2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 21  След.
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 10:46 


23/01/07
3415
Новосибирск
Soul Friend в сообщении #1511235 писал(а):
а вот $\varphi_2(35)=15$.

Вообще-то там $14$ пар.

-- 26 мар 2021 14:48 --

Soul Friend в сообщении #1511242 писал(а):
я подумал что это констатация факта, а это оказывается оговорка. Учту. Но, если не ошибаюсь, функции должны определяться однозначно, а если хотите где-то применять $p-2$ используйте $\varphi_2(p)+1$

Нет, так будет не удобно, т.к. и у примориала тоже всего лишь $+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 10:56 


31/12/10
1555
Soul Friend
Из этого положения легко можно выйти.
Надо сразу дать определение.
Если меньший вычет пары меньше модуля,
то пара принадлежит этому модулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 11:03 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Батороев в сообщении #1511243 писал(а):
Вообще-то там $14$ пар.

(1;3)(9;11)(11;13)(17;19)(27;29)(29;31)(31;33)
7 пар нечётных.
(2;4)(4;6)(6;8)(16;18)(22;24)(24;26)(26;28)(32;34)
8 пар чётных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 11:23 


31/12/10
1555
Soul Friend
26,28

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 11:34 


23/01/07
3415
Новосибирск
Поясню про функцию $\varphi_{2}(p)$, чтобы и Вам, и другим стало понятнее.

Вычисление с этой функцией эквивалентно проверке кольца квадратов чисел по основанию простого $p$.

Как известно, квадратичных вычетов в кольце простого - всех по $2$. В данном рассмотрении используются вычеты $\pm 1\pmod p$*.
$(a_{j}^2-1)= (a_{j}-1)\cdot (a_{j}+1)\equiv 0\pmod p$, где $j$ - порядковый номер натурального числа в кольце простого $p$. Такие вычеты исключаются из рассмотрения.
Таким образом, каждому простому приводится в соответствие $(p-2)$ вычетов, определяющих пары, взаимно простых с $p$.


*Примечание: В принципе, можно использовать и другие вычеты (в зависимости от характера решаемой задачи).
И вообще, можно найти применение любым $\varphi_{n}$, где $n$ - натуральное числа. Но при этом придется учесть некоторые нюансы.

-- 26 мар 2021 15:38 --

Soul Friend
Попробуйте теперь с квадратичными вычетами. Уверен, будет проще.

-- 26 мар 2021 15:53 --

В расчете по квадратичным вычетам всегда остается $a_{p}=p$. Т.е. учитывается лишняя пара $(p-1)\cdot (p+1)$, в которой число $p+1$ не входит в интервал. Но за то при мультиплитировании (не знаю, правильно ли написал название операции) это не позволит потерять пары на стыках "тиражируемых" интервалов. Взамен появится новая аналогичная, но уже в конце нового интервала и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 12:48 


31/12/10
1555
Никакого отношения функция $\varphi_2(p) $ к квадратичным вычетам не имеет.
Максимальное число взаимно простых вычетов дает функция Эйлера $\varphi(p)$ (ПСВ).
Среди них есть пары вычетов с разностью $d=2$. Число их определяется числом
размещений 2-х вычетов среди вычетов ПСВ (приведенная система вычетов) по модулю $p$. т.е.
$\varphi_2(p)=\varphi(p)-1= p - 2$
Предварительное определение.
Если меньший вычет пары меньше модуля, то пара принадлежит этому модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 13:23 


23/01/07
3415
Новосибирск
vorvalm в сообщении #1511094 писал(а):
Я извиняюсь, вы что имеете в виду ?

Не засоряйте мою тему. Пуржите у себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 13:35 


31/12/10
1555
Батороев
И это все , что вы можете сказать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 13:38 


23/01/07
3415
Новосибирск
Если вы выполните, то что я написал, то "Да!"

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 13:40 


31/12/10
1555
Батороев
Спасибо и на этом.
А может вам помочь доказать мультипликативность $\varphi_2(m)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 13:45 


23/01/07
3415
Новосибирск
vorvalm в сообщении #1511273 писал(а):
Батороев
Спасибо и на этом.

В смысле?! Вы считаете, что я вам в чем-то должен?

-- 26 мар 2021 18:00 --

А может, считаете, что функцию $\varphi_{2}$ я подсмотрел у вас, то заблуждаетесь. Я ее вывел в теме (сообщение от 23.06.2009 г.). Вы похоже появились на форуме в 2010 г.
Батороев в сообщении #224131 писал(а):
Есть функция
$\Phi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-2}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-2}{p_j} \cdot N$, (2)


Я мог бы предположить обратное, но грешить не буду.

-- 26 мар 2021 18:10 --

vorvalm в сообщении #1511273 писал(а):
А может вам помочь доказать мультипликативность $\varphi_2(m)$ ?

Вы тоже похоже не читатель.
Батороев в сообщении #1511054 писал(а):
Поэтому свойства мультипликативности обосновывать не стал, хотя это не сложно и ничем не отличается от функции Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 14:47 


31/12/10
1555
Батороев в сообщении #1511274 писал(а):
Батороев в сообщении #224131

писал(а):
Есть функция
$\Phi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-2}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-2}{p_j} \cdot N$, (2)

Эту функцию я впервые нашел у К.Прахара, где он доказывает известную теорему В.Бруна.
Так что извините, я тут ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 14:56 


23/01/07
3415
Новосибирск
ОК

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 16:18 
Заслуженный участник


20/08/14
11057
Россия, Москва
Продолжу (больше для себя) переводить доказательство на человеческий, да не будет автор в обиде.

Получив оценку простых близнецов в интервале $(p_s \approx \sqrt{p_r\#} \ldots p_r\#)$ в виде $L_2(p_r\#)$ с некоторой ошибкой/погрешностью относительно истинного числа пар (обозначу как $y_2(p_r\#)$), попробуем убрать эту погрешность, сравнив количество пар $L_2(p_r\#)$ с заведомо меньшим количеством чем $y_2(p_r\#)$, в качестве которого выберем $\varphi_2(p_r\#)/p_s>0$. Доказательство что $\varphi_2(p_r\#)/p_s$ всегда меньше $y_2(p_r\#)$ отсутствует, потому проверю своим любимым методом — численным расчётом, см. ниже. Если для всех больших $p_r$ будет выполнено сравнение $L_2(p_r\#) > \varphi_2(p_r\#)/p_s$, то значит в любом интервале $(p_s \approx \sqrt{p_r\#} \ldots p_r\#)$ всегда найдётся минимум одна пара простых близнецов, что и будет доказательством их бесконечности.

Для этого перепишем выражение для $L_2(p_r\#)$ в виде (нумерация формул соответствует доказательству автора):
$$L_2(p_r\#)=\varphi_2(p_r\#)u(p_r\#),\; u(p_r\#)=\dfrac{\varphi_2(p_s\#) p_r\#}{\varphi_2(p_r\#) p_s\#}\;\;\eqno(5)$$
Здесь коэффициент $u(p_r\#)$ имеет смысл доли простых близнецов из всех взаимно простых с праймориалом пар.

Сравнение $L_2(p_r\#)>\varphi_2(p_r\#)/p_s$ перепишем так:
$$L_2(p_r\#) = \varphi_2(p_r\#) u(p_r\#) > \varphi_2(p_r\#)/p_s$$И упрощая:
$$u(p_r\#)=\dfrac{\varphi_2(p_s\#) p_r\#}{\varphi_2(p_r\#) p_s\#} > \dfrac{1}{p_s}\;\;\eqno(8)$$
Далее преобразуя его (опускаю, есть у автора) приходим к (10) автора, которое (а соответственно и (8)) строго выполняется начиная с $p_r=5$.
Собственно на этом доказательство и завершается.

Насколько понимаю, осталось одно тонкое место, с доказательством $y_2(p_r\#)\ge\varphi_2(p_r\#)/p_s$, хотя бы для всех достаточно больших $p_r$. Предыдущее недоказанное место про равномерность распределения пар в малых диапазонах поглотилось этим тонким местом.
Правомерность вычисления $\varphi_2(p\#)$ как произведения простых минус 2 считаю доказанным.


Ну и численная проверка справедливости замены $y_2(p_r\#)/\varphi_2(p_r\#)$ на $1/p_s$, первое должно быть не меньше второго:
\begin{tabular}{llllll}
$p_r\#$ & $L_2(p_r\#)$ & $y_2(p_r\#)$ & $u(p_r\#)$ & $y_2(p_r\#)/p_r\#$ & $1/p_s$ \\
$5\#=30$ & $3$ & $2$ & $1$ & $6.667\cdot10^{-2}$ & $2.000\cdot10^{-1}$ \\
$7\#=210$ & $1.038\cdot10^{1}$ & $12$ & $6.923\cdot10^{-1}$ & $5.714\cdot10^{-2}$ & $7.692\cdot10^{-2}$ \\
$11\#=2310$ & $5.891\cdot10^{1}$ & $63$ & $4.364\cdot10^{-1}$ & $2.727\cdot10^{-2}$ & $2.128\cdot10^{-2}$ \\
$13\#=30030$ & $4.564\cdot10^{2}$ & $456$ & $3.074\cdot10^{-1}$ & $1.518\cdot10^{-2}$ & $5.780\cdot10^{-3}$ \\
$17\#=510510$ & $4.868\cdot10^{3}$ & $4606$ & $2.186\cdot10^{-1}$ & $9.022\cdot10^{-3}$ & $1.410\cdot10^{-3}$ \\
$19\#=9699690$ & $6.216\cdot10^{4}$ & $57371$ & $1.642\cdot10^{-1}$ & $5.915\cdot10^{-3}$ & $3.216\cdot10^{-4}$ \\
$23\#=223092870$ & $1.004\cdot10^{6}$ & $895790$ & $1.262\cdot10^{-1}$ & $4.015\cdot10^{-3}$ & $6.698\cdot10^{-5}$ \\
$29\#=6469693230$ & $2.110\cdot10^{7}$ & $18462703$ & $9.825\cdot10^{-2}$ & $2.854\cdot10^{-3}$ & $1.243\cdot10^{-5}$ \\
$31\#=200560490130$ & $4.929\cdot10^{8}$ & $425173575$ & $7.916\cdot10^{-2}$ & $2.120\cdot10^{-3}$ & $2.233\cdot10^{-6}$ \\
\end{tabular}
Как видно замена допустима начиная с $p_r=11$ "и далее везде". Ну и соответственно выполняется $u(p_r\#)>1/p_s\eqno(8)$, что собственно было доказано.

UPD. Добавлены $29\#, 31\#$ в таблицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение26.03.2021, 16:28 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Батороев
а функция $L_{2}(p_{r}\#)$ для $p_5=11$ посчитает эту пару $\{167;169\}$ как простые близнецы ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 302 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 21  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group