Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.
...
На интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ расстояние между вычетами меньше $2p_r$ (по моей гипотезе) и поэтому покрывать расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ не может.

Так может или не может? Равно или меньше? Что-то одно другому противоречит.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1515091 писал(а):

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.
...
На интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ расстояние между вычетами меньше $2p_r$ (по моей гипотезе) и поэтому покрывать расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ не может.

Так может или не может? Равно или меньше? Что-то одно другому противоречит.

Согласен, надо уточнить. Во втором случае под вычетами понимаются соседние простые числа, полученные на $r$ - ом шаге решета Эратосфена после удаления составных вычетов $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$.

[Dmitriy40]

vicvolf
Ладно, второй вопрос.

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.

ОК, расстояние между этими вычетами $2p_r$, но ведь это не расстояние между простыми! Это расстояние между очередными вычеркнутыми составными! Что вообще говоря банальность и доказывается в пару строк (показать что все $p_r p_{r+\ldots} \ge p_r p_{r+1}$ и они же все не меньше $p_{r+1}^2$). Ну и какая связь этого интервала между составными с интервалами между простыми? Или никакой и вы лишь считаете интервалы между очередными вычёркиваемыми числами? Тогда надо бы так и говорить.
Ну или приведите пример когда интервал $(p_r^2;p_r^2+2p_r)$ не содержит простых? Я таких интервалов до $p_r<10^9$ не нашёл.

Ну и выражение "может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r p_{r+1}$" очевидно неверно, там будут и чётные числа, т.е. вычеты $2$. Надо наверное добавить "не более чем".

-- 20.04.2021, 18:09 --

Третье.

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

При переходе с $r-1$ на $r$ шаг решета Эратосфена на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ удаляются составные вычеты: $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1},...,p_r \cdot p_{r+k} < p^2_{r+1}$. Поэтому максимальные расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся на местах этих вычетов.

И это тоже неверно.
Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.
И таких контрпримеров почти вся посчитанная мною таблица в соседней теме. Например интервал $(599^2;601^2)$ (причём из простых близнецов! что одновременно и контрпример другому вашему утверждению) с максимальным расстоянием $d=96$ между $(360653;360749)$ и максимальным вычетом в этом интервале всего лишь $373$.
Так что после удаления вычетов $p_r$ остаются числа конечно не делящиеся на простые $\le p_r$, но максимальный интервал между простыми будет совсем не обязательно именно на этих удалённых вычетах.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1515161 писал(а):

Ну или приведите пример когда интервал $(p_r^2;p_r^2+2p_r)$ не содержит простых? Я таких интервалов до $p_r<10^9$ не нашёл.

Их и нет. Если бы был такой интервал, где нет простых чисел, то расстояние между соседними простыми было бы больше $2p_r$, что противоречит гипотезе Лежандра.

Цитата:

Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.

Расстояние $d=36$ содержит ПСВ$73\#$ на данном месте $(9551;9587)$. Интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ при $p_r=97$ естественно содержит это расстояние между простыми числами, но оно получается на более ранних шагах решета Эратосфена. Составные вычеты: $9409,9797,...$ на интервале $(97^2=9409,101^2=10201)$ при $p_r=97$ естественно имеют делителем $97$ в отличии от ПСВ$73\#$ и расстояния между простыми после удаления этих составных вычетов будут иметь наибольшим делителем $97$, но не обязательно среди них будет наибольшее на интервале $(9409,10201)$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

Их и нет.

Тогда говоря о расстояниях в $2p_r$ то между составными (вычетами), то между простыми, вы запутываете и себя и остальных. И подрываете веру и в остальные ваши утверждения, ведь возможно в них тоже речь про вычеты, а не про простые.

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

Расстояние $d=36$ содержит ПСВ$73\#$ на данном месте $(9551;9587)$.

Ну и что? Вы же другое утверждали:

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

Поэтому максимальные расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся на местах этих вычетов.

А я вам говорю, что нет, не на местах этих вычетов. Хотя бы потому что $73^2<9551$ и $79^2<9587$, т.е. ПСВ73# тут вообще ни при чём и максимальный интервал $d=36$ для $p_r=97$ находится вовсе не на месте вычета $p_r=97$ как вы утверждаете. Про $73$ и ПСВ73# в вашем утверждении слов нет! Потому что максимальный интервал между $(73^2;79^2)$ никак не превышает $d=34$ и вообще равен $d=32$, не $36$! И какие там ещё ПСВ находятся на этом месте не колышит, их вообще много разных, вы же чётко сказали, "максимальный интервал в диапазоне $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ на месте вычета $p_r$" — однако это не так!
Более того, максимальный интервал $d=32$ в интервале $(73^2;79^2)$ тоже находится вовсе не на месте вычета $p_r=73$! А на месте вычета $p_{r-1}=71$. Так что и про ПСВ73# вы тоже обманываете лукавите.

Короче, ваше утверждение в заявленной формулировке либо просто ложно (потому что есть предъявленные мной контрпримеры), либо выполняется лишь очень иногда (а не всегда как вы заявили, например для $p_r<2^{16}$ из 6542 простых выполняется лишь для 22 простых! последние два из которых $p_r=\{18899;40529\}$), либо верно лишь для всего интервала ПСВ, а не для выделенного интервала. Выбирайте сами что вам больше по душе.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1515212 писал(а):

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

Их и нет.

Тогда говоря о расстояниях в $2p_r$ то между составными (вычетами), то между простыми, вы запутываете и себя и остальных. И подрываете веру и в остальные ваши утверждения, ведь возможно в них тоже речь про вычеты, а не про простые.

Я пишу больше $2p_r$, поэтому затрагивает простые. Читайте внимательно!

-- 21.04.2021, 19:49 --

Dmitriy40 в сообщении #1515212 писал(а):

А я вам говорю, что нет, не на местах этих вычетов.

Я согласился, что в данном случае, максимум расстояния не на местах этих вычетов.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1515218 писал(а):

Я пишу больше $2p_r$, поэтому затрагивает простые. Читайте внимательно!

Т.е. когда меньше $2p_r$ между вычетами, то простые не затрагивает что ли? Так ещё более непонятно.
Вообще непонятна связь интервалов между вычетами (т.е. между составными числами) с интервалами между простыми. Пожалуйста поясните её.

vicvolf в сообщении #1515218 писал(а):

Я согласился, что в данном случае, максимум расстояния не на местах этих вычетов.

Значит я слепой и не заметил где вы согласились. И уж тем более что не только в данном случае, а вообще в $6542-22=6520$ случаях или более чем в 99.6% всех проверенных мной случаев. Т.е. практически всегда.

Вот эта ваша фраза

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

Составные вычеты: $9409,9797,...$ на интервале $(97^2=9409,101^2=10201)$ при $p_r=97$ естественно имеют делителем $97$ в отличии от ПСВ$73\#$ и расстояния между простыми после удаления этих составных вычетов будут иметь наибольшим делителем $97$, но не обязательно среди них будет наибольшее на интервале $(9409,10201)$.

согласием вовсе не является, по ней отдельный вопрос, что это за "расстояния между простыми", имеющие делителем $97$?! Там наибольшее расстояние между простыми намного меньше $97$, всего лишь $d=36$, и оно уж точно не имеет делителя $97$. Как не делятся на $97$ и обе границы, и $9551$ и $9587$. Так что же делится на $97$ и при чём здесь интервалы между простыми?
И что значит "но не обязательно среди них будет наибольшее на интервале $(9409,10201)$" если оно именно там реально и есть? Или вы снова о чём-то своём непонятном говорите?

PS. Чем дальше вас читаешь, тем меньше понятно что вы пытались сказать.

-- 21.04.2021, 23:32 --

О! Кажется я понял, говоря о вычетах вы говорите о взаимно простых с праймориалом, которые в диапазоне являются и простыми. Тогда половина моих вопросов и возражений снимается, надо обдумать.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):

О! Кажется я понял, говоря о вычетах вы говорите о взаимно простых с праймориалом, которые в диапазоне являются и простыми. Тогда половина моих вопросов и возражений снимается, надо обдумать.

Все верно!

Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):

Вообще непонятна связь интервалов между вычетами (т.е. между составными числами) с интервалами между простыми. Пожалуйста поясните её.

Разговор идет о максимальном расстоянии между вычетами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$. Так как на этом интервале все вычеты являются простыми числами, то о максимальном расстоянии между простыми числами на данном интервале. Я обозначаю это максимальное расстояние $d(p^2_{r+1})$. В моей гипотезе утверждается, что $d(p^2_{r+1}) \leq 2p_{r-1}$. Помните, гипотеза - это недоказанное утверждение.

Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):

vicvolf в сообщении #1515218 писал(а):

Я согласился, что в данном случае, максимум расстояния не на местах этих вычетов.

Значит я слепой и не заметил где вы согласились.

Вот здесь:

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

расстояния между простыми после удаления этих составных вычетов ...не обязательно ... будет наибольшее на интервале

Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):

отдельный вопрос, что это за "расстояния между простыми", имеющие делителем $97$?! Там наибольшее расстояние между простыми намного меньше $97$, всего лишь $d=36$, и оно уж точно не имеет делителя $97$. Как не делятся на $97$ и обе границы, и $9551$ и $9587$. Так что же делится на $97$ и при чём здесь интервалы между простыми?

Расстояние между простыми образуется при удалении составных вычетов, которые делятся на $p_r$. Если $p_r=97$, то последним простым делителем, при котором образовывалось расстояние на $r$ - шаге решета Эратосфена, при удалении составных вычетов, было $97$. Это я и имел в виду.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1515253 писал(а):

Разговор идет о максимальном расстоянии между вычетами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$. Так как на этом интервале все вычеты являются простыми числами, то о максимальном расстоянии между простыми числами на данном интервале. Я обозначаю это максимальное расстояние $d(p^2_{r+1})$. В моей гипотезе утверждается, что $d(p^2_{r+1}) \leq 2p_{r-1}$.

Уточню, что в гипотезе рассматривается максимальное расстояние между вычетами на интервале $(1,p^2_{r+1})$, так как на этом интервале все вычеты являются простыми числами, то о максимальном расстоянии между простыми числами на данном интервале. Я обозначаю это максимальное расстояние - $d(p^2_{r+1})$. В моей гипотезе утверждается, что $d(p^2_{r+1}) \leq 2p_{r-1}$. Учитывая, что $2p_{r-1} <2p_{r+1}$ и обозначив $x=p^2_{r+1}$, получим $d(x) < 2 \sqrt {x}$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1515253 писал(а):

Расстояние между простыми образуется при удалении составных вычетов, которые делятся на $p_r$. Если $p_r=97$, то последним простым делителем, при котором образовывалось расстояние на $r$ - шаге решета Эратосфена, при удалении составных вычетов, было $97$. Это я и имел в виду.

"Расстояние" — да, "максимальное расстояние", да ещё и на выделенном интервале — вовсе не обязательно (в 99.6% нет).

vicvolf в сообщении #1515253 писал(а):

Все верно!

Однако в некоторых случаях вы не уточняете о простых или о составных вычетах говорите, а из контекста этого не понятно.

vicvolf в сообщении #1515262 писал(а):

Уточню, что в гипотезе рассматривается максимальное расстояние между вычетами на интервале $(1,p^2_{r+1})$,

Вообще-то интервалы $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ и $(1;p_{r+1}^2)$ сильно отличаются и надо сразу точно указывать про какой говорите. Например $d=14$ входит во второй и не входит в первый. Выходит надо пересматривать вообще все ваши утверждения в исходном сообщении.

Но это ладно, мне теперь другое неясно, вернёмся ко второму вопросу.

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.

vicvolf в сообщении #1515196 писал(а):

Их и нет.

Если "их и нет", то что значит слово "может" в первой цитате? Сначала "может", а потом "их и нет"?! Так может или не может?
Потому что если на интервале $(p_r^2;(p_r+2)^2)$ нет других вычетов, значит расстояние между простыми в этом месте $d((p_r+2)^2)=4p_r+4$ или больше. Ведь вычеты $p_r^2,p_r p_{r+1},p_{r+1}^2$ оказались составными и вычеркнуты, а других и не было. Расстояние даже не $2p_r$, а ещё намного больше!
Ну и если вдруг всё же "может", то приведите примерчик когда оно реально такое, не $2p_r$, а $4p_r+4$ или больше. Заодно им и гипотезу Лежандра опровергните, контрпримером.
Или потому и написали "может" что не можете опровергнуть гипотезу Лежандра и не понимаете что даже если таких интервалов и не существует (т.е. "не может"), то гипотезу Лежандра это не подтверждает?

И к первому вопросу тоже вернёмся.

vicvolf в сообщении #1515125 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1515091 писал(а):

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.
...
На интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ расстояние между вычетами меньше $2p_r$ (по моей гипотезе) и поэтому покрывать расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ не может.

Так может или не может? Равно или меньше? Что-то одно другому противоречит.

Согласен, надо уточнить. Во втором случае под вычетами понимаются соседние простые числа, полученные на $r$ - ом шаге решета Эратосфена после удаления составных вычетов $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$.

Поясните разницу между первым и вторым случаями.
Ведь если второй случай применить к простым близнецам, то он станет идентичен первому. Однако вы утверждаете о какой-то разнице между ними даже в этом случае. Какой?

PS. И все эти вопросы относятся вовсе не к вашей "гипотезе", а к конкретным вашим утверждениям. Так что на неё можете не ссылаться.

[Батороев]

По-видимому, число простых между квадратами двух простых-близнецов можно прикинуть по формуле:

$$\pi (p_{r}^2; p_{r+1}^2)= \dfrac {\varphi (p_{r}\#) \cdot(3p_{r}+2)}{p_{r}\#}$$

где $\varphi(p_{r}\#)$ - функция Эйлера.
Как мне представляется, формула дает заниженное значение, но могу и ошибаться, т.к. для больших чисел проверить не смог.
Для других соседних простых (не близнецов) число $\pi(p_{r}^2; p_{r+1}^2)$ в разы больше.
Поэтому думаю, что максимальные интервалы между простыми в примориалах находятся "не в этой зоне".

[Dmitriy40]

Батороев
Оценка слишком неточная: $\pi(1000039^2)-\pi(1000037^2)=144970$, $\dfrac{\varphi(1000037\#)}{1000037\#}(3\cdot 1000037+2)\approx 121918.857$, занижено на 16%. При том что гораздо более простая оценка $\pi(p+2)-\pi(p)\approx \dfrac{1000039^2}{\ln(1000039^2)}-\dfrac{1000037^2}{\ln(1000037^2)}\approx 139530.546$ занижена всего на 3.8%.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1515265 писал(а):

Вообще-то интервалы $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ и $(1;p_{r+1}^2)$ сильно отличаются

Если гипотеза о верхней оценке расстояния между простыми выполняется на интервале $(1;p_{r+1}^2)$, как я формулировал ее в самом начале и Вы ее проверяли, то она тем более справедлива для под интервала $(p_r^2;p_{r+1}^2)$.

Цитата:

Dmitriy40 в сообщении #1515161 писал(а):

Ну или приведите пример когда интервал $(p_r^2;p_r^2+2p_r)$ не содержит простых? Я таких интервалов до $p_r<10^9$ не нашёл.

Их и нет. Если бы был такой интервал, где нет простых чисел, то расстояние между соседними простыми было бы больше $2p_r$, что противоречит гипотезе Лежандра.

Вот так звучал второй вопрос. И такой был на него ответ. Вы вырываете из смысла не связанные цитаты и запутываете и себя и других.

Dmitriy40 в сообщении #1515265 писал(а):

Поясните разницу между первым и вторым случаями.

В первом случае говорится о составных вычетах $p^2_r,p_rp_{r+1}$.

vicvolf в сообщении #1515125 писал(а):

Во втором случае под вычетами понимаются соседние простые числа, полученные на $r$ - ом шаге решета Эратосфена после удаления составных вычетов $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$.

Давайте на примере. Пусть $p_r=11$, тогда составные вычеты $121,143$. Интервал между ними равен $2p_r=22$. После удаления составных вычетов $121,143$ получились вычеты - соседние простые числа $113,127$ и $139,149$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1515271 писал(а):

Оценка слишком неточная: $\pi(1000039^2)-\pi(1000037^2)=144970$, $\dfrac{\varphi(1000037\#)}{1000037\#}(3\cdot 1000037+2)\approx 121918.857$, занижено на 16%.

Ничего страшного в том, что "занижено". Намного хуже, если есть "завышено".
А вообще суть моего поста заключалось в том, что об интервалах между простыми, равных $p$, $2p+1$ и других подобных в этих "местах" (между квадратами соседних простых) речь не идет.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1515273 писал(а):

После удаления составных вычетов $121,143$ получились вычеты - соседние простые числа $113,127$ и $139,149$.

Вот только $113$ в заявленный интервал не входит и остаются лишь три числа $127,139,149$ и один интервал $(139;149)$.

vicvolf в сообщении #1515273 писал(а):

Если гипотеза о верхней оценке расстояния между простыми выполняется на интервале $(1;p_{r+1}^2)$, как я формулировал ее в самом начале и Вы ее проверяли, то она тем более справедлива для под интервала $(p_r^2;p_{r+1}^2)$.

Гипотеза может и справедлива, а вот прочие ваши утверждения в том сообщении — не совсем и не все. И уж тем более не обязательно работает в обратную сторону, при расширении интервала, с $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ до $(1;p_{r+1}^2)$. При сужении да (и то лишь для максимума расстояний, для других свойств тоже не обязательно), а при расширении уже совсем не обязательно (и $d(13^2)=14$ тому примером), надо перепроверять.

Ладно, мне надоело выяснять что же Вы хотели тогда сказать, но так и не смогли нормально сформулировать. С явной ошибкой Вы типа согласились, а остальное будем считать я не понял ваших выражений. Пусть желающие сами разбираются.