Как именно отличить науку от не-науки?

[Профессор Снэйп]

zbl писал(а):

Вы считаете, что логическое мышление не противоречиво по своей природе, или же, что Кант писал о другом?

Я считаю, что верно и то, и другое. То есть что логическое мышление не противоречиво и что Кант о его противоречивости не писал. Более того, я вообще не понимаю, что такое "противоречивость мышления". "Противоречивость множества утверждений" понимаю, "противоречивость логического исчисления" понимаю, а "противоречивость мышления" не понимаю.

Что касается теоремы Гёделя. Она утверждает (первая теорема, есть ещё и вторая), что эффективно перечислимая теория, содержащая арифметику Пеано, неполна. Каким боком это связано с "противоречивостью", я не знаю.

[zbl]

Someone писал(а):

Полностью формальную теорию построить можно, но с ней трудно работать.

Здесь всё зависит от того, как понимать "полностью".
Совсем полностью формальную нельзя -- к каждому шагу доказательства можно задать вопрос: "а откуда следует, что данный вывод действительно можно сделать?".
Если же ограничиться тем, зачем формализация нужна (точность), то формальная логика и есть полностью формальная теория (в том смысле, что человека, с его неформальностью, можно вовсе исключить из процесса рассуждений -- формализовать сам процесс рассуждения).

Someone писал(а):

Но ведь Вы не это имели в виду. Вы ведь хотите иметь формальную теорию, которая отвечала бы на все вопросы.

Именно.

Someone писал(а):

Ну, нет такой теории. И что?

Ничего фатального, но всёже есть мелкие последствия.

Someone писал(а):

Почему отсутствие "универсальной" формальной теории мешает получать новые знания?

Не "получить новое знание", а "получить новое знание одним только логическим путём".
На познаваемость реальности это вообще никак не влияет.

Someone писал(а):

Теорема Гёделя говорит лишь о том, что в достаточно богатой формальной теории существуют "истинные" утверждения, которые нельзя доказать, то есть, вывести из аксиом теории, пользуясь принятыми в ней правилами вывода. Я не понимаю, почему это обстоятельство следует рассматривать как противоречие или как препятствие к получению нового знания.

Строго говоря, противоречие -- это, когда утверждение можно одновременно и доказать, и опровергнуть (теорема Геделя такого не утверждает).
Но велика ли разница между тем, что можно и доказать, и опровергнуть и тем, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть?
Разница есть (совместность либо противоречивость аксиоматики), но принципиальна ли она в контексте того, зачем теория требуется?

Каким боком тут теорема Геделя? -- вот каким.
Нужно заметить, что в ней имеется в виду именно "достаточно богатая аксиоматика" -- в булевой логике, например, можно проверить любое высказывание, а в логике предикатов уже нет.
Моё утверждение в том состоит, что, если ещё больше "обогатить" аксиоматику (правда, такое расширение не сводится только к механическому увеличению числа аксиом), то в теории неизбежно появятся уже утверждения, которые можно и доказать, и опровергнуть -- настоящие противоречия.
Причина же всего в сущности едина.

Добавлено спустя 15 минут 54 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

логическое мышление не противоречиво и Кант о его противоречивости не писал.

По второму пункту очевиден вопрос "а что же он писал о мышлении?", но во-первых обсуждать содержание работ Канта лучше в отдельной теме (которая будет интересна разве что специалистам), а во-вторых, в книге каждый видит фигу собственной конфигурации -- необходимо лишь помнить, что у самого автора фига была тоже совсем другая.
Первый пункт выходит на уровень болтологической проблемы: если логическое мышление противоречиво, как тогда показать это логически? (одновременно будет и наличие, и отсутствие противоречий).

Профессор Снэйп писал(а):

я вообще не понимаю, что такое "противоречивость мышления".

Мышление -- процесс, противоречия -- побочный результат того процесса.
"Противоречивое мышление" -- это, как "глючное программирование": думаю, что смысл тут недвусмыслен...

Профессор Снэйп писал(а):

первая теорема, есть ещё и вторая

Я не делаю особого различия между ними (наверное, это может повлечь недорозумения).
Обе они имеют область применимости, а утверждают в сущности одно и то же.

Профессор Снэйп писал(а):

Каким боком это связано с "противоречивостью", я не знаю.

Я ответил выше (причём, тоже назвал это "боком").

Добавлено спустя 1 час 57 минут 49 секунд:

Michael2008 писал(а):

Если и были проблемы, то это с противоречивостью (например, парадокс Рассела, см. мой ответ АD). Похоже, что их преодолели (по крайней мере, каждый конкретный парадокс можно исключить)

Вот это я слышу не первый раз.
Когда спрашивал "так множество всех множеств -- это множество, или же нет?", даже отсылали к некоторым работам.
Когда же возвращался, не найдя ответ, брал за пуговицу и спрашивал ещё раз: "таки множество всех множеств множество или таки нет?", то неизменно пуговица оставалась в моих руках, а собеседник испарялся.
Так и не знаю до сих пор, множество оно или же нет...

[naiv1]

zbl в сообщении #148977 писал(а):

"множество всех множеств множество или таки нет?",

(выделение слова всех - мое)

А что означает всех? В каком смысле подразумевается?

[Профессор Снэйп]

zbl, Вы очень поверхностны. Причём мне показалось, что Вас удовлетворяет уровень собственных знаний, а разные неточности в собственных словах нисколько не смущают.

По-моему, это несерьёзно.

[pc20b]

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Так и не знаю до сих пор, множество оно или же нет...

Множество. Антиномия возникает в наивной теории множеств. Даже рассуждение $2^N$ неверное.

[Someone]

pc20b писал(а):

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Так и не знаю до сих пор, множество оно или же нет...

Множество. Антиномия возникает в наивной теории множеств. Даже рассуждение $2^N$ неверное.

Ещё один крупный "знаток" отыскался.

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Когда спрашивал "так множество всех множеств -- это множество, или же нет?", даже отсылали к некоторым работам.
Когда же возвращался, не найдя ответ, брал за пуговицу и спрашивал ещё раз: "таки множество всех множеств множество или таки нет?", то неизменно пуговица оставалась в моих руках, а собеседник испарялся.

Какой смысл объяснять что-либо собеседнику, который нахватался кое-чего по-мелочи, составил на этом своё собственное "компетентное" мнение и более никого не слушает?

Парадокс Рассела показывает, что "множество" всех множеств - не множество.

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Совсем полностью формальную нельзя -- к каждому шагу доказательства можно задать вопрос: "а откуда следует, что данный вывод действительно можно сделать?".

У меня появилось впечатление, что Вы не знаете, что такое формальная теория. "Данный вывод действительно можно сделать" в соответствии с аксиомами теории и правилами вывода. Вопрос о том, почему аксиомы теории и правила вывода именно такие, к самой теории ни малейшего отношения не имеет.

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Если же ограничиться тем, зачем формализация нужна (точность), то формальная логика и есть полностью формальная теория (в том смысле, что человека, с его неформальностью, можно вовсе исключить из процесса рассуждений -- формализовать сам процесс рассуждения).

Формальные теории нужны вовсе не для исключения человека из процесса рассуждений. И процесс автоматизации вывода новых теорем пока ничего интересного не дал (я помню восторги по поводу машинного доказательства отдельных простейших теорем из книги Клини по математической логике лет 30-40 назад).

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Не "получить новое знание", а "получить новое знание одним только логическим путём".

В математике мы только тем и занимаемся, что "получаем новое знание одним только логическим путём". А, например, в физике такой путь имеет ограниченные возможности. Достаточно посмотреть в разделе "Дискуссионные темы (Ф)" на сочинения всевозможных альтернативщиков.

zbl в сообщении #148977 писал(а):

Но велика ли разница между тем, что можно и доказать, и опровергнуть и тем, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть?
Разница есть (совместность либо противоречивость аксиоматики), но принципиальна ли она в контексте того, зачем теория требуется?

И зачем она, по Вашему мнению, требуется?

[zbl]

Профессор Снэйп писал(а):

zbl, Вы очень поверхностны. Причём мне показалось, что Вас удовлетворяет уровень собственных знаний, а разные неточности в собственных словах нисколько не смущают.

Именно так.
Я только для того тут и нахожусь, чтобы сделать эти поверхностные суждения и неверные заключения чуть более точными, приложив для этого поменьше усилий.
Задать вопрос тому, кто знает предмет получше, много проще, чем искать ответ самому.
И в таком деле, чем более глуп вопрос, тем больше можно узнать.
На научной конференции или в научной статье уровень суждений совсем другой, но на научном Internet-форуме, думается мне, только такой "глупый" подход и возможен.

Профессор Снэйп писал(а):

По-моему, это несерьёзно.

Это и не должно быть серьёзным, я и не предполагал быть серьёзным.
Или Вы считаете бесполезным, например, лишний раз пояснять себе (или другим) даже совсем очевидные вещи?
Конечно, собеседник в таком случае должен быть настроен на конструктив; я, по-Вашему, не настроен?

Добавлено спустя 42 минуты:

Someone писал(а):

Парадокс Рассела показывает, что "множество" всех множеств - не множество.

Исторически первый конкретный ответ -- я не шучу.
Проблема, теперь только в том, по какому принципу отличать другие не-множества от множеств.
Либо, множество всех множеств единственное такое не-множество?
Можете, кратенько это пояснить или отослать к легко доступному источнику, в котором ясненько это изложено?

Someone писал(а):

Вопрос о том, почему аксиомы теории и правила вывода именно такие, к самой теории ни малейшего отношения не имеет.

Я и говорю, что всё зависит от того, как понимать полную формальность.
Если, как формальность формальной логики, то всё в порядке (кроме теоремы Геделя с оговорками по моей плавающей терминологии).
Но мы-то обсуждали вопрос, что мешает получать новые знания только логически, не так ли?
Было время (относительно недавно) когда считалось, что существует такая система аксиом, в которой можно доказать вообще любое утверждение; на том основывались целые философские концепции, но теорема Геделя это перечеркнула (и потому она так популярна).
Для повседневных нужд правила вывода (и формальность в любом смысле) нужны только затем, чтобы делать "правильные" (точные) умозаключения.
Но сама применимость правил вывода (тот факт, что рассуждения действительно будут "правильными") совсем не очевидна и полагается как само собой разумеющееся, исходя только из пресловутого здравого смысла (философии).
В терминологии AD говоря, чтобы доказательство стало состоятельным (полезным) предварительно нужно много чего понаутверждать совсем не очевидного.
Например, сами аксиомы нужно будет откуда-то брать (из стоящей задачи, разумеется), и не существует нетривиальной системы аксиом, в которой бы любое утверждение было доказуемым.

Someone писал(а):

И процесс автоматизации вывода новых теорем пока ничего интересного не дал

Я имел в виду лишь машинное доказательство, а не получение новых знаний.
Кстати говоря, Вы не задумывались, почему машинный вывод новых теорем неизменно приводил к одному и тому же результату: система в какой-то момент останавливалась в своём развитии?

Someone писал(а):

В математике мы только тем и занимаемся, что "получаем новое знание одним только логическим путём".

Логическим путём вы только лишь проверяете истинность или ложность утверждений -- из этого процесса вас можно, в принципе, исключить.
Узнать истинно ли некоторое новое утверждение вы только таким путём не сможете (по теореме Геделя).
А есть ещё вопрос, откуда брать новые аксиомы и как формулировать гипотезы...

Someone писал(а):

И зачем она, по Вашему мнению, требуется?

Теория нужна, чтобы получить новое точное и достоверное знание (причём, не одним только логическим путём), а как по-Вашему?

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

naiv1 писал(а):

А что означает всех? В каком смысле подразумевается?

Правильный подход.
Сами по себе слова смысла не несут -- об их смысле люди договариваются в процессе коммуникации.
Думаете, мы с Вами по-разному понимаем "всех"?

[AD]

zbl писал(а):

Проблема, теперь только в том, по какому принципу отличать другие не-множества от множеств.
Либо, множество всех множеств единственное такое не-множество?
Можете, кратенько это пояснить или отослать к легко доступному источнику, в котором ясненько это изложено?

Например, в аксиоматике ZFC аксиомы примерно такие:

- есть пустое множество
- неупорядоченная пара $\{a,b\}$ множеств $a$ и $b$ - множество
- если $X$ - множество, а $\phi$ - свойство*, то $\{x\in X:\phi(x)\}$ - множество
...
- есть индуктивное множество
...

Т.е. некоторые аксиомы утверждают существование множества с данными свойствами, а другие позволяют из них собирать новые. Впрочем, там есть и другого рода аксиомы.

Таким образом, множество - это всё, что можно собрать, исходя из указанных аксиом. Например, по первой и второй аксиоме множествами будут являться $\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$ и $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$

"Множество всех множеств" вы таким образом собрать не сможете, потому что парадокс Рассела, например.

[zbl]

Спасибо AD, Вы делаете именно то, что мне нужно.

AD писал(а):

Таким образом, множество - это всё, что можно собрать, исходя из указанных аксиом. Например, по первой и второй аксиоме множествами будут являться $\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$ и $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$

Но, если все множества будут составляться только из пустого множества, так не получится множество стульев, например.
То есть, чтобы работать с множествами стульев, придётся в основание положить множество стульев (или воспользоваться изоморфизмом множеств).
И так дело сводится к тому, что фиксируется некоторое (вполне определённое) множество, а в качестве настоящих множеств рассматриваются только подмножества этого множества.

Можно было бы и просто ввести в качестве аксиомы утверждение "множество всех множеств -- это не множество и только оно", и поступить аналогично с другими парадоксами.
Подобно можно из логики предикатов исключить недоказуемые утверждения (по самому этому признаку).
Так не хочется делать и в том, и в другом случае только из-за того, как именно мы собираемся использовать полученное в результате.
В случае логики предикатов нам нужно, имея утверждение, уметь узнать, истинно оно или ложно (поэтому указанный признак несостоятелен, хотя и логичен; нужно идти другим путём -- каким и идёт формальная логика).
В случае же теории множеств нам нужно предельно общее понятие множества ("множества чего угодно").
Факт просто в том, что такого понятия не может быть -- невозможно ввести понятие множества, состоящего из чего угодно.
Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).

Может ли и то, и другое служить примерами тех трудностей, с которыми сталкивается (неизбежно) мышление (логическое), когда человек пытается добиться, в сущности, одного и того же?
А может ли статься, что причина подобных затруднений в природе самого мышления (что тут работает одно из его свойств)?

[Xaositect]

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Но, если все множества будут составляться только из пустого множества, так не получится множество стульев, например.
То есть, чтобы работать с множествами стульев, придётся в основание положить множество стульев (или воспользоваться изоморфизмом множеств).
И так дело сводится к тому, что фиксируется некоторое (вполне определённое) множество, а в качестве настоящих множеств рассматриваются только подмножества этого множества.

Можно рассматривать множества, которые строятся на основе не только пустого множества, а некоторой совокупности атомов, но ничего существенно нового при этом не получается.
Грубо говоря, мы можем обозначить все стулья с помощью множеств, полученных на основе пустого, и после этого рассматривать множества стульев.

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Можно было бы и просто ввести в качестве аксиомы утверждение "множество всех множеств -- это не множество и только оно", и поступить аналогично с другими парадоксами.

Есть теория NBG, которая помимо множеств рассматривает собственные классы - большие совокупности множеств, которые не являются множествами, например класс всех множеств, класс всех ординалов или класс Рассела.
Эта теория позволяет делать некоторые утверждения о собственных классах, но новых утверждений о множествах не дает.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

Если Вам интересна формальная теория множеств, могу посоветовать книгу Мендельсона "Введение в математическую логику"

[AD]

zbl писал(а):

И так дело сводится к тому, что фиксируется некоторое (вполне определённое) множество, а в качестве настоящих множеств рассматриваются только подмножества этого множества.

Это вы откуда сделали такой вывод? Может, еще и укажете это множество?

А еще:
1. Да, если хотите, чтобы непременно были стулья - вам Xaositect справедливо предложил теорию множеств с атомами.
2. Если непременно хотите рассмотреть все множества сразу (скажем, как это требуется в теории категорий), но не знаете, как это назвать - для вас вместо ZFC подойдет NBG (там можно произнести фразу "класс всех множеств").

Добавлено спустя 49 секунд:

Xaositect опередил и по пункту 2 тоже ...

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Фразы типа

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).

понимать отказываюсь.

[zbl]

AD писал(а):

Может, еще и укажете это множество?

Множество всех множеств, полученных таким способом?

Добавлено спустя 10 минут 5 секунд:

AD писал(а):

Фразы типа

zbl в сообщении #149239 писал(а):

Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).

понимать отказываюсь.

Вы предлагаете выход из затруднений, я на это предлагаю более простой выход: игнорировать затруднения.
По крайней мере, это логичный выход.
Затруднения появляются не потому, что нам захотелось их найти на свою некоторую часть тела, а потому, что нам требуется чего-то добиться, но не выходит.
Если не сформулировать достаточно точно, что именно нам нужно, то и разговор беспредметен.

[Xaositect]

zbl писал(а):

AD писал(а):

Может, еще и укажете это множество?

Множество всех множеств, полученных таким способом?

"Множество" всех множеств, построенных таким образом, не является множеством с точки зрения аксиоматической теории множеств.
Что значит эта фраза? По сути, она значит, что если мы будем действовать с этим объектом, как с привычным множеством, то мы придем к логическому противоречию.

Класс всех множеств еще иногда называют универсумом("вселенной") теории множеств. Вы ошибаетесь в том, что это вполне определенное множество, которое можно рассмотреть, потому что существуют разные универсумы, в которых одинаково выполняются все аксиомы теории ZFC.

[zbl]

Xaositect писал(а):

Можно рассматривать множества, которые строятся на основе не только пустого множества, а некоторой совокупности атомов, но ничего существенно нового при этом не получается.

Ещё бы: просто замена стульев на множества атомов, из которых они состоят.
Можно и сразу стулья взять, если нужны множества стульев.
Нужны же множества из чего угодно.
Единственный выход, наверное, -- считать, что всё что угодно состоит из подходящей комбинации пустых множеств...

Xaositect писал(а):

Есть теория NBG, которая помимо множеств рассматривает собственные классы - большие совокупности множеств, которые не являются множествами, например класс всех множеств, класс всех ординалов или класс Рассела.

А не проще просто не считать множество всех множеств множеством, как я предлагал?

[Xaositect]

zbl в сообщении #149287 писал(а):

Единственный выход, наверное, -- считать, что всё что угодно состоит из подходящей комбинации пустых множеств...

Это не так ужасно, как кажется.

zbl в сообщении #149287 писал(а):

А не проще просто не считать множество всех множеств множеством, как я предлагал?

Это ведет к противоречию(парадокс Кантора, если не ошибаюсь).
Неформально(!): Если мы рассмотрим любое множество, то множество его подмножеств будет (в некотором смысле) больше, чем это множество(теорема Кантора).
Значит, если рассматривать класс всех множеств как множество, то множество его подмножеств будет больше множества всех множеств.
Но нет ничего больше. чем множество всех множеств. Противоречие.

Если хотите, я могу провести это рассуждение с использованием формализма ZFC.