Небольшое эссе к знатокам теории относительности.

вздымщик Цыпа · 12/09/08 ∞ 2262

AlexNew в сообщении #148545 писал(а):

про кривизну я только ОТО знаю

Я немного пооффтоплю. если никто не возражает. Все равно дискуссия не слишком бурная идет. Вот вы обзываете ОТО в соседней теме безосновательной теорией. Однако, Вы не можете не признать, что это на редкость математически красивый вывод. Великолепная формула получилась. Другое дело, что даже элементарные задачи в общем виде с ее помощью решать затруднительно... А вот взять КМ. Сплошное шаманство. Ах у нас интергралец не сходится. Ну так мы домножим подинтегральную функцию на что-нибудь, между строк запузырим невнятное обоснование. глядишь, то, что получилось сошлось. Будем условно считать это решением. Ну что, разве не так?
Не, ну конечно я осознаю свою собственную безграмотность и в том, и в другом случае (не надо меня носом в нее тыкать), но тем не менее.

Munin · 30/01/06 72407

вздымщик Цыпа писал(а):

Тензор — это линейный оператор, действующий на $n$ векторов и в результате дающий $m$ векторов.

У меня смутные сомнения, что в результате получаются векторы. Например, известно, что не всякий тензор второго ранга есть тензорное произведение двух векторов, а напротив, разложимость в такое произведение - вещь редкая (занимает множество меры нуль).
Как я понимаю, правильней было бы сказать, что тензор - это линейный функционал, действующий на $n$ векторов и $m$ ковекторов, и дающий в результате скаляр. Если каких-то (ко)векторов недодать, то получится "промежуточный результат" - снова тензор (функционал) с меньшим числом параметров.

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

AlexNew в сообщении #148545 писал(а):

про кривизну я только ОТО знаю

Почитайте про калибровочные теории. Тензор любого поля (например, тензор электромагнитного) есть тензор кривизны соответствующего расслоения.

Mister-X · 01/10/08 45

Точно. По определению, тензор действует на векторах. Если у нас $F^{(r)}$ - векторное поле r векторов, то есть векторное пространство над полем $R^{(0)}$ , а $F*_{(s)}$ - дуальное ему векторное поле s векторов, то тензор s-ковариантный и r-контравариантный - это отображение прямого произведения векторного пространства и дуального ему в $R^{(0)}$ . Элементы тензора (r,s) - числа из $R$ .

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Это наиболее очевидно на примере метрического тензора
$g(\overrightarrow V ,\overrightarrow V ) = g_{\alpha \beta } V^\alpha V^\beta = \overrightarrow V ^2$ .

вздымщик Цыпа · 12/09/08 ∞ 2262

Munin в сообщении #148725 писал(а):

Как я понимаю, правильней было бы сказать, что тензор - это линейный функционал, действующий на $n$ векторов и $m$ ковекторов, и дающий в результате скаляр.

Да, Вы правы. Билинейная функция, определенная на парах линейных функционалов вовсе не являет собой пару векторов. Тут я фигню сморозил. Не принял во внимание существование дважды (и более) ковариантных случаев.

pc20b · 26/03/07 ∞ 2412

Тензор типа ( $m,n$ ) не обязательно определять на пространстве прямого произведения $m$ - векторов и $n$ - линейных форм.

pc20b · 26/03/07 ∞ 2412

вздымщик Цыпа в сообщении #148525 писал(а):

Тензор — это линейный оператор, действующий на $n$ векторов и в результате дающий $m$ векторов.

Кстати, и это правильно (как частный случай) : тензор можно рассматривать и как оператор, и как функцию на линейном тензорном пространстве.

Например, тот же метрический тензор в

$u^{\mu}=g^{\mu\nu}u_{\nu}$

выступает как оператор, а в

$g^{\mu\nu}u_{\mu}u_{\nu}=1$

как функция.

Mister-X · 01/10/08 45

"Вопрос на который не дается прямого ответа при изучении теории относительности, но ответ на который не столь тривиален, связан с постулированием вида метрики в специальной теории относительности..." Немного формализирую.

В Ньютоновой теории галилеева пространства время t, строго говоря, не может быть параметром, но только универсальной временной координатой, так как преобразования Галилея обязательно затрагивают и пространство и время

$\begin{gathered} x'^a = \widetilde\gamma ^a _b x^b ;\quad a,b = \overline {1,4} ; \hfill \\ x^1 = ct,\;x^2 = x,\;x^3 = y,\;x^4 = z. \hfill \\ \end{gathered}$ ,
$\Gamma ^{ - 1} = (\widetilde\gamma _b^a ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ { - \frac{{\upsilon _2 }} {c}} & 1 & 0 & 0 \\ { - \frac{{\upsilon _3 }} {c}} & 0 & 1 & 0 \\ { - \frac{{\upsilon _4 }} {c}} & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)$ .
И, хотя я не знал и отрицал столь очевидный факт, пока г-н Munin не дал мне разъяснения по существующей особенности преобразований Галилея, тем не менее, это выглядит несколько странно для 3-мерной теории абсолютного пространства и времени. Я, однако, предположил, что эти преобразования при применении их в теории Ньютона лишь потому фиксируют метрическую структуру, что последняя слабо зависит от скоростей и только это позволяет говорить об ее инвариантности, то есть физической неотличимости инерциальных систем. Иначе, инвариантность при преобразованиях Галилея является не следствием самих преобразований, но, возможно, вырождения матрицы квадратичной формы в нерелятивистском пределе. Действуя на 4-пространство, $\gamma _b^a$ будут всегда переводить 3-мерное подпространство в себя, а потому в таком пределе возникает форм-инвариантность эвклидовой структуры. Ясно, что в матрице $\Gamma ^{ - 1}$ мы не можем положить $\frac{\upsilon } {c} \to 0$ .
Можно поступить следующим образом. Положим, по аналогии того как это мы делаем для всех инерциальных систем отсчета пространства $M^{(3 + 1)}$ , что матрицей квадратичной формы всех ситем отсчета движущихся произвольным образом в некотором гипотетическом 4-мерном пространстве $X^{(4)}$ служит матрица

$g^{(4)} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {g_{11} } & {g_{12} } & {g_{13} } & {g_{14} } \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right)$ , а в подпространстве $X^{(3)}$ соответственно

$g^{(3)} = - \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)$ .
При этом для любой системы отсчета имеем

$\begin{gathered} ds^2 = g_{11} (dx^1 )^2 - dx^\alpha dx_\alpha + 2g_{1\alpha } dx^1 dx^\alpha ,\quad (*) \hfill \\ \alpha ,\beta = \overline {2,4.} \hfill \\ \end{gathered}$
$g_{\alpha \beta }$ здесь выбраны так, чтобы выполнялась однородная и изотропная симметрия 3-пространства. Выбор структуры $(*)$ заключается в том, что поскольку $g_{ab} (f)$ не зависят явно от координат $x^d$ , но лишь от некоторых физических величин характеризующих движение систем отсчета (которые, однако, сами могут быть такими функциями координат), кривизна мира $X^{(4)}$ - $\frac{{\partial ^n g_{ab} (f)}} {{(\partial x^d )^n }}$ будет нуль, но вводимое таким образом 4-пространство $X^{(4)}$ метрически отлично от эвклидового. Кроме того метрические коэффициенты $g_{ab}$ теперь - это коэффициенты движения систем отсчета. В этом случае легко видеть, что введя локально собственные координаты вида

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} dx'^\alpha = dx^\alpha - dx_1 g^{1\alpha } , \hfill \\ dx'^1 = dx^1 \sqrt {g_{11} + g_{1\alpha } \frac{{dx^\alpha }} {{dx^1 }}} \hfill \\ \end{gathered} \right\}\quad \quad (1) \hfill \\ x'^a = \overline \gamma ^a _b (g)x^b , \hfill \\ \end{gathered}$ ,
где $x'^a$ определяются интегрированием системы, при заданных $g_{ab}$ , мы всегда обеспечиваем ортогональность метрики в них

$\begin{gathered} ds^2 = (dx'^1 )^2 - dx'_\alpha dx'^\alpha ,\quad \quad (**) \hfill \\ g'_{ab} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right) \hfill \\ \end{gathered}$ .
Поскольку же такая "местная" система отсчета с коэффициентами движения $g'_{ab}$ в пространстве $X^{(4)}$ неотличима теперь от неподвижной, то преобразования (1) есть общие преобразования от систем отсчета, движущихся каким-либо образом, к инерциальной системе, определяемой лишь с точностью до такой же инерциальной, движущейся $V^a = const$ относительно исходной. Причем эта неоднозначность выбора инерциальной системы при преобразовании (1) калибруется в метрике $g^' _{ab}$ пространства $X^{(4)}$ преобразованиями типа Лоренца

$\begin{gathered} dy^\alpha = \gamma (dx'^\alpha + \frac{{V^\alpha }} {{V^1 }}dx'^1 ), \hfill \\ dy^1 = \gamma (dx'^1 + \frac{1} {{V_1 }}V^\alpha dx'_\alpha )\quad \quad (2) \hfill \\ \end{gathered}$ ,
где $\gamma = (1 - \frac{{V^\alpha V_\alpha }} {{(V^1 )^2 }})^{ - 1/2}$ - константа движения. Но так как получаемая нами система отсчета с метрикой $(**)$ оказывается условно неподвижной, то и всякое ее преобразование вида (2) может перевести ее только в себя. Поэтому все системы отсчета, соответствующие преобразованию координат (2) будут физически неотличимы, как разные "местные" представления одной и той же условно неподвижной системы отсчета. Между тем каждая система с $g^' _{ab}$ не есть реальная инерциальная система типа (*), а только "лабораторная", с координатами $y^a$ , в которой геометрия и времени и пространства эвклидова (точнее нужно сказать псевдоэвклидова). Такие разные "лабораторные" системы тождественны, как тождественны их метрики (**). Вообще же геометрия пространства-времени, а не геометрия 3-пространства, в $X^{(4)}$ разных инерциальных систем различна, или относительна, если различны значения коэффициентов движения при произведениях дифференциалов координат. Иначе говоря, мы не можем ввести глобально ортогональную четырехмерную систему координат, но могли бы ввести такую трехмерную, а потому свойства времени в разных инерциальных системах вообще различны. Напротив, свойства течения времени во всех "лабораторных" системах с метрикой (**) должны выглядить одинаковыми, ибо формальное преобразование (2) - это не физическое условие, а только условный выбор координат; таким физическим условием может быть только связанное с геометрией 4-пространства, задаваемое, к примеру, метрикой (*). Время, текущее в данной точке в $X^{(4)}$ определяется соответственно преобразованиями (1), но не преобразованиями (2), где $y^1$ - это только координатное время, не связанное со свойствами реальной метрической структуры на $X^{(4)}$ .
Описание состояние движения любой физической частицы в пространстве-времени кинематически полностью определяется заданием 8 величин: 4 координатами определяющими положение на карте движения и 4 проекциями скорости частицы, то есть первыми производными этих координат по времени. Зная эти начальные данные мы определим поведение физической частицы в будущем. Однако такое определение подойдет только для рассмотрения движения в фоновом пространстве с фиксированной геометрической структурой. Собственно, геометрия движения частицы должна определяться этим же набором параметров, или его частью, задающих состояние движения в любой последующий момент времени. Если 3-пространство однородно и изотропно, то оно не будет зависеть ни от 4-координат, ни от проекций скоростей. Однако эти рассуждения уже не применимы к пространству-времени; последнее при этом, вообще, может быть и не изотропным, не нарушая привычной эвклидовости 3-пространства. Достаточно, чтобы форма $g^{(4)}$ вырождалась в нерелятивистском пределе. Тогда $g^{(3)}$ будет уже глобально описываться преобразованиями (2) ( но не преобразованиями (1)! ), при $\gamma = 1$ ; в этом случае также приближенно $t \approx t'$ . А в $E^{(3)}$ они эквивалентны преобразованиям Галилея.

Munin · 30/01/06 72407

Mister-X писал(а):

Ясно, что в матрице $\Gamma ^{ - 1}$ мы не можем положить $\frac{\upsilon } {c} \to 0$ .

Зато можно рассматривать инфинитезимальные матрицы преобразований, которые отличаются от единичной на бесконечно малую. Дальше с использованием того, что все эти преобразования образуют соответствующие группы, можно перейти сразу к результатам для произвольных преобразований, возведя инфинитезимальные в экспоненту $(1+\delta A\to\exp A).$ Это довольно мощный приём, и широко использующийся.

Mister-X писал(а):

Но так как получаемая нами система отсчета с метрикой $(**)$ оказывается условно неподвижной, то и всякое ее преобразование вида (2) может перевести ее только в себя.

Не в себя, а в другую условно неподвижную. Она может и не совпадать с первой.

Mister-X писал(а):

Вообще же геометрия пространства-времени, а не геометрия 3-пространства, в $X^{(4)}$ разных инерциальных систем различна, или относительна, если различны значения коэффициентов движения при произведениях дифференциалов координат.

Осталось вам посчитать и убедиться, что при преобразованиях (2) "коэффициенты движения" не могут быть различны (кстати, они называются не коэффициентами движения, а недиагональными членами метрического тензора). Это аннулирует дальнейшие рассуждения, основанные на этом различии.

Mister-X писал(а):

Время, текущее в данной точке в $X^{(4)}$ определяется соответственно преобразованиями (1), но не преобразованиями (2), где $y^1$ - это только координатное время, не связанное со свойствами реальной метрической структуры на $X^{(4)}$ .

Время вообще определяется не преобразованиями, а метрикой (у вас $g^{(4)}$ ). Так что точный расчёт времени показывает, что как раз $y^1$ - истинное время, а как раз $x^1$ - только координатное.

Вот такие пироги.

Mister-X · 01/10/08 45

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

Ясно, что в матрице $\Gamma ^{ - 1}$ мы не можем положить $\frac{\upsilon } {c} \to 0$ .

Зато можно рассматривать инфинитезимальные матрицы преобразований, которые отличаются от единичной на бесконечно малую. Дальше с использованием того, что все эти преобразования образуют соответствующие группы, можно перейти сразу к результатам для произвольных преобразований, возведя инфинитезимальные в экспоненту $(1+\delta A\to\exp A).$ Это довольно мощный приём, и широко использующийся.

Это понятно. Но инфинитезимальные преобразования пространства и времени следовало бы рассматривать в теории 4 измерений как приближающие к простым преобразованиям Галилея, образующих тогда инфинитезимальную подгруппу в этой теории.

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

Но так как получаемая нами система отсчета с метрикой $(**)$ оказывается условно неподвижной, то и всякое ее преобразование вида (2) может перевести ее только в себя.

Не в себя, а в другую условно неподвижную. Она может и не совпадать с первой.

Да, она, будучи местной, не совпадает с первой. Но это не существенно, так как обе - физически эквивалентны и изоморфны. А изоморфизмом и одновременно изометрией выступает преобразование (2).

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

Вообще же геометрия пространства-времени, а не геометрия 3-пространства, в $X^{(4)}$ разных инерциальных систем различна, или относительна, если различны значения коэффициентов движения при произведениях дифференциалов координат.

Осталось вам посчитать и убедиться, что при преобразованиях (2) "коэффициенты движения" не могут быть различны (кстати, они называются не коэффициентами движения, а недиагональными членами метрического тензора). Это аннулирует дальнейшие рассуждения, основанные на этом различии.

Но я не писал, что "...при преобразованиях (2) "коэффициенты движения" могут быть различны...(контекст тот же)"; коэффициентами движения являются $g_{1b}(f)$ в $X^{(4)}$ , среди которых один диагональный. Они, вообще, численно меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой, ибо последние движутся относительно друг друга, вообще, с разными скоростями. $g'_{ab}$ , соответствующие двум локально не совпадающим системам координат, переходят в себя при преобразованиях (2), так как последние не задействуют глобальной метрики $X^{(4)}$ и действуют только на собственных координатах; из данной системы отсчета K с метрикой

$ds^2 (K) = g_{11} (dx^1 )^2 - dx^\alpha dx_\alpha + 2g_{1\alpha } dx^1 dx^\alpha$ мы можем несколькими эквивалентными способами перейти к инерциальной системе с локальной метрикой
$g'_{ab} = diag(1, - 1, - 1, - 1)$ , то есть выбор неоднозначен с точностью до изоморфизма (2). Условно неподвижная система переводится в движущуюся относительно исходной с той же метрикой, то есть в условно неподвижную. Различие между ними иллюзорно.

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

Время, текущее в данной точке в $X^{(4)}$ определяется соответственно преобразованиями (1), но не преобразованиями (2), где $y^1$ - это только координатное время, не связанное со свойствами реальной метрической структуры на $X^{(4)}$ .

Время вообще определяется не преобразованиями, а метрикой (у вас $g^{(4)}$ ). Так что точный расчёт времени показывает, что как раз $y^1$ - истинное время, а как раз $x^1$ - только координатное.

Да, у меня здесь смысловая оплошность. Но $dx^1 '$ есть собственная координата, зависящая от метрики $g_{ab}$ , то есть собственное время или время текущее в данной точке. Обычными координатами являются $x^a$ , и здесь у меня действительно неточность: $y^1$ тоже собственное время, которое течет также как $x'^1$ , но в метрике $g'_{ab}$ , если толко ее и рассматривать, это будет только координата. Соответственно, преобразования (1) определяют физические время и расстояние. Преобразование же (2) ничего не определяет, кроме произвола в выборе локальной инерциальной системы отсчета.

P.S. Ааа...пироги с котятами иль без?

AlexNew · 28/06/08 1706

Mister-X писал(а):

Иначе говоря, мы не можем ввести глобально ортогональную четырехмерную систему координат, но могли бы ввести такую трехмерную, а потому свойства времени в разных инерциальных системах вообще различны. Напротив, свойства течения времени во всех "лабораторных" системах с метрикой (**) должны выглядить одинаковыми, ибо формальное преобразование (2) - это не физическое условие, а только условный выбор координат;

вам вопрос на засыпку, как отличить метрику от криволинейности системы координат? вы постоянно путаете одно с фругим отуда и ваши чудные "изоморфизмы"
кстати вовсе не очевидно что пpямое и обратное ваше преоброзование являются "гомоморфизмом" - определение изоморфизма.

Mister-X писал(а):

Описание состояние движения любой физической частицы в пространстве-времени кинематически полностью определяется заданием 8 величин: 4 координатами определяющими положение на карте движения и 4 проекциями скорости частицы,

есть только 3 проекции скорости

Mister-X писал(а):

...собственная координата, зависящая от метрики \[ g_{ab} \], то есть собственное время или время текущее в данной точке....

есть идея для следущих ваших работ, можно ввести метрику учитывающую распределени температур в вашем городе каким либо образом, а потом с помощью "изоморфных" преоброзований координат избавится от этого учета в конечном ответе

Научный форум dxdy

Небольшое эссе к знатокам теории относительности.

Кто сейчас на конференции