2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14  След.
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 17:40 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Soul Friend в сообщении #1511346 писал(а):
а функция $L_{2}(p_{r}\#)$ для $p_5=11$ посчитает эту пару $\{167;169\}$ как простые близнецы ?
В $L_2(p_r\#)$ входит $\varphi_2(p_s\#)$, для $p_r=11$ $p_s=47$, соответственно $\varphi_2(47\#)$ посчитает число $169=13^2$ не взаимно простым с $47\#$ и "в зачёт" эта пара не пойдёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 17:50 


23/01/07
3323
Новосибирск
Soul Friend в сообщении #1511346 писал(а):
а функция $L_{2}(p_{r}\#)$ для $p_5=11$ посчитает эту пару $\{167;169\}$ как простые близнецы ?

Она будет исключена еще ранее - на этапе $p_{r}=p_4=7$, для которой $p_{s}=13$
$(168^2-1)\equiv 0\pmod {13}$.

-- 26 мар 2021 22:14 --

Для проверки пар чисел на простоту достаточно рассматривать примориал, в который эта пара входит.
А вообше-то, функция по крайней мере в данном рассмотрении, считает Не "кого", а "скоко".

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 18:44 


31/12/10
1517
Батороев
Вы привели отличный пример с $p_r=7$ и $p_s=13$.
Получается, что весь 7\# находится среди простых чисел. Следовательно и близнецы там
все простые. Так ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 19:13 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Ну так они и есть все простые, кроме одной единственной пары $\{167;169\}$. И что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 19:22 


31/12/10
1517
Dmitriy40
А можно послушать "начальника транспортного цеха" ?

P.S. Там есть 209,211

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 19:58 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
vorvalm в сообщении #1511394 писал(а):
P.S. Там есть 209,211
Нету: $211>210=7\#$. В приведённой системе вычетов по модулю m нет чисел превышающих или равных m.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 20:19 


31/12/10
1517
Dmitriy40 в сообщении #1511404 писал(а):
Нету: $211>210=7\#$. В приведённой системе вычетов по модулю m нет чисел превышающих или равных m.

Извините, но $\varphi_2(7\#) =15$, куда входит и 209,211
Система вычетов-близнецов - это не ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 21:10 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Мда, значит мои таблицы выше чуточку ошибочны, я брал числа лишь до $p\#$, а не до $p\#+1$. Хорошо хоть столь малая погрешность там нигде не повлияет вроде бы.

Но пусть даже там не одна, а две не простые пары. Опять же, и что с того? Как это влияет на доказательство? Вы что сказать-то хотите, по теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение27.03.2021, 05:59 
Аватара пользователя


12/10/16
605
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40 в сообщении #1511343 писал(а):
попробуем убрать эту погрешность, сравнив количество пар $L_2(p_r\#)$ с заведомо меньшим количеством чем $y_2(p_r\#)$

А есть ли в анналах математики другие, подобные доказательства, где погрешность коррелируется меньшим или большим вычислениями (сравнениями). Что другие ЗУ думают о таких вида доказательствах. Я считаю, что этот метод приближенного вычисления простых близнецов до заданного $n$ имеет права на публикацию, но как лучшая вероятностная оценка. Принять как за доказательство .... есть пока неопределённые сомнения.
Как пишет сам Dmitriy40
Dmitriy40 в сообщении #1511343 писал(а):
Насколько понимаю, осталось одно тонкое место, с доказательством $y_2(p_r\#)\ge\varphi_2(p_r\#)/p_s$

Нет точной формулы для $y_2(p_r\#)$ , ситуация такая же как и для $\pi(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение27.03.2021, 13:19 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Soul Friend в сообщении #1511489 писал(а):
Dmitriy40 в сообщении #1511343 писал(а):
Насколько понимаю, осталось одно тонкое место, с доказательством $y_2(p_r\#)\ge\varphi_2(p_r\#)/p_s$
Нет точной формулы для $y_2(p_r\#)$ , ситуация такая же как и для $\pi(x)$.
Да, ситуация аналогичная, в том смысле что точной формулы нет и не выводится, а используются оценки снизу (можно и сверху наверное для чего-нибудь). Но доказательство что оценка снизу именно таковой и является, а не просто артефакт в начале числового ряда, конечно нужно. Возможно у автора оно имеется ... Учитывая что $y_2(p_r\#)/\varphi_2(p_r\#)$ падает заметно медленнее $1/p_s$, по крайней мере поначалу, то оценка выглядит правдоподобной.
Только нужно учитывать что я возможно не заметил другие тонкие места.

Сам метод доказательства оценкой снизу/сверху вполне нормален, например сходимость многих рядов так доказывается (типа зажимаем ряд между двумя другими легко доказываемыми сходящимися к одному пределу), да и с теми же оценками $\pi(x)$ ровно так же, главное аккуратно выбрать оценку и доказать её правомочность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение28.03.2021, 02:15 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Dmitriy40 в сообщении #1511343 писал(а):
Насколько понимаю, осталось одно тонкое место, с доказательством $y_2(p_r\#)\ge\varphi_2(p_r\#)/p_s$, хотя бы для всех достаточно больших $p_r$.
Думаю это место непреодолимо.
Фактически его можно ослабить до утверждения что для любого $p_s$ (специально обозначу как у автора) из хотя бы некоторого бесконечного подмножества простых всегда встретится минимум одна пара простых близнецов в интервале $(p_s\ldots p_s^2)$. И даже такое ослабленное оно недоказуемо (ибо само уже будет являться доказательством бесконечности простых близнецов). А в данном доказательстве делаются попытки оценить количество пар в этом диапазоне через плотность взаимно простых с праймориалом $p_s\#$ пар, но плотность понятие статистическое и оно не гарантирует наличие такой пары именно в нужном диапазоне, даже хоть для какого-то подмножества простых. Или, другими словами, теоретически может достигаться любая нижняя граница, в том числе и нулевая. И любая ненулевая оценка снизу не является правомерной, пока не доказано обратное. Вах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение28.03.2021, 23:31 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
Ради интереса проверил насколько точно $L_2(p\#)$ предсказывает число простых пар на интервале $(p \ldots p^2)$. Вообще-то они конечно лишь взаимно простые с $p\#$, но в данном интервале они все гарантированно простые. До $p=11$ не интересно, потом оценка $L_2$ меньше реального количества пар $y_2$, начиная с $p=23$ отношение $L_2/y_2$ "бултыхается" в пределах $0.898 \ldots 0.999$, единицы не достигая, но вот для $p=131, 163, 179$ $L_2(p\#)$ уже достоверно больше точного количества. А начиная с $p=223$ оно превышает реальное количество на $0\%\ldots3\%$, уже нигде не опускаясь ниже $100\%$. И растёт. Не монотонно, с колебаниями, но достоверно растёт. Для $p=997$ достигая значения в $1.064$ (превышение на $6.4\%$ ). Абсолютные цифры количеств при этом конечно растут.

Другими словами, оценка количества пар по их средней плотности во всём праймориале недостоверна. И чем дальше, тем хуже.
Ограничена ли погрешность сверху или продолжит расти вплоть до полного исчезновения простых близнецов где-нибудь на многомиллионных праймориалах — как раз и есть предмет авторского доказательства. Я лишь проверил гипотезу о равномерном распределении взаимно простых с праймориалом пар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение30.03.2021, 06:26 


23/01/07
3323
Новосибирск
Dmitriy40 в сообщении #1511953 писал(а):
Ограничена ли погрешность сверху или продолжит расти вплоть до полного исчезновения простых близнецов где-нибудь на многомиллионных праймориалах — как раз и есть предмет авторского доказательства. Я лишь проверил гипотезу о равномерном распределении взаимно простых с праймориалом пар.

У меня не было гипотезы, а было лишь допущение. :roll:
То, что в примориалах пары, взаимно простые этому примориалу, расположены неравномерно - это факт.
Такое допущение ("допустим, что...") позволяет создать, хотя и приближенные, формулы расчета.
Естественно, что затем надо найти пределы этого допущения (чего я не сделал и что явилось предметом высказанных претензий). Этим сейчас и занимаюсь.

А Ваши расчеты интересны сами по себе - на мой взгляд, позволяют определять зоны уплотнения и разрежения не только пар, взаимно простых примориалу, но и простых чисел... Мне так кажется.
Там, где происходят упомянутые Вами завышения (или скачки), там по-видимому, есть либо большие разрежения, либо довольно крупные промежутки между простыми. - Но это уже гипотеза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.04.2021, 10:54 


23/01/07
3323
Новосибирск
Доказательство бесконечности простых чисел близнецов.

07.04.2021 г.

Обозначения:

$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер числа в ряду простых чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.


Доказательство:

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности, можно составить новую функцию:

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \eqno (1)$$

Функция $L_{2}(p_{r}\#)$ определяет количество пар простых-близнецов, расчитанное при допущении (I), что пары, взаимно простых с примориалом, расположены в нем равномерно (2).

Данная функция не учитывает количество пар простых-близнецов, не превышающих $p_{s}$, обозначим их числом $t$ (3).
Так как в действительности распределение пар, взаимно простых с примориалом, неравномерное, то функция $L_{2}(p_{r}\#)$ имеет погрешность относительно числа $(\pi_{2}(p_{r}\#)-t)$, где $\pi_{2}(p_{r}\#)$ - действительное число пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$.

Для наглядности вышесказанного развернем (1):

$L_{2}(p_{r}\#)=p_{r}\#\cdot\left(1-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}..-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-p_{r}\#\cdot \left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+..+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \eqno(4) $


В выражении (4) число в первой скобке, домноженное на $p_r\#$, соответствует $\varphi_{2}(p_{r}\#)$, т.е. числу пар, взаимно простых с примориалом. Это число достоверное.
Число во второй скобке, домноженное на $p_r\#$ соответствует числу пар, в которых хотя бы одно число кратно простым числам от $p_{r+1}$ до $p_{s}$. Это число в виду допущения (2) является причиной погрешности, поэтому может быть названо "недостоверным числом".

Перепишем (1):

$$L_{2}(p_r\#)= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\eqno (5)
$$

Дробный коэффициент в (5): $u=\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_r\#)\cdot p_{s}\#}$ показывает, в какой пропорции в примориале количество пар простых-близнецов меньше количества пар, взаимно простых с примориалом.
Если рассмотреть действительный коэффициент $u_{0}$ для примориала $p_{r}\#$, то также можно записать зависимость:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)-t=\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{0}$$

Расчет коэффициента $u_{0}$ на практике сопряжен с большими трудностями, связанными с точным подсчетом числа вхождений простых от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ в правую скобку выражения (4). Для очень больших примориалов задача практически невыполнимая.

Но за то, можно определить теоретические границы коэффициента $u$:

1. Максимальное теоретическое значение $u_{\max}=1\eqno (5.1)$
Наступает в случае отсутствия простых на интервале от $p_{r}$ до $\sqrt {p_{r}\#}$. Хотя примером такого примориала может служить примориал $5\#$, в котором $\pi_{2}(5\#)-t=\varphi_{2}(5\#)$, но при дальнейшем увеличении примориалов такая ситуация повториться не может (математиками доказаны значительно меньшие интервалы, на которых присутствуют простые числа). Поэтому $u_{\max}=1$ является теоретической верхней границей рассматриваемого коэффициента.

2. Для определения теоретической нижней границы коэффициента $u_{\min}$ введем еще одно допущение (II):

На интервале от $p_{r}$ до $p_{s}$ все нечетные числа - простые-близнецы. При этом $p_{s}$ максимально приближено к $\sqrt {p_{r}\#}$.

Допущение (II) предполагает равномерность распределения чисел от $p_{r}$ до $p_{s}$, поэтому использование записи коэффициента в (5) правомерно:
$$u_{\min}= \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\egno (5.2)$$
После сокращения общих членов в числителе и знаменателе, получаем:

$$ u_{\min}= \dfrac {p_{r+1}-2}{p_{r+1}}\cdot\dfrac {(p_{r+1}+2)-2}{p_{r+1}+2}... \cdot \dfrac{p_{s}-2}{p_{s}} =\dfrac {p_{r+1}-2}{p_s}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}} \eqno (5.2.1) $$

(в (5.2.1) все числа числителя, кроме первого, сокращаются с числами знаменателя, кроме последнего).

Полученное в (5.2.1) значение $u_{\min}$ является нижней теоретической границей рассматриваемого коэффициента. Действительно, в реальности такое распределение простых-близнецов не возможно** (например, каждое третье число кратно $3$), поэтому исчезновение любого числа из ряда, описанного в допущении (II) (т.е. появлении интервалов, больших $2$) повлечет к уменьшению числа слагаемых в правой скобке (4) (или исчезновению дробей, меньших единицы в (5.2.1) ) и соответственно, увеличению коэффициента $u_{0}$ по сравнению с $u_{\min}$.

Полученная нижняя теоретическая граница $u_{\min}$ позволяет определить и нижнюю теоретическую границу количества пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot u_{\min}\eqno (6)$$
С учетом вышесказанного: $$\pi_{2}(p_{r}\#)>\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}\eqno (7)$$
Так как $p_{s}<\sqrt {p_{r}\#}$, то:
$$\pi_{2}(p_{r}\#)_{\min}-t= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{\sqrt {p_{r}\#}}\eqno (8) $$
Начиная с $p_{r}\#=7\#$, число:
$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {7}}>1$$
и монотонно возрастает, следовательно, можно записать, что начиная с $p_{r}=7\#$, с учетом неравенств (7), (8):
$$\pi_{2}(p_{r}\#)-t>1 \eqno (9)$$
Неравенство (9) утверждает, что каким бы ни было количество пар простых-близнецов до $p_{s}$, в примориале $p_{r}\#$ всегда существует, как минимум $1$ пара простых-близнецов, превышающих $p_{s}$. (10)

Т.к. простые числа бесконечны, а соответственно, бесконечны примориалы, то с учетом вывода (10) доказано, что простые-близнецы бесконечны.

*Примечание 1: функция $\varphi_{2}(n)$ всегда дает одно лишнее значение, независимо от числа $n$.
**Примечание 2: Почти похожая картина наблюдается в $p_{r}\#=7\#$, только надо "убедить себя, что $9$ - простое число".

p.s. Выражаю особую Благодарность Dmitriy40 за его конструктивную критику, позволившую устранить недочеты, уточнить некоторые параметры, а также за его помощь в редактировании текста. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение09.04.2021, 13:55 


23/01/07
3323
Новосибирск
Батороев в сообщении #1513210 писал(а):
$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {7}}>1$$

В этом выражении потерял знак квадратного корня при двойке. Следует читать:
$$p_{r}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{\sqrt {p_{r}\#}}=p_{r}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2}}\cdot \dfrac {3-2}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac {5-2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac {7-2}{\sqrt {7}}>1$$

Хотел немного прояснить про функцию $\varphi_{k}(n)$, где $k=2,3,4...$.

Наверное, можно использовать эти функции для анализа вычетов в основном кольце вычетов по простым числам, как это делают мои коллеги-любители математики в соседней теме для поиска интервалов между простыми, но я не пробовал.

У меня такие функции "заточены" для рассмотрения степенных колец вычетов. С этой точки зрения их можно было бы назвать "многомерными функциями Эйлера".
В частности, в своем доказательстве я рассматриваю квадратичные вычеты $a_{i}^2-1\equiv 0\pmod {p_j}$. Необходимо сразу отметить, что применение рассматриваемой функции не отвечает на вопрос "Какие?", а дает ответ на вопрос "Сколько?". Поэтому вычеты могут быть любыми и в конце сообщения я приведу пример применения других вычетов.
Если кому-нибудь будет интересно получить ответ на вопрос "Какие?", расскажу, как делаю сам:
В Exel завожу в первый столбец натуральные числа $a_{i} =1...210$, т.е. готовлю к рассмотрению примориал $7\#$.
Возвожу эти числа в квадрат и из каждого из них вычитаю единицу. Затем определяю остатки полученных чисел по последоывательным простым числам.
На первом этапе (проверка по простому $2$) "вычеркиваю" (помечаю заливкой клетку) все нули (соответствует нечетным числам $a_{i}$, т.к. примыкающие к ним близнецы - четные числа и совсем не простые). Поэтому $\varphi_{2}(2)=1$.
На втором и последующих этапах вычеркиваются уже по два нулевых остатка.
При проверке остатков по основанию любого простого количество невычеркнутых чисел $a_{i}$ в примориале этого простого определяет число пар, взаимно простых с этим примориалом. Следует отметить, что полученное число для любого примориала всегда завышено ровно на $1$, т.к. учитывает пару $p\#\pm 1$, в которой одно число выходит за рамки примориала. Но отказаться от этого завышения нельзя, т.к. оно "готовит" примориал к "тиражированию" для перехода к следующему примориалу. Например, в примориале $5\#$ имеется две пары, взаимно простые примориалу. Это $12\pm1$ и $16\pm 1$, но Exel показывает еще одну, а именно $30\pm1$, которая будет учтена в следующем примориале $7\#$. В виду мизерности этой погрешности, особенно в больших примориалах ($\frac {1}{p\#}$), ею вполне можно пренебречь.
Следует отметить, что при переходе от примориала $p_{i}\#$ к примориалу $p_{i+1}\#$, число новых составных пар, в которых одно из чисел кратно $p_{i+1}$ равняется $\varphi_{2}(p_{i}\#)$.
На основании вышеизложенного можно составить формулу расчета числа пар, взаимно простых примориалу:
$$\varphi_{2}(p_{r}\#)= p_{r}\#- \dfrac{1}{2}\cdot p_{r}\# -  \dfrac{2\cdot 1}{3\#}\cdot p_{r}\#-  \dfrac{2\cdot (3-2)}{5\#}\cdot p_{r}\# -...-  \dfrac{2\cdot (p_{r-1}-2)}{p_{r}\#}\cdot p_{r}\#\eqno (1)$$
Если пошагово сворачивать выражение (1), приводя уменьшаемое и вычитаемое к общему знаменателю, то получим "свернутую форму" расчета функции:
$$\varphi_{2}(p_{r}\#)=1\cdot (3-2)\cdot (5-2)\cdot ...\cdot (p_{r}-2)\eqno (2)$$
Этот переход от развернутой формулы к свернутой косвенно доказывает мультипликативность функции.
Каковы другие свойства многомерных функций Эйлера, в полной ли мере эти свойства совпадают со свойствами самой функции Эйлера? - ответы на эти вопросы требуют отдельных исследований и, надеюсь, будут найдены специалистами в случае, если посчитают, что применение многомерных функций Эйлера является эффективным инструментом.
Со своей стороны приведу еще один пример применения такой функции:

Доказательство бесконечности простых чисел вида $p=n^2+1$.

Обозначения:
Простые числа, имеющие среди квадратичных вычетов остатки $(-1)\pmod p$ не так много, например:
$2,5;13;17;29;37...$.
Поэтому в рассмотрении будут участвовать только такие простые числа. Назовем их "простые числа специального вида" (ПЧСВ).
Обозначим их через $p_{r}$, где $r$ - порядковый номер простого в ряду ПЧСВ.

Количество чисел, взаимно простых с произведением $v_{r}=\prod\limits_{p_{1}=5}^{p_{r}}$ равно:
$$\varphi_{2}(v_{r})=1\cdot (5-2)\cdot (13-2)\cdot (17-2)\cdot ...\cdot (p_{r}-2)$$
$\varphi_{2}(2)=1$, для остальных ПЧСВ $\varphi_{2}(p)=(p-2)$.
Через $p_{s}$ обозначим максимальное ПЧСВ, не превосходящее $v_{r}$.

Доказательство:
Количество простых $P(v_{r})$ вида $p=n^2+1$ в произведении $v_{r}$ можно рассчитать, как некую часть от количества чисел, взаимно простых с этим произведением:
$$P(v_{r})= \varphi_{2}(v_{r})\cdot k_{0}\eqno (3) $$
Расчет коэффициента $k_{0}$ трудоемкий и для больших произведений $v_{r}$ не представляется возможным.
Но так же, как и в доказательстве бесконечности простых-близнецов, можно рассчитать теоретическую нижнюю границу коэффициента $k_{\min}$.
Для этого сделаем допущение, что все нечетные числа от $p_{r}$ до $p_{s}$ - ПЧСВ.
В этом случае все эти числа создают равномерную последовательность и коэффициент $k_{\min}$ можно рассчитать по линейной зависимости:
$$ k_{\min}=\dfrac {p_{r+1}-2}{p_{r+1}}\cdot \dfrac {p_{r+2}-2}{p_{r+2}}\cdot ...\cdot \dfrac {p_{s-1}-2}{p_{s-2}}\cdot \dfrac {p_{s}-2}{p_{s}}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}}\eqno (4)$$
(т.к. все числа в числителе, кроме первого, сократятся с числами знаменателя, кроме последнего).
Полученное значение коэффициента $k_{\min}$ является минимальным для коэффициентов, т.к. любое приближение к реальности (уменьшение количества простых в диапазоне от $p_{r}$ до $p_{s}$) ведет к увеличению коэффициента за счет исчезновения дробей, меньших единицы. Поэтому коэффициент $k_{\min}$ определяет нижнюю теоретическую границу числа простых чисел вида $p=n^2+1$.
Соответственно можно записать:
$$P(v_{r})>\varphi_{2}(v_{r})\cdot k_{\min}=\varphi_{2}(v_{r})\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}\eqno (5)$$

Из начального условия $p_{s}<v_{r}$ следует, что:
$$\varphi_{2}(v_{r})\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\dfrac {\varphi_{2}(v_{r})}{v_{r}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}=\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {5-2}{5}\cdot \dfrac {13-2}{13}\cdot... \cdot \dfrac {p_{r}-2}{p_{r}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}>1\eqno (6) $$
(т.к. сдвинув числители на одну позицию влево, получаем все дроби больше единицы, кроме последней).

С учетом (5) и (6) можно записать:
$$P(v_{r})>1\eqno (7)$$
Неравенство (7) утверждает, что каким бы ни было количество простых вида $p=n^2+1$ в пределах, не превышающих произведение $v_{r}$, всегда найдется, как минимум, одно простое того же вида, превышающее $v_{r}$. А т.к. простые вида $p=n^2+1$ сами являются ПСВЧ, то их число бесконечно (8).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 201 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group