считать/сделать взаимно простыми. Переходя в этом равенстве к сравнению по модулю $p$, получим: $k_{1}(a_{11},\, a_{12})+k_{2}(a_{21},\, a_{22})\equiv0(\mod p)$. Откуда, в силу линейной независимости над полем вычетов по модулю $p$, получаем: $k_{1}=l_{1}p$, $k_{2}=l_{2}p$, и, опять же, повторюсь, не все $k$ равны 0. Получается, пришли к противоречию с простотой в совокупности чисел $k$. Но что-то мне не нравится в этом доказательстве.

-- 20.08.2021, 22:03 --

Если, например, будет $k_1=0$. И что? Ну, и сокращай себе на здоровье $k_1$ на какой угодно простой делитель числа $k_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.08.2021, 21:34 


20/04/10
1776
Если определитель не равен нулю по простому модулю, то он ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group