2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 17  След.
 
 
Сообщение09.10.2008, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17067
Москва
zbl в сообщении #149465 писал(а):
Наверно, не помешает напомнить, что с моей стороны речь шла исключительно об одном парадоксе и только том обстоятельстве, что раньше мне никто на простой вопрос не отвечал.


Наверное, не у тех спрашивали. Ответ этот известен около ста лет.

zbl в сообщении #149465 писал(а):
Но соглашусь: придётся различать новую информацию и новое знание -- вряд ли это удобно.


???

zbl в сообщении #149465 писал(а):
Такого и нет, но только потому, что Вы пользуетесь не только одной лишь логикой.


При поиске интересных теорем я действительно пользуюсь не одной логикой. Вообще трудно понять, чем я пользуюсь. Обычно я представляю себе объект исследования достаточно наглядно. Но доказательство я оформляю по правилам логики, и состоит это доказательство в демонстрации того, как новая теорема следует из ранее известных по правилам логики.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 00:13 
Заблокирован


26/03/07

2412
AD в сообщении #149574 писал(а):
Someone в сообщении #149405 писал(а):
AD, не обращайте на него внимания, а то он всю тему загадит своими глупостями. Он уже широко "отметился" в физике, биологии, филологии, ..., теперь решил взяться за математику.
Спасибо за совет. Wink Ну, короче, pc20b, вы не правы. Rolling Eyes Хотите поспорить - давайте в "помогите разобраться" в математическом разделе.

Давайте.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

Открыл там тему : "Помогите разобраться : МВМ".
http://dxdy.ru/topic16660.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 00:50 
Заслуженный участник


28/09/08
855
AD писал(а):
В-общем, почти всюду +1. :)

Не удивительно, так как вы же и натолкнули меня на эту мысль (чуть ранее уже писали о формализации:)).

zbl писал(а):
Суть вопроса была в том, что мне показалось, что основные понятия математики таки меняют свой смысл с течением времени.

Но, конечно, лучше бы привести пример чисто математической теории, которая была забыта из-за изобретения новой теории.

Можно поискать в интернете по фразам «первый (второй) кризис в математике».

Первый: Пифагорейцы строили картину мира, сводя все к натуральным (и их отношениям – рациональным) числам. Ими же была доказана иррациональность гипотенузы прямоугольного треугольника с единичными сторонами… - нашлось число, разрушающее все их прежние представления о мире. Сейчас даже школьники знают о существовании иррациональных чисел, это естественная часть картины мира.

Второй связан с бесконечно малыми (античный «парадокс» о том, что Ахилес никогда не догонит черепаху). Разрешился с введением понятия предельного перехода. Теперь это тоже на уровне старших классов средней школы.

А то что мы сейчас обсуждаем, оказывается, относится к третьему «кризису» в математике.
------------
Я бы отметил, что при разрешении кризисов не отрицается полученное раньше знание. Но взгляд на мир становится шире, и… он (мир) воспринимается иначе.

zbl писал(а):
Как раз хотел поговорить о тех силах, которые формируют мировоззрение, науке, вере в науку и не-науке, но споткнулся на невозможности отличить науку от не-науки

У меня сейчас тоже возник интерес к этой теме. Имея техническое образование, всерьез занялся гуманитарными «науками». Тяжело именно на мировоззренческом уровне.
К сожалению, времени на все не хватает. Было б здорово, если б кто-нибудь подсказал где копать.
Пока не знаю с какой стороны подойти. Обнаружил, что в МГУ кафедра логики на философском факультете… то есть, мат.логика лишь часть современной.

zbl писал(а):
Вот это я слышу не первый раз.
Когда спрашивал "так множество всех множеств -- это множество, или же нет?", даже отсылали к некоторым работам.
Когда же возвращался, не найдя ответ, брал за пуговицу и спрашивал ещё раз: "таки множество всех множеств множество или таки нет?", то неизменно пуговица оставалась в моих руках, а собеседник испарялся.
Так и не знаю до сих пор, множество оно или же нет...


Это не единственный парадокс. Более короткий и намного более древний: «Это утверждение ложно».

Проблему можно увидеть в «семантической замкнутости языка» (поищите по этой фразе). То есть, понятия языка им же и описываются.

Формальные языки эту проблему снимают - они просто не позволяют сформулировать парадоксальные утверждения.

Но философско(?) логическая проблема остается. Ведь формальные языки вводятся при помощи обычного (семантически замкнутого) языка.

Добавлено спустя 30 минут 5 секунд:

Someone писал(а):
Парадокс Рассела показывает, что "множество" всех множеств - не множество.


В таком случае, парадокс лжеца показывает, что фраза «это утверждение ложно» - не утверждение…?!

Я бы сказал, что парадокс Рассела указывает на проблемы языка на котором он сформулирован.

zbl писал(а):
А есть ещё вопрос, откуда брать новые аксиомы и как формулировать гипотезы...


Интересно, кто-нибудь рискнет пообсуждать? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:26 
Заблокирован


26/03/07

2412
AD в сообщении #149574 писал(а):
Ну, короче, pc20b, вы не правы. Хотите поспорить - давайте в "помогите разобраться" в математическом разделе.

Извините, но после того, как я по Вашему предложению открыл тему в "Помогите разобраться : МВМ" в математическом разделе "Помогите разобраться", она, пока Вас не было, переехала в раздел "Дискуссионные темы (М)" :
http://dxdy.ru/topic16660.html
О чем Вам и сообщаю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 11:01 
Экс-модератор


17/06/06
5004
pc20b, извините, что вовремя не заметил появления темы. Ну раз модераторы решили - так уж и быть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 11:04 
Заслуженный участник


28/09/08
855
Почитал тему про множества, малость поразмышлял :):
Michael2008 писал(а):
...они просто не позволяют сформулировать парадоксальные утверждения.

Какая-то неточная и глупая фраза получилась. Сформулировать в смысле записать с использованием символики - конечно возможно. Но если обнаруживается парадокс, неразрешимое противоречие - то причину исключают из рассмотрения (ведущее к парадоксу утверждение считают ложным). Это банально, доказательство от противного - один из основных методов.

Кое-что тут смущает… Еще пара примеров:

1) "Делить на ноль нельзя" и все тут. Сформулировать - в смысле записать, конечно, возможно. А делить – нельзя :). Можно и попытаться «доказать»: составить уравнение a*0=0=b*0, сократить на 0 и получить a=b для любых чисел – неразрешимое противоречие.

Вроде бы все нормально, не делим на 0 и получаем работающую арифметику. Так и было довольно долго, пока не стали работать с бесконечно малыми. Тогда рассматривать неопределенности 0/0 стало возможным. Даже символика сохранилась: пишут Lim f(х)=0 и поставить это в знаменатель – обычное дело.

Так можно делить на 0 или нельзя? Объяснить «по человечески» … трудно. А если формализовать, то проще. «0» в арифметике и «Lim f(х) = 0» – разные понятия, с ними по разному работают, хотя и про одно и про другое говорят «ноль».

2) Квадратный корень из отрицательных чисел – невозможен. Если в формуле (функции) есть корень – ищем область определения и рассматриваем только в ее пределах… С комплексными числами таких проблем нет. То есть, стали вкладывать другой смысл в понятие «число» и изменилось представление как о числах, так и о квадратном корне.

Это проблема многозначности языка. Формализация (введение новых понятий и их формальное описание) помогает с ней справиться.

Полагаю, что с множествами все примерно также. В русском языке «множество», «класс», «совокупность» и т.д. – синонимы (подразумевается, что обозначают одно и тоже).
При формализации (с разными определениями и аксиоматикой) и развитии теорий (разных) – получают разные понятия с разными свойствами, которые называют «множеством» или каким-нибудь синонимом (т.е. на неформальном языке одним и тем же слововм называют разные понятия).

Так вот это и смущает: математические понятия (идеальные объекты) связанные с некими словами, таки меняют смысл (иначе воспринимаются). Их свойства тоже меняются.

-----------------------

Я даже на уровне арифметики с формализацией не знаком, но верю что математики могут непротиворечиво формализовать… Это к вопросу субъективного знания. Лично для меня граница знание/вера очень размыта. Т.е. вопрос зачастую состоит не в том, «как что-либо узнать?», а в том «какой информации стоит доверять?».

Естественно, что эта проблема не только моя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 11:24 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Michael2008 в сообщении #149984 писал(а):
верю что математики могут непротиворечиво формализовать…
Это вы про "множество всех множеств"? Смысла нету формализовывать. Это видно хотя бы из того, что когда перешли от наивной теории множеств к аксиоматической, остальные математики никакой разницы для себя не заметили. Вот комплексные числа - да, всем понравились. Постепенно. А тут пока не видно смысла.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 12:12 
Заслуженный участник


28/09/08
855
AD писал(а):
Это вы про "множество всех множеств"?

И про это тоже. Из смежной ветки:
Xaositect писал(а):
Никто не запрещает рассматривать совокупность всех множеств - в теории NBG это объект теории - класс всех множеств, …
Но во всех этих направлениях совокупность всех множеств не рассматривается как множество, потому что его нельзя так рассматривать.

Если я правильно понял, то «множество всех множеств» можно как-то анализировать и строить непротиворечивые теории, если слово «множество» понимать не однозначно. В русском языке слова «класс», «множество» и «совокупность» можно считать синонимами (в этом контексте) – отсюда получаем противоречивость. А с т.з. конкретной мат. теории – «класс» и «множество» - разные понятия.

Я (пример субъекта) не знаю разницы между «классом» и «множеством» в том смысле, как это понимает Xaositect. Но я верю, что он может формально описать разницу (и попытаться объяснить это на неформальном языке) так, чтобы получилась непротиворечивая теория.

---

Хотел бы развить тему «верить/не верить» :), но пока затрудняюсь сформулировать проблему...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 12:25 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Michael2008 в сообщении #149994 писал(а):
Но я верю, что он может формально описать разницу (и попытаться объяснить это на неформальном языке) так, чтобы получилась непротиворечивая теория.
Может. Это и написано в аксиомах NBG, которая и есть эта самая теория.

Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд:

Michael2008 в сообщении #149994 писал(а):
и попытаться объяснить это на неформальном языке
Популярное изложение такое: множества - это те классы, которые могут быть элементами других классов. :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17067
Москва
Michael2008 в сообщении #149984 писал(а):
"Делить на ноль нельзя" и все тут. Сформулировать - в смысле записать, конечно, возможно. А делить – нельзя . Можно и попытаться «доказать»: составить уравнение a*0=0=b*0, сократить на 0 и получить a=b для любых чисел – неразрешимое противоречие.


Это псевдопроблема, которой почему-то многие слабо разбирающиеся в математике уделяют массу внимания. Можно делить на ноль или нельзя делить на ноль - это вопрос определения. Определите деление на ноль, и будет можно. Вопрос только в том, будет ли от этого польза.

Michael2008 в сообщении #149675 писал(а):
Someone писал(а):
Парадокс Рассела показывает, что "множество" всех множеств - не множество.


В таком случае, парадокс лжеца показывает, что фраза «это утверждение ложно» - не утверждение…?!


Почему "в таком случае"? Как из моего утверждения следует Ваше?

Боюсь, что Вам придётся построить формальную теорию, в которой существуют средства говорить как о множествах, так и об утверждениях, и в ней разбираться с этим вопросом. А в неформальном языке ситуация является весьма неопределённой, и тут не всегда можно понять, что является утверждением, а что не является.

Кроме того, в русском языке местоимение обычно заменяет последний подходящий объект, предшествующий местоимению, поэтому слово "это" указывает не на само высказывание "это утверждение ложно", а на предыдущее. Например: "Волга впадает в Саргассово море. Это утверждение ложно."

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2008, 13:11 
Заслуженный участник


28/09/08
855
Рядом замечательная ветка про синхронистичность… Вот эта фраза:
Профессор Снэйп писал(а):
Шизофреник --- это вроде болезнь, а шизоид --- акцентуация характера. Шизофреников мало, а шизоидов много. Я слабо представляю себе разницу между ними ….

Вызвала следующие размышления:

Юридически разница довольно четкая: шизофрения (болезнь) – основание для признания недееспособным, а шизоид (акцентуация) – нет.

В суде вопрос «а не шизофреник ли данный гражданин?» ставится довольно часто. Судья – не специалист в области психиатрии, но он должен принять решение по этому вопросу.

Снованием для решения будет судебно медицинская экспертиза (СМЭ).

Судебный процесс - состязательный. То есть, мнение экспертов будет оспариваться (возможно, что с привлечением других экспертов).

Получаем: эксперты выскажут свое мнение, а суд должен решать… На основании чего? Научных знаний? Так специалисты в этой узкой области, на основе своих знаний, выскажут два разных мнения. Как не специалисту выбрать выбрать одно из них?

Добавлено спустя 11 минут 24 секунды:

Someone писал(а):
Это псевдопроблема...

Согласен. Я привел это как пример изменения (развития) теории. Может не совсем хороший пример.

Someone писал(а):
Почему "в таком случае"? Как из моего утверждения следует Ваше?

Боюсь, что Вам придётся построить формальную теорию....


Я тоже за себя боюсь, поэтому не буду строить такую теорию :).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 16:52 
Заслуженный участник


14/12/06
881
Xaositect писал(а):
zbl писал(а):
А это не будет равносильно утверждению, что всё что угодно состоит из ничего, взятого в разных комбинациях?

Скорее это будет значить, что мы повесили на каждый стул(атом, идею) во Вселенной мысленную табличку с множеством.

Скорее, наоборот: повесили на множество, составленное из пустых множеств стул в качестве ярлыка.
Мы можем повесить ярлык на отдельный стул, но на множество стульев -- не можем: нет такой штуки "множество стульев", есть только множества, составленные из пустых множеств.
В наивной теории множеств множество столов и множество стульев -- разные вещи.
Если мы вместо них рассматриваем два множества, составленные из пустых множеств, то просто переходим к классам изоморфных множеств.
Всё бы ничего, только, изоморфизм нельзя построить, так как в тех классах у нас только по одному множеству, а остальное -- не-множества.

Атомистский подход мне лично нравится больше всего, если его понимать так, что нельзя говорить о множестве, не указав, из каких именно элементов оно может состоять (или, что то же самое -- из каких атомов может быть составлено).

Я извиняюсь, что сильно торможу с ответами... впредь это только усилится...
Обсуждать различные парадоксы теории множеств здесь, думаю, излишне -- для данной темы нет большой разницы между ними.

Добавлено спустя 15 минут 45 секунд:

Someone писал(а):
Я всё-таки не понял, что значит - "велика ли разница?" Если теория противоречива, то в ней "доказуемо" любое утверждение, поэтому такая теория бессмысленна.

А почему не может случится, что часть утверждений доказумема или опровергаема, а часть -- парадоксы?
Например, возьмём аксиомы булевой логики и добавим к ним несколько противоречивых аксиом логики предикатов.
Утверждения булевой логики останутся проверяемыми, а от аксиом логики предикатов они никак не зависят (ибо сами предикаты в них не фигурируют).
Но не скажу, возможно ли такое, если, например, смешать непротиворечивое сложение с противоречивым умножением...

Someone писал(а):
Вы неправильно поняли термин "атом".

Нет.
Вас смутило "состоит из".
Даже стул тут не стул, а математическая модель -- настоящие стулья только в физике.

Someone писал(а):
zbl в сообщении #149239 писал(а):
В случае же теории множеств нам нужно предельно общее понятие множества ("множества чего угодно").

Кому оно нужно и зачем?
zbl в сообщении #149239 писал(а):
Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).

???
zbl в сообщении #149279 писал(а):
Затруднения появляются не потому, что нам захотелось их найти на свою некоторую часть тела, а потому, что нам требуется чего-то добиться, но не выходит.

Чего именно Вы хотите добиться и зачем?

Такое впечатление, что Вы и AD воспринимаете противоречивость мышления как невозможность построить формальную теорию.
Утверждается же только, невозможность построить такую формальную теорию, которую требуется построить.
Попытки растолковать, о чём речь, привели пока только к ляпам.
Если вопрос, кому потребовалась наивная теория множеств, то ответ -- хотя бы сам Кантор сильно погорел именно из-за того, что хотел устранить парадоксы, сохранив невозможно общее понятие множества.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

Xaositect писал(а):
Подозреваю, что Вам указывают в основном на словосочетание "что угодно".

Нужно добавить "в пределах разумного"?

Добавлено спустя 23 минуты 6 секунд:

Someone писал(а):
Наверное, не у тех спрашивали. Ответ этот известен около ста лет.

Конкретно этот вопрос закрывается, например, атомистским подходом.
Разговор, ограниченный только прочностью пришивки пуговицы, можно продолжить спросив: "как же так, строя множества из пустого множества, мы не получим все множества, кроме множества всех множеств -- мы получим просто очень и очень не все множества (в смысле наивной теории); что толку, что мы определим по-другому понятие множества (можно и конечными ограничится, например, -- много легче станет)? это же рецепт вида, если хочешь быть счасливым..."
Но, думаю, эту часть разговора нужно перенести в математический раздел...
Для данной ветки важно только то, что есть хотя бы один парадокс и есть способы его устранения.
Вопрос, как я уже упоминал, в том, что значит "есть" и что значит "устранён".

Someone писал(а):
zbl в сообщении #149465 писал(а):
Но соглашусь: придётся различать новую информацию и новое знание -- вряд ли это удобно.

???

Я уже не соображу, как так получилось, что эти вещи у меня разделились в два разных понятия...

Помнится, выросло это из того, что именно запрещает теорема Геделя и какие далеко идущие выводы из этого обычно делаются.
Запрещает она понятно что: проверяемость некоторых утверждений в рамках данной теории.
Вывод же делается тот, что одними только рассуждениями науку вперёд не двинешь -- по крайней мере, не произвольно далеко.
Ну, так оно и не страшно совсем, а даже наоборот...

Сама же теорема Геделя вырасла из того, что логическое мышление противоречиво по природе.
Тут и пример парадоксов теории множеств полезен как второй пример.
Но к чему мы тут пришли не помню -- нужно перечитывать ветку...

Добавлено спустя 22 минуты 37 секунд:

Michael2008 писал(а):
Я бы отметил, что при разрешении кризисов не отрицается полученное раньше знание. Но взгляд на мир становится шире, и… он (мир) воспринимается иначе.

Касательно физики мне это стало довольно прозрачно, но касательно математики -- нет.
Что значит "натуральные числа стали восприниматься иначе", или "дифференциал стал восприниматься иначе"?
По крайней мере, никто ж не запрещал их "воспринимать по-прежнему"?

Michael2008 писал(а):
zbl писал(а):
А есть ещё вопрос, откуда брать новые аксиомы и как формулировать гипотезы...

Интересно, кто-нибудь рискнет пообсуждать?

Мне лично есть что сказать по этому поводу...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6242
zbl в сообщении #150435 писал(а):
Если мы вместо них рассматриваем два множества, составленные из пустых множеств, то просто переходим к классам изоморфных множеств.
Всё бы ничего, только, изоморфизм нельзя построить, так как в тех классах у нас только по одному множеству, а остальное -- не-множества.

Я не могу понять это утверждение, так как в нем непонятно что называется изоморфизмом. Изоморфизм - это вполне определенный термин, прочтите, пожалуйста, его определение где-нибудь.
zbl в сообщении #150435 писал(а):
А почему не может случится, что часть утверждений доказумема или опровергаема, а часть -- парадоксы?
Например, возьмём аксиомы булевой логики и добавим к ним несколько противоречивых аксиом логики предикатов.

Тогда доказуемым станет абсолютно любое утверждение вне зависимости от его истинности.
zbl в сообщении #150435 писал(а):
Нужно добавить "в пределах разумного"?

Нужно говорить "любое утверждение, истинное в стандартной модели арифметики". Или хотя бы просто "любое истинное утверждение".
zbl в сообщении #150435 писал(а):
Сама же теорема Геделя вырасла из того, что логическое мышление противоречиво по природе.

Теорема Геделя выросла из попыток построить полную теорию, формализующую арифметику. Прочтите формулировку теоремы Геделя и определения всех упоминающихся в ней понятий в учебнике по логике, а не в популярной статье.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2008, 10:30 
Заслуженный участник


28/09/08
855
zbl писал(а):
Michael2008 писал(а):
Я бы отметил, что при разрешении кризисов не отрицается полученное раньше знание. Но взгляд на мир становится шире, и… он (мир) воспринимается иначе.

Касательно физики мне это стало довольно прозрачно, но касательно математики -- нет.
Что значит "натуральные числа стали восприниматься иначе", или "дифференциал стал восприниматься иначе"?
По крайней мере, никто ж не запрещал их "воспринимать по-прежнему"?


Когда-то было одно простое и ясное понятие – «число». Что бы вернуться к тому миропониманию нам приходится ограничивать нынешнее понятие «число», конкретизируя, например: «рациональные числа». В современной алгебре рациональные числа – лишь малая ее часть. Это иллюстрация слов «взгляд на мир становится шире».

«не отрицается полученное раньше знание» - означает, что в прежних рамках соблюдаются ранее найденные закономерности: любое рациональное – можно представить как отношение целых чисел, умножение чисел коммутативно.

А вот, почему «он (мир) воспринимается иначе»: иррациональные числа нельзя выразить через отношение целых, а умножение векторов перестает быть коммутативным. То есть, полученные закономерности ограничены, они не могут быть распространены на более широкие системы.
-------------------

Отойду от точных наук к мировоззренческим проблемам.
Если нет четкого критерия отличия науки от не науки, то из этого можно сделать кое-какие выводы. Сформулирую пару:

1) Так как «лженаука» таки может оказаться наукой - не надо ограничивать развитие теорий, навешивая ярлык «не научности».
2) Так как «научная» теория может быть существенно пересмотрена, надо крайне аккуратно применять ее на практике («не навреди»).

Разовью 2-й.

Примеры:
Евгеника -> негативная евгеника … -> геноцид в той или иной форме.
Социально-политические теории, так или иначе служили основой многочисленных революций (гражданских войн): наша история, французская революция..

Хотелось бы сформулировать какие-то (общие) принципы здорового консерватизма. Что-то, что могло бы удержать от слепой веры во всесилие популярной (и правдоподобной) теории и от поспешной ее реализации.

Я не претендую на оригинальность, думаю, что такие принципы уже есть.

Как пример – декларация прав человека (ДПЧ). Ее признание ставит крест на негативной евгенике.

Тут есть интересное противоречие: ДПЧ, по сути, аксиоматика. Принципы – продекларированные, принятые как руководство к действию и формально-юридически ставшие законом. Несмотря на субъективность, противоречивость, научную не обоснованность и т.д., они, зачастую, ставятся выше научно полученных результатов.

Это к вопросу столкновения науки/не науки, противоречивости человеческого мышления и к обсуждению «откуда брать аксиомы».

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2008, 16:27 
Заслуженный участник


14/12/06
881
Xaositect писал(а):
zbl в сообщении #150435 писал(а):
Если мы вместо них рассматриваем два множества, составленные из пустых множеств, то просто переходим к классам изоморфных множеств.
Всё бы ничего, только, изоморфизм нельзя построить, так как в тех классах у нас только по одному множеству, а остальное -- не-множества.

Я не могу понять это утверждение, так как в нем непонятно что называется изоморфизмом.

Вот определение биекции:
http://ru.wikipedia.org/
Если у нас есть две вещи: множество (множество, составленное из пустого множества) и непонятно что (множество в смысле наивной теории множеств), то невозможно говорить об отображении одного в другое.

Xaositect писал(а):
zbl в сообщении #150435 писал(а):
А почему не может случится, что часть утверждений доказумема или опровергаема, а часть -- парадоксы?

Тогда доказуемым станет абсолютно любое утверждение вне зависимости от его истинности.

То есть, при наличии парадокса множества всех множесть можно доказать, что дважды два пять?
Интересно, как бы конкретно это можно получить.
То есть, взять аксиомы арифметики и наивную теорию множеств, а затем показать, что дважды два пять, если множество всех множеств множество.

Xaositect писал(а):
zbl в сообщении #150435 писал(а):
Сама же теорема Геделя вырасла из того, что логическое мышление противоречиво по природе.

Теорема Геделя выросла из попыток построить полную теорию, формализующую арифметику.

Ой.
Я совсем другое имел ввиду.
Вспоминаю нить разговора: имел ввиду "выросла в данной беседе как тема".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 242 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 17  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group