Как именно отличить науку от не-науки?

[zbl]

Xaositect писал(а):

zbl в сообщении #149287 писал(а):

Единственный выход, наверное, -- считать, что всё что угодно состоит из подходящей комбинации пустых множеств...

Это не так ужасно, как кажется.

А это не будет равносильно утверждению, что всё что угодно состоит из ничего, взятого в разных комбинациях?

[Xaositect]

zbl писал(а):

Xaositect писал(а):

zbl в сообщении #149287 писал(а):

Единственный выход, наверное, -- считать, что всё что угодно состоит из подходящей комбинации пустых множеств...

Это не так ужасно, как кажется.

А это не будет равносильно утверждению, что всё что угодно состоит из ничего, взятого в разных комбинациях?

Скорее это будет значить, что мы повесили на каждый стул(атом, идею) во Вселенной мысленную табличку с множеством.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Класс всех множеств еще иногда называют вселенной теории множеств. (выделение моё)

"Вселенной" это никто не называет. Термины "universe" и "universum" обычно не переводят, а так и пишут --- "универсум". Если же переводят, то переводят как "носитель" (в теории моделей).

[Xaositect]

Профессор Снэйп писал(а):

Xaositect писал(а):

Класс всех множеств еще иногда называют вселенной теории множеств. (выделение моё)

"Вселенной" это никто не называет. Термины "universe" и "universum" обычно не переводят, а так и пишут --- "универсум". Если же переводят, то переводят как "носитель" (в теории моделей).

Замечание принимается. Просто я думал, что термин "универсум" используют, если рассматривают ограниченную теорию множеств, а universe - это другой термин.

[pc20b]

Someone в сообщении #149191 писал(а):

Парадокс Рассела показывает, что "множество" всех множеств - не множество.

Парадокс Рассела, как и любой парадокс, не может ничего "показывать". Странно слышать такое от знатока.

[AD]

pc20b писал(а):

Парадокс Рассела, как и любой парадокс, не может ничего "показывать".

Есть такая штука - называется "доказательство методом "от противного"". Проходили?

[pc20b]

AD в сообщении #149361 писал(а):

Проходили?

Парадокс Рассела не является доказательством того, что МВМ - не множество. Надо, наверно, всё же не "проходить", а думать.

[Someone]

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Конечно, собеседник в таком случае должен быть настроен на конструктив; я, по-Вашему, не настроен?

На мой взгляд, Вы либо не настроены на конструктивное обсуждение, либо совсем некомпетентны в данном вопросе.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Проблема, теперь только в том, по какому принципу отличать другие не-множества от множеств.
Либо, множество всех множеств единственное такое не-множество?

Здесь упоминалась теория множеств NGB. Основными объектами этой теории являются классы. Множество - это класс, который является элементом какого-нибудь класса.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Я и говорю, что всё зависит от того, как понимать полную формальность.
Если, как формальность формальной логики, то всё в порядке (кроме теоремы Геделя с оговорками по моей плавающей терминологии).

Я понимаю формальную теорию так, как это принято в математике. А Вы как?

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Было время (относительно недавно) когда считалось, что существует такая система аксиом, в которой можно доказать вообще любое утверждение;

Система, "в которой можно доказать вообще любое утверждение", противоречива и, с точки зрения математики, никакого интереса не представляет. Подозреваю, что Вы хотели сказать что-то другое.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Но сама применимость правил вывода (тот факт, что рассуждения действительно будут "правильными") совсем не очевидна и полагается как само собой разумеющееся, исходя только из пресловутого здравого смысла (философии).

Нет. Здравый смысл и философия здесь ни при чём. В формальной теории правила вывода задаются, и никаких сомнений в их применимости нет. Просто по определению. Все сомнения остаются за пределами формальной теории. Я уже об этом говорил.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Например, сами аксиомы нужно будет откуда-то брать

Этот вопрос также не имеет отношения к формальной теории. В ней аксиомы просто есть. Откуда Вы их возьмёте - это Ваша проблема, а не проблема формальной теории.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Кстати говоря, Вы не задумывались, почему машинный вывод новых теорем неизменно приводил к одному и тому же результату: система в какой-то момент останавливалась в своём развитии?

Я не в курсе. Я читал, что компьютерная программа доказательства теорем генерирует новые теоремы, но, с человеческой точки зрения, все эти теоремы совершенно не интересны. А доказать какую-нибудь теорему, интересную человеку, не удаётся. А живые математики каким-то образом ухитряются находить и доказывать интересные теоремы.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Логическим путём вы только лишь проверяете истинность или ложность утверждений -- из этого процесса вас можно, в принципе, исключить.
Узнать истинно ли некоторое новое утверждение вы только таким путём не сможете (по теореме Геделя).

Ерунда какая-то. Исключить меня пока не удаётся. И я не согласен, что моя деятельность не даёт нового знания. Если я сформулировал и доказал новую теорему, которую ранее никто не знал, это по всем человеческим критериям есть новое знание. Несмотря на то, что "в принципе" эта теорема выведена из аксиом, сформулированных задолго до моего рождения.

Причём тут теорема Гёделя - совершенно непонятно. Что Вы называете "новым" утверждением? Разумеется, я могу "набрести" на утверждение, которое в данной формальной системе недоказуемо и неопровержимо, но Вы, как мне кажется, имеете в виду что-то другое.

zbl в сообщении #149211 писал(а):

Теория нужна, чтобы получить новое точное и достоверное знание (причём, не одним только логическим путём), а как по-Вашему?

Теория (если это не болтология) состоит из некоторых исходных положений, из которых логическим путём выводятся другие утверждения. То, что логическим путём не выводится, не может быть получено из данной теории. Такое положение, кстати, не только в математике.

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Строго говоря, противоречие -- это, когда утверждение можно одновременно и доказать, и опровергнуть (теорема Геделя такого не утверждает).
Но велика ли разница между тем, что можно и доказать, и опровергнуть и тем, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть?
Разница есть (совместность либо противоречивость аксиоматики), но принципиальна ли она в контексте того, зачем теория требуется?

Я всё-таки не понял, что значит - "велика ли разница?" Если теория противоречива, то в ней "доказуемо" любое утверждение, поэтому такая теория бессмысленна. Если в теории не любое утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть, то теория вполне может быть полезной, поскольку хоть что-то она доказать позволяет.

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Но, если все множества будут составляться только из пустого множества, так не получится множество стульев, например.

Стулья не являются объектами теории множеств, и им не обязательно в этой теории появляться. Если Вам позарез нужны множества стульев, рассмотрите теорию множеств с атомами. Атомами в теории множеств называют объекты, которые могут быть элементами множеств, но сами множествами не являются. Например, берёте все стулья и объявляете их атомами. Другой вариант - ограничиваетесь стандартной теорией множеств ZFC или NGB и в её рамках некоторые множества называете "стульями" (обычно такой подход вполне достаточен; математический анализ, например, строится "на ура").

zbl в сообщении #149287 писал(а):

Ещё бы: просто замена стульев на множества атомов, из которых они состоят.

Вы неправильно поняли термин "атом".

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Можно было бы и просто ввести в качестве аксиомы утверждение "множество всех множеств -- это не множество и только оно", и поступить аналогично с другими парадоксами.

Нельзя. Всё время будут "вылезать" парадоксы. Требуется более радикальное решение.

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Подобно можно из логики предикатов исключить недоказуемые утверждения (по самому этому признаку).

Нельзя. Вы не сможете описать синтаксис языка. Да и зачем их исключать? Ещё одна проблема: если высказывание $A$ доказуемо, то $\neg A$ - недоказуемо (если, конечно, теория непротиворечива), и $\neg A$ придётся исключить. А если доказуемо $\neg A$, то исключить придётся $A$, и ситуация становится совсем весёлой.

zbl в сообщении #149239 писал(а):

В случае же теории множеств нам нужно предельно общее понятие множества ("множества чего угодно").

Кому оно нужно и зачем? Занимаюсь математикой чуть не всю жизнь, и ни разу не испытывал потребности в "множестве чего угодно". Для математических нужд в большинстве случаев достаточно множеств, построенных на основании аксиом ZFC, исходя из пустого множества (даже атомы не нужны).

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).

???

zbl в сообщении #149279 писал(а):

Вы предлагаете выход из затруднений, я на это предлагаю более простой выход: игнорировать затруднения.
По крайней мере, это логичный выход.

Это не выход. Фактически Вы заявляете: "пусть теория будет противоречивой, не будем обращать на это внимание".

zbl в сообщении #149279 писал(а):

Затруднения появляются не потому, что нам захотелось их найти на свою некоторую часть тела, а потому, что нам требуется чего-то добиться, но не выходит.

Чего именно Вы хотите добиться и зачем?

P.S. Прошу прощения за некоторые повторы ранее сказанного другими участниками.

Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:

AD писал(а):

pc20b писал(а):

Парадокс Рассела, как и любой парадокс, не может ничего "показывать".

Есть такая штука - называется "доказательство методом "от противного"". Проходили?

AD, не обращайте на него внимания, а то он всю тему загадит своими глупостями. Он уже широко "отметился" в физике, биологии, филологии, ..., теперь решил взяться за математику.

[luitzen]

Someone писал(а):

Нет. Здравый смысл и философия здесь ни при чём. В формальной теории правила вывода задаются, и никаких сомнений в их применимости нет. Просто по определению. Все сомнения остаются за пределами формальной теории. Я уже об этом говорил.

Представьте, Someone, что Вам дана формула длиною в милю. Как с ней работать? Прежде можно было сказать, что мы абстрагируемся от подобных неприятностей, что некоторая необозримость такой формулы — это пресловутый «человеческий фактор» и т. д. Нынче же упомянутые Вами «сомнения» сами являются предметом некоторых теорий, и всякий вправе потребовать от этих теорий разрешения этих сомнений. При применении же этих теорий (а речь идёт о теории формальных языков, распознавании образов и т. п.) возникают ещё «сомнения», и так без конца.

Проще говоря, пиетет перед словом «формальный» может быть разрушен одним простым вопросом: почему этот символ $A$ обозначает то же самое, что и этот символ $A$.

[pc20b]

Someone в сообщении #149405 писал(а):

AD, не обращайте на него внимания, а то он всю тему загадит своими глупостями.

Если бы Вы были уверены в своей правоте (в частности, в доказательстве отсутствия МВМ), Вы бы до такой глупости (извините, мудрости) не возвышались.

[zbl]

Вот тут наврал:

zbl писал(а):

Вы предлагаете выход из затруднений, я на это предлагаю более простой выход: игнорировать затруднения.
По крайней мере, это логичный выход.

Это не будет логично.
Хотелось предложить радикальный способ борьбы с парадоксами, но он выходит за рамки логики.

Добавлено спустя 2 часа 32 секунды:

Someone писал(а):

На мой взгляд, Вы либо не настроены на конструктивное обсуждение, либо совсем некомпетентны в данном вопросе.

Компетентность нужна тому, кто отвечает, а не тому, кто спрашивает, разве не так?

[Xaositect]

zbl в сообщении #149448 писал(а):

Компетентность нужна тому, кто отвечает, а не тому, кто спрашивает, разве не так?

Чтобы задать правильный вопрос, надо знать половину ответа.

[zbl]

luitzen писал(а):

Проще говоря, пиетет перед словом «формальный» может быть разрушен одним простым вопросом: почему этот символ $A$ обозначает то же самое, что и этот символ $A$.

А я то же самое говорил так: можно задать вопрос "почему из это можно сделать такой вывод?".

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Xaositect писал(а):

Чтобы задать правильный вопрос, надо знать половину ответа.

А зачем задавать весь вопрос сразу? можно и половину вопроса задать... ну, или именно ту часть, которая соответствует компетентности.

Добавлено спустя 53 минуты 30 секунд:

Someone писал(а):

Здесь упоминалась теория множеств NGB.

Наверно, не помешает напомнить, что с моей стороны речь шла исключительно об одном парадоксе и только том обстоятельстве, что раньше мне никто на простой вопрос не отвечал.
Не утверждалось, что этот парадокс нельзя исправить.
Однако, стоит обсудить момент, что значит наличие парадоксов (для тех, разумеется, кто считает, что они вообще есть) и что значит, что он устранён (или, что его и небыло).
Правда, с моей стороны скоро не обещаю...

Добавлено спустя 37 минут 26 секунд:

Someone писал(а):

Я понимаю формальную теорию так, как это принято в математике. А Вы как?

Someone, мне придётся предположить, что Ваше понимание формальности верное (именно такое, какое оно и есть в математике)? -- у меня нет для этого оснований.
Давайте, лучше просто сравним наши понимания формальности, а потом сравним их с общепринятым (понятно, лишь с точностью, как его мы и все присутствующие представляем).
Если одно из пониманий окажется идиотским, в том не будет ничего плохого, если его носитель не идиот.

Someone писал(а):

Система, "в которой можно доказать вообще любое утверждение", противоречива и, с точки зрения математики, никакого интереса не представляет. Подозреваю, что Вы хотели сказать что-то другое.

Я говорил, что не существует достаточно богатой непротиворечивой аксиоматики, в которой бы можно было доказать что угодно.
Разве это не то же самое?

Someone писал(а):

В формальной теории правила вывода задаются, и никаких сомнений в их применимости нет. Просто по определению. Все сомнения остаются за пределами формальной теории.

Я третий раз говорю то же самое: если так понимать формальность -- будет один результат, если же мы хотим задуматься, зачем, собственно, нам потребовалась формальность -- будет другой результат.
Потому только, что формальность нам нужна не ради неё самой (если это действительно так, разумеется).

Someone писал(а):

Исключить меня пока не удаётся. И я не согласен, что моя деятельность не даёт нового знания.

Такого и нет, но только потому, что Вы пользуетесь не только одной лишь логикой.

Someone писал(а):

Если я сформулировал и доказал новую теорему, которую ранее никто не знал, это по всем человеческим критериям есть новое знание.

А если никак не удаётся доказать? это Вы набрели на такую теорему, или всего лишь устали, и сделаете всё завтра с утра?
Но соглашусь: придётся различать новую информацию и новое знание -- вряд ли это удобно.

[Xaositect]

zbl в сообщении #149465 писал(а):

Я говорил, что не существует достаточно богатой непротиворечивой аксиоматики, в которой бы можно было доказать что угодно.
Разве это не то же самое?

Подозреваю, что Вам указывают в основном на словосочетание "что угодно".

[AD]

Someone в сообщении #149405 писал(а):

AD, не обращайте на него внимания, а то он всю тему загадит своими глупостями. Он уже широко "отметился" в физике, биологии, филологии, ..., теперь решил взяться за математику.

Спасибо за совет. Ну, короче, pc20b, вы не правы. Хотите поспорить - давайте в "помогите разобраться" в математическом разделе.