Небольшое эссе к знатокам теории относительности.

[homounsapiens]

Mister-X в сообщении #148285 писал(а):

От 1 до \infty.

Мде. И это в посте, где вы тщились доказать что-то про (3+1) мерность Минковского...

[AlexNew]

Munin писал(а):

Да, я транспонирование не там поставил.

не важно где ставить, это зависит от направлению вращения
(замечание Mister-X про учебник-молебник верное, только чур без обид )

Munin писал(а):

А обратная возникает для матриц преобразований (операторов):

чем отличается матрица квадратичной формы от линейного оператора
(проверка аксиом вас приятно удивит )

Munin писал(а):

На тензорном языке квадратичные и билинейные формы - дважды ковариантные тензоры, а преобразования - один раз контра- и один раз ковариантные.

ну и что ? у вас 2 дуальных пространсытва - 2 типа индексов, причем зесь транспонитование и обратная матрица? все работает как и всегда. Тензоры - полилинеиные формы (функционалы) по векторам обоих пространств

и так, берем ручки и записываем:
транспонированная матрица (оператор) описывает вращение (сохранение нормы) (пример метрический тензор)
обратная - общий вид лин преоброзований.

кстати "физический (физикоклассический желательно)" тензор третьего и более ранга, что за зверь такой ???? (пример интерисует)

[Munin]

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):

не важно где ставить, это зависит от направлению вращения
(замечание Mister-X про учебник-молебник верное, только чур без обид

Неверное, я вообще учебника не открывал, всё по памяти (из-за этого и путаюсь по мелочам). Направление всё-таки надо учитывать. И активность-пассивность надо учитывать.

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):

чем отличается матрица квадратичной формы от линейного оператора
(проверка аксиом вас приятно удивит )

Как минимум, законом преобразования. Рассматривайте форму не как матрицу, а как геометрический объект.

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):

у вас 2 дуальных пространсытва - 2 типа индексов, причем зесь транспонитование и обратная матрица?

Произнесите вместо "транспонирование" - "сопряжение", а вместо "обратная матрица" - "обратное преобразование", станет яснее. Могу специально для вас формулы с $\mathrm{T}$ на $\dagger$ переписать :-)

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):

и так, берем ручки и записываем:
транспонированная матрица (оператор) описывает вращение (сохранение нормы)

Увы, вращение описывает не транспонированная матрица, а ортогональная, которая определяется как обратная своей транспонированной $O^{\mathrm{T}}O=E\equiv1.$

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):

кстати "физический (физикоклассический желательно)" тензор третьего и более ранга, что за зверь такой ???? (пример интерисует)

В кристаллофизике такие бегают. Например, есть какой-нибудь тензорный коэффициент, механический, электрический, оптический или ещё какой-то. И есть физическое влияние одних свойств на другие, например, пьезоэффект. Приближённо и часто в феноменологии - линейное. Вот и получаются тензоры 4, 6 и т. п. рангов.

[Mister-X]

Munin писал(а):

В каких случаях она применима, а в каких неприменима, этому я посвятил предыдущее своё сообщение. Жаль, что вы его не читали, иначе бы знали, что формула не только общепринята, но и очевидна.

Только для ортонормированного базиса, когда

\[ U \]

ортогональная матрица, если

\[ B \]

билинейная форма.

Munin писал(а):

Вы идиот или как? Я просил вывод другого соотношения, которое у вас было раньше:

\[ g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma \]

. Кстати, ваш "вывод" - это простая путаница

Да, виновен, было дело.

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

И вообще, если что, мы перемножаем квадратные невырожденные матрицы, а не прямоугольные, чтобы их зачем-то было транспонировать.

То есть вы вообще не в курсе, зачем квадратные матрицы транспонируют?

Да, в курсе. Только поздно.

Munin писал(а):

Скучно. Я вам пытаюсь объяснить, где ваша ошибка, а оказывается, что вы и более базовыми знаниями не обладаете, чтобы эти объяснения понять. Скоро выяснится, что вы и правил арифметики не знаете. С таким набором знаний не про галилеевы системы отсчёта рассуждать.

Ошибки вполне ясны. Спасибо за помощь.
Кстати, я отредактировал предыдущие сообщения, содержащие недостойные высказывания в ваш адрес. Приношу извинения за такую бестактность.
У меня вопрос: при транспонировании матрица преобразований

\[ \Lambda \]

не меняется, то есть должна быть симметричной. Это совместимо с ортогональностью?

[Munin]

Mister-X в сообщении #148437 писал(а):

Только для ортонормированного базиса, когда $U$ ортогональная матрица, если $B$ билинейная форма.

Вот-вот, а для неортогональной верно не ваше $B'=U^{-1}BU,$ а $B'=U^{\mathrm{T}}BU.$

Mister-X в сообщении #148437 писал(а):

Да, виновен, было дело.
Да, в курсе. Только поздно.
Ошибки вполне ясны. Спасибо за помощь.
Кстати, я отредактировал предыдущие сообщения, содержащие недостойные высказывания в ваш адрес. Приношу извинения за такую бестактность.

И вправду поздно: я вам больше не верю, всё время буду ожидать аналогичных взбрыков. Так что, как вы говорили, buon viaggio.

Mister-X в сообщении #148437 писал(а):

У меня вопрос: при транспонировании матрица преобразований $\Lambda$ не меняется, то есть должна быть симметричной. Это совместимо с ортогональностью?

Здесь момент тонкий, здесь заканчивается до сих пор гладкая аналогия между матрицами и операторами-тензорами. А именно, в псевдоевклидовом пространстве свойства транспонированной матрицы наследуются операцией взятия сопряжённого преобразования, то есть задействующей метрику, через правило поднятия и опускания индексов. В нормированном базисе это правило есть умножение на $(+1,-1,-1,-1)$ (так надо поступить и с индексом строк, и с индексом столбцов), то есть сопряжение матрицы есть

$$a^\dagger=\left(\begin{array}{cccc}a_{00}&-a_{10}&-a_{20}&-a_{30}\\-a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}\\-a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}\\-a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right).$$

Применительно к преобразованиям Лоренца это даёт:

$$\Lambda^\dagger=\left(\begin{array}{cc}\gamma&-\gamma v\\-\gamma v&\gamma\end{array}\right),$$

так что

$$\Lambda^\dagger\Lambda=\gamma^2\left(\begin{array}{cc}1-v^2&0\\0&1-v^2\end{array}\right)=1.$$

Вуаля: при "транспонировании" (сопряжении) матрица $\Lambda$ изменилась, и при этом в точности выполнилась ортогональнось. Заодно и физический смысл на месте: транспонированная ортогональная матрица осуществляет вращение в пространстве на противоположный угол, а матрица Лоренца - буст на противоположную скорость.

[Mister-X]

Merci bien. Теперь все ясно, это как при эрмитовом сопряжении, только матрица не унитарна, а ортогональна, в силу вещественности пространства. Не обратил внимание на то, что пространство не эвклидово (Ce's la vie!).
Зато, что-то с матрицей 3-мерных преобразований не клеется (не затрагивающих время). Если базис всегда ортонормирован, то его матрицы

\[ \begin{gathered} g' = g, \hfill \\ \Gamma ^T = \Gamma ^{ - 1} \hfill \\ \end{gathered} \]

. При этом

\[ \begin{gathered} x = x'\Gamma , \hfill \\ x' = x\Gamma ^{ - 1} \hfill \\ \end{gathered} \]

. Если

\[ \Gamma \]

матрица вращений

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 0 \\ {\sin \theta } & {\cos \theta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

, то очевидно

\[ \Gamma ^T = \Gamma ^{ - 1} \]

и метрика не меняется при преобразовании координат туда и обратно. А как эту матрицу записать для галилеевых преобразований не тригонометрически, считая

\[ t \]

параметром?

[Munin]

Mister-X в сообщении #148468 писал(а):

А как эту матрицу записать для галилеевых преобразований не тригонометрически, считая $t$ параметром?

А вот никак. Я сразу сказал. Преобразование Галилея не есть однородное линейное преобразование 3-пространства, оно всегда затрагивает время. В 4-пространстве всё очевидно ($t$ на первом месте):

$$\Gamma=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\v_x&1&0&0\\v_y&0&1&0\\v_z&0&0&1\end{array}\right).$$

При этом вводить 4-мерный метрический тензор не обязательно, если вас это смущает. $\Gamma^{-1}=\Gamma(-\mathbf{v})$ играет роль сопряжённого преобразования в галилеевской механике, но очевидно, что при этих преобразованиях не сохраняется норма 4-векторов, так что галилеевская механика не 4-инвариантна.

[Mister-X]

Странно, что на это не обратили серьезного внимания до создания СТО. Невозможность ввести матрицу преобразований от одной системы отсчета к другой непосредственна связана с интерпретацией t как параметра. Если бы не этот антагонизм, я бы с вами, пожалуй, еще поспорил, но теперь это уже идиотизм. Я был абсолютно уверен, что такая матрица должна существовать в силу принципа соответствия. Если бы только не закон преобразования n-форм!

[Munin]

Mister-X в сообщении #148475 писал(а):

Странно, что на это не обратили серьезного внимания до создания СТО.

А тогда не было понятно геометричности механики, столь прозрачно, как это понятно сегодня. И геометрия тогда не была столь развита, чтобы анализировать пространства типа пространства-времени галилеевой механики.

[AlexNew]

Munin писал(а):

А именно, в псевдоевклидовом пространстве свойства транспонированной матрицы наследуются операцией взятия сопряжённого преобразования, то есть задействующей метрику, через правило поднятия и опускания индексов.

Наверное вы под сопряжением понимаете учет метрики? не транспонирование и комплексное сопряжение, а действие метрического тензора? тоесть "метрическое" сопряжение а не комплексное? хмммм... (чешу затылок)
кстати если $$\Lambda действительная, то

$$\Lambda^\dagger\Lambda=1.$$

верна только для транспонитования

$$(\dagger) = (T)$$

(легко доказать)
если $$\Lambda комплексная то можно поигратся, а именно взять комплексное сопряжение, метрику в эту матрицу не засунуть, она останется внешней по отношению к вращениям.

Munin писал(а):

В кристаллофизике такие бегают. Например, есть какой-нибудь тензорный коэффициент, механический, электрический, оптический или ещё какой-то. И есть физическое влияние одних свойств на другие, например, пьезоэффект. Приближённо и часто в феноменологии - линейное. Вот и получаются тензоры 4, 6 и т. п. рангов.

обычно тензор - это оператор деиствующий на вектор, поэтому второй ранг, если ранг больше тензор действует на другой тензор, не помню таких мудреных законов физики ;(

[вздымщик Цыпа]

AlexNew в сообщении #148494 писал(а):

обычно тензор - это оператор деиствующий на вектор

Тензор — это линейный оператор, действующий на $n$ векторов и в результате дающий $m$ векторов. Под «нулем» векторов понимается скаляр. Тензор кривизны, к примеру, действует на 3-х векторах, и в результате дает 1, Собственно вектор (тоже тензор) действует на скаляре и дает самого себя, умноженного на этот скаляр.

[AlexNew]

Цитата:

Тензор — это линейный оператор, действующий на векторов и в результате дающий векторов...

это всем хорошо итак известно...
вопрос был про пример тензора ранга >= 3
Тензор кривизны -не интересно , хочется что нибудь поближе к реальности. Интерисуют именно физические а не метофизические тензоры
что нибудь из области "потрогать руками".
тут это офтопк поэтому наверное не стоит сильно обсуждать этот вопрос

[вздымщик Цыпа]

AlexNew в сообщении #148538 писал(а):

Тензор кривизны -не интересно , хочется что нибудь поближе к реальности. Интерисуют именно физические а не метофизические тензоры

Куда уж ближе? Берете вектор, двигаете его по периметру бесконечно малого прямоугольника, заданного еще двумя векторами, получаете вектор-результат. По-моему, физичнее некуда

[AlexNew]

нет, физический тензор это такой, про который есть какой нибудь физический закон, про кривизну я только ОТО знаю

[Mister-X]

Как на счет симметричного тензора 6-польного момента системы зарядов.