Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била

[Null]

Valprim в сообщении #1487836 писал(а):

Всё получается в любом случае. В том числе $A_1^x=C^2+B^2i$

$(2+i)^4(2-i)^4=(-7+24i)(-7-24i)=(49+576)$

$(-7+24i)(-7-24i)=(7-24i)(7+24i)$

Прочитайте доказательство автора внимательно. Найдите $A_1$ если $A_1^4=7+24i$ и поймете.

Valprim в сообщении #1487836 писал(а):

А про пары $(m,n)$ Зачем ходить по кругу ?

Чтобы автор написал осмысленный текст и ответил на вопросы корректно. На данный момент автор пишет я хочу чтоб было то-то(без доказательства), но так в математике нельзя.

[Valprim]

Null в сообщении #1487840 писал(а):

Прочитайте доказательство автора внимательно. Найдите $A_1$ если $A_1^4=7+24i$ и поймете.

Ваш пример $5^4=7^2+24^2=(7+24i)(7-24i)=(-7+24i)$(-7-24i) можно рассматривать только для уравнения (2)

binki в [url=http:/dxdy.ru/post1487277.html#p1487277]сообщении #1487277[/url] писал(а):

$A^x=C^2+B^2 \qquad (2)$

Подробнее.

$A^x=A_1^xA_2^x=(C+Bi)(C-Bi)$

$(4+1)^4=(2+i)^4(2-i)^4=(-7+24i)(-7-24i)$

Найдено парой $(m=2;n=1)$ произведение сопряженных чисел, равное вашему произведению. Где крамола?
Все дело в том, что пытаетесь правой частью (2) определить левую.
ТС много раз указывал, что все числа определяются операциями с парой $m,n$ в левой части неопределенных уравнений.
Поэтому никогда и не требуется доказывать, то что постоянно требуете.

"$(m^2+n^2)^x=C^2+B^2i$ -докажите"

Чего доказывать. В левой части производятся математические операции. Результат - выражения из чисел $m,n$ для неизвестных $C,B$. Показано для куба. А исходное выражение строго на основании свойств гауссовых комплексных чисел.
Да и сама суть доказательства очень простая. Чего нет в доказательстве ТС, что у мнимого квадрата не может быть сторона равная целому числу.
А формулы также сразу показывают, что сопряженные числа вида $(m+(n\sqrt i)i )^x$ не гауссовы, поэтому при возведении в степень определяют $(C,B,)$ как комплексные числа.

[Null]

Valprim в сообщении #1487903 писал(а):

Все дело в том, что пытаетесь правой частью (2) определить левую.

В (2) все определено по предположению.

Valprim в сообщении #1487903 писал(а):

Где крамола?

Дальнейшие рассуждения не работают. Напишите правильно, не повторяя буквы - увидите.

Valprim в сообщении #1487903 писал(а):

ТС много раз указывал, что все числа определяются операциями с парой $m,n$ в левой части неопределенных уравнений.

ТС может указывать что угодно, но доказательной силы его указания не несут. Нам даны $A,B,C$ и нужно доказать что такого не бывает. ТС обязан доказать существование $m,n$. У него доказано в обратную сторону - для любых $n,m$ существуют $A,B^2,C^2$, но это не то что нужно, контрпример для $x=4$ я привел: $A=5, B^2=24, C^2=7$(не надо требовать целых $B,C$ на данном этапе это не используется, а то что их не существует -как раз задача доказать), то что они положительные - важно, так так дальше идет работа с $B$ и $C$- действительными.

Valprim в сообщении #1487903 писал(а):

А формулы также сразу показывают, что сопряженные числа вида $(m+(n\sqrt i)i )^x$ не гауссовы, поэтому при возведении в степень определяют $(C,B,)$ как комплексные числа.

Там до этого фатальная ошибка - все что после нее обсуждать нет смысла.

[Valprim]

Null в сообщении #1487908 писал(а):

Нам даны $A,B,C$ и нужно доказать что такого не бывает

У binki четко сформулирована задача. Неизвестные (A,B,C) не задаются, а определяются парой $(m,n)$. Сначала число $A$, а затем через её степень находятся числа $C,B$.
Это довольно широко применяемый способ для неопределённых уравнений.
А здесь как раз рассматривается не предполагаемое равенство, а существующее неопределённое уравнение с тремя неизвестными $A,B,C$.
Об этом ТС также неоднократно упоминал.

[Null]

Valprim в сообщении #1487914 писал(а):

У binki четко сформулирована задача. Неизвестные (A,B,C) не задаются, а определяются парой $(m,n)$.

Я просил binki сформулировать то что он доказывает - в ответ тишина. Может Вы поняли что он доказывает?(Тогда напишите формулировку, сразу полностью.) Добавлять новые требования в доказательстве нельзя. Сразу вопрос: на 2ром шаге они тоже определяются?

Valprim в сообщении #1487914 писал(а):

А здесь как раз рассматривается не предполагаемое равенство, а существующее неопределённое уравнение с тремя неизвестными $A,B,C$.

Ну вот $m,n$ - нет.

[binki]

Null в сообщении #1487919 писал(а):

Я просил binki сформулировать то что он доказывает - в ответ тишина. .....Добавлять новые требования в доказательстве нельзя. Сразу вопрос: на 2ром шаге они тоже определяются?

Уважаемый Null
Доказывается, что неопределённое уравнение Била для биквадратов $A^x=C^4+B^4$, где $A,B,C$ переменные (неизвестные), $x>1$, не имеет решения в целых взаимно простых числах $a,b,c$.
Докво проводится поиском противоречий в всегда существующим вышеуказанном уравнении. Метод от противного не используется. Предполагаемые равенства не рассматриваются.
Решения определяются произвольной парой чисел $m,n$, формированием из них произведений сопряженных комплексных чисел, задающих число $A$. Всегда найдётся такая пара $m,n$, что числа решения будут взаимно простые.
Если первым шагом считать определение $A=(m^2+n^2i)$. А вторым определение $A_1= m+n\sqrt i\cdot i$, то действует та же пара $m,n$.

Уважаемый Valprim, благодарю за правильное толкование доква.

[Null]

binki в сообщении #1487963 писал(а):

Докво проводится поиском противоречий в всегда существующим вышеуказанном уравнении. Метод от противного не используется.

Противоречия в всегда существующем уравнении это что-то далекое от математики.

Ваш текст не является доказательством и вы не пытаетесь это исправить. Вам следует ответить на мои предыдущие вопросы и привести необходимые доказательства.

[binki]

Null в сообщении #1487968 писал(а):

Противоречия в всегда существующем уравнении это что-то далекое от математики.

Уважаемый Null

Имелось в виду, что для неопределенного уравнения с неизвестными $A,B,C$ всегда найдётся решение из вещественных или комплексных чисел. Наша задача доказать, что среди множества этих решений, нет решения в целых числах. Не понятно как это утверждение является чем то далёким от математики. Можно существовать и с противоречиями по каким то вопросам.

Null в сообщении #1487968 писал(а):

Ваш текст не является доказательством и вы не пытаетесь это исправить.

Это Ваше мнение. Но есть другие. Может быть еще кто нибудь из участников выскажет своё мнение.
На все вопросы даны исчерпывающие ответы. Все контрпримеры рассмотрены как подтверждение доква.
Укажите пожалуйста конкретные ошибки.
.

[Null]

binki в сообщении #1488034 писал(а):

Может быть еще кто нибудь из участников выскажет своё мнение.

binki в сообщении #1488034 писал(а):

Укажите пожалуйста конкретные ошибки.

Чтобы это произошло советую повторить доказательство полностью. Соблюдайте общепринятые правила:
0. Строго сформулируйте утверждение которое вы доказываете. В той форме которой вы доказываете.
1. Разные переменные обозначаются разными буквами(Мне кажется вы сами запутались). Я насчитал 3 разных $A$ и 2 разных $m$.
2. Для каждой буквы нужно указать какому множеству она принадлежит.$(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$
3. Новые буквы должны строго определяться. Тут 2 варианта: существуют $m,n$ целые(действительные, целые гауссовы, комплексные) такие что...(с доказательством существования) или обозначим $A_1=m+ni$
Операции типа "я хочу чтобы $C_1+B_1i=(m+ni)^x$" в доказательстве недопустимы.
4. Все строчки должны быть истинными утверждениями следующими из условий задачи, предыдущих строк и известных теорем(название теоремы или ссылка на доказательство). Первая же не истинная или не доказанная строка делает доказательство ошибочным. На просьбу доказать надо более подробно обосновывать почему это истина а не повторять уже написанное.

(Оффтоп)

Например утверждение: Если $A^x=B_1^2+C_1^2, A,B_1,C_1,x\in \mathbb{N},x>2$, $A,B_1,C_1$ взаимно просты, то существуют $m,n\in \mathbb{Z}$ такие что $B_1+iC_1=(m+ni)^x$ - ложно. $A=5, B_1=24, C_1=7, x=4$, тогда $m+ni=(2.23044..+0.15851..i)\cdot i^k$
Правильно будет так(Я умею это доказывать):
Если $A^x=B_1^2+C_1^2, A,B_1,C_1,x\in \mathbb{N},x>2$, $A,B_1,C_1$ взаимно просты, то существуют $m,n\in \mathbb{Z}$ такие что выполняется 1 из 4рех :
$C_1+iB_1=(m+ni)^x$
$B_1+iC_1=(m+ni)^x$ Вот тут можно написать что не считая общности $B_1$ и $C_1$ можно переставить!
$-C_1+iB_1=(m+ni)^x$ Не понятно как работает ваше доказательство на этом случае. Именно этот вариант выплывает в моем примере.
$-B_1+iC_1=(m+ni)^x$

[Valprim]

Null в сообщении #1488039 писал(а):

Операции типа "я хочу чтобы $C_1+B_1i=(m+ni)^x$" в доказательстве недопустимы.

Так Вы всегда это предлагали, а у binki всё наоборот, определяется парами $m,n$ в левой части уравнений.
И не понятно, зачем неизвестные, или произвольные обозначать новыми буквами в разных уравнениях. Не равенства же, а уравнения?
Принято же $x$ так он и везде $x$.

[Null]

Valprim в сообщении #1488291 писал(а):

Так Вы всегда это предлагали, а у binki всё наоборот, определяется парами $m,n$ в левой части уравнений.

Такая операция недопустима в доказательстве. Автор доказывает гипотезу Бине, она про все $A,B,C$(взаимно простые, связанные равенством). Нельзя выбрать часть из них. Если что на 2ром шаге эта часть и вовсе пустая, что делает доказательство бесполезным.

Valprim в сообщении #1488291 писал(а):

И не понятно, зачем неизвестные, или произвольные обозначать новыми буквами в разных уравнениях

Потому что по факту это конкретные числа. Причем из разных множеств.

[Someone]

Valprim в сообщении #1488291 писал(а):

Так Вы всегда это предлагали, а у binki всё наоборот, определяется парами $m,n$ в левой части уравнений.

binki в сообщении #1487963 писал(а):

Доказывается, что неопределённое уравнение Била для биквадратов $A^x=C^4+B^4$, где $A,B,C$ переменные (неизвестные), $x>1$, не имеет решения в целых взаимно простых числах $a,b,c$.

($x$ натуральное?) Если мы доказываем несуществование решения методом "от противного", то исходными величинами являются $a,b,c,x$, которые удовлетворяют условию $a^x=b^4+c^4$, и никаких $m,n$ здесь нет. Поэтому, прежде чем писать всякие равенства с их участием, необходимо доказать их существование (в простейшем случае — явно выразить через $a,b,c,x$, при необходимости доказав, что они целые). Вам двоим уже долгое время пытаются это объяснить, но результата нет. Также наблюдается постоянная чехарда с прописными и строчными буквами и нежелание (или неумение) точно формулировать свои утверждения. Например, что такое "всегда существующее уравнение" или даже просто "существующее уравнение"? Если имеется в виду, что упомянутые в уравнении величины удовлетворяют ему, то есть, обращают его в верное равенство, то так и надо сказать. А систематическое использование одной и той же буквы для обозначения разных величин вообще насмерть всё запутывает.

[binki]

Someone в сообщении #1488307 писал(а):

Если имеется в виду, что упомянутые в уравнении величины удовлетворяют ему, то есть, обращают его в верное равенство, то так и надо сказать.

Уважаемый Someone!
Благодарю за совет. Постараюсь ему следовать. Учитывая также предложение заслуженного участника Null
показать всё с начала, подготавливаю переработанное сообщение.

[binki]

Учитывая совет заслуженного участника Someone, а также
предложение заслуженного участника Null, начинаем всё с нуля.
Доказываем частный случай неопределенного уравнения Била $A^x=C^4+B^4 \qquad (1)$, что
не существует решения в целых взаимно простых числах $a,c,b$ не только при натуральном $x>2$, но и при $x>1$.
В теме будут использоваться сопряженные комплексные числа. Важным свойством этих чисел является то, что при натуральном показателе $x$, возведение в степень сопряженных чисел даёт сопряженные числа. То есть, если $v, v^*$ сопряженные комплексные числа, то из равенства $v^x=w $ следует, что $ (v^*)^x =w^*$, то есть получаем пару сопряженных комплексных чисел $w, w^*$ . Извлечение корня из сопряженных чисел также даёт сопряженные числа.
Учитывая эти свойства, рассмотрим сначала неопределенное уравнение
$A^x=C^2+B^2 \qquad (2)$.
Утверждение 1.
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений в целых числах.
При существовании решений (2 ) существует равенство

$a^x=c^2+b^2 =(c+bi)(c-bi)\qquad (2.1)$

Извлекаемые корни из правой части (2.1) также будут сопряженными. А так как ищется решение (2.1) в целых числах, то извлекаемые корни из правой части (2.1) должны быть числами с целыми коэффициентами (то есть гауссовыми).
Так что не всякая пара сопряженных чисел правой части (2.1) может обеспечить решение в целых числах.
Но всякая степень левой части (2.1), определённая как степень произведения сопряженных чисел, даёт решение уравнению. Так как произведение сопряженных чисел равно сумме двух квадратов, то в левой части сразу же определим число степени как $a=m^2+n^2$. Тогда с учетом (2.1)

$a^x=(m^2+n^2)^x=c^2+b^2 \qquad (3)$

$(m+ni)(m-ni)= m^2+n^2\qquad (4)$

Все числа $(a,b,c)$ - целые. Что и требовалось доказать. Можно выразить числа $c,b$ через $(m,n)$, но нам это пока не требуется.
Приступаем к основной задаче.
$A^x=C^4+B^4 =(c^2)^2+(B^2)^2 \qquad (5)$
Согласно доказанному утверждению 1., для неопределенного уравнения (5) существует бесчисленное множество решений $(A_1,C_1^2,B_1^2)$. Эти числа целые. Но к какому множеству $(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$ принадлежат числа (B_1,C_1) пока неизвестно.
Запишем равенство

$A_1^x=A_{11}^xA_{12}=(C_1^2)^2+(B_1^2)^2=(C_1^2+B_1^2i)(C_1^2-B_1^2i)\qquad (6)$
В правой части (6) $B^2_1i$ - мнимый квадрат.
Поэтому не может существовать в целых числах (a,b,c) следующее равенство :
$a^x=c^2+b^2i \qquad (7)$
Действительно, используя пару целых чисел $s,t$, покажем (7) в сопряженных числах. Учитывая, что степень Гауссова числа, равняется Гауссову
$a^x=(s^2+t^2i)^x=c^2+b^2i \qquad (8)$.
Тогда
$(s+t(\sqrt i)i)^x(s-t(\sqrt i)i)^x =(c+b(\sqrt i)i)(c-b(\sqrt i)i)\qquad (9);$

$(s^2+t^2i)=(s+t(\sqrt i)i)(s-t(\sqrt i)i) \qquad (10);$

$(s+t(\sqrt i)i)^x=(c+b(\sqrt i)i)\qquad (11);$

$(s-t(\sqrt i)i)^x=(c-b(\sqrt i)i) \qquad (12)$

В левых частях (11),(12) комплексные числа не гауссовы. Поэтому при возведение их в степень с натуральным показателем $x$ в правых частях числа $c,b$ , будут комплексными. Например для $x=3$

$(s+t (\sqrt i)i)^3 =(s^3- 3st^2i)+(3s^2t - t^3i) (\sqrt i)i ;\qquad (13)$;

$c =(s^3-3st^2i);\qquad b=(3s^2t - t^3i) \qquad (14)$

(В (14) учтено, что любое соотношение между комплексными числами остаётся справедливым, если всюду в нём заменить $i$ на $-i$)
Значит не существует решения в целых взаимно простых числах для частного случая уравнения Била $A^x=C^4+B^4$ при натуральном $x$.

[Null]

binki в сообщении #1488736 писал(а):

$A^x=C^2+B^2 \qquad (2)$.

Опять буквы повторяете.

binki в сообщении #1488736 писал(а):

Согласно доказанному утверждению 1., для неопределенного уравнения (5) существует бесчисленное множество решений $(A_1,C_1^2,B_1^2)$. Эти числа целые. Но к какому множеству $(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$ принадлежат числа (B_1,C_1) пока неизвестно.

Кто такие $A_1,B_1,C_1$?

binki в сообщении #1488736 писал(а):

Утверждение 1.
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений в целых числах.
При существовании решений (2 ) существует равенство

$a^x=c^2+b^2 =(c+bi)(c-bi)\qquad (2.1)$

Извлекаемые корни из правой части (2.1) также будут сопряженными. А так как ищется решение (2.1) в целых числах, то извлекаемые корни из правой части (2.1) должны быть числами с целыми коэффициентами (то есть гауссовыми).
Так что не всякая пара сопряженных чисел правой части (2.1) может обеспечить решение в целых числах.
Но всякая степень левой части (2.1), определённая как степень произведения сопряженных чисел, даёт решение уравнению. Так как произведение сопряженных чисел равно сумме двух квадратов, то в левой части сразу же определим число степени как $a=m^2+n^2$. Тогда с учетом (2.1)

$a^x=(m^2+n^2)^x=c^2+b^2 \qquad (3)$

$(m+ni)(m-ni)= m^2+n^2\qquad (4)$

Все числа $(a,b,c)$ - целые. Что и требовалось доказать. Можно выразить числа $c,b$ через $(m,n)$, но нам это пока не требуется

Вы это утверждение не используете. Зачем вы его написали? Да и оно вам не нужно. Вы получили бесконечно много решений, но не все.

binki в сообщении #1488736 писал(а):

$A_1^x=A_{11}^xA_{12}$

$A_{12}^x$? Опечатка? Что такое $A_{11},A_{12}$?

binki в сообщении #1488736 писал(а):

Поэтому не может существовать в целых числах (a,b,c) следующее равенство :
$a^x=c^2+b^2i \qquad (7)$

Опять повторяете буквы! Или не повторяете? Тогда почему это равенство верно? И это утверждение очевидно ложно при $b=0$. Все доказательство ошибочно.

binki в сообщении #1488736 писал(а):

Действительно, используя пару целых чисел $s,t$, покажем (7) в сопряженных числах. Учитывая, что степень Гауссова числа, равняется Гауссову
$a^x=(s^2+t^2i)^x=c^2+b^2i \qquad (8)$.

Кто такие $s,t$? Почему они целые? Почему это равенство верно?

binki в сообщении #1488736 писал(а):

$(s+t(\sqrt i)i)^x=(c+b(\sqrt i)i)\qquad (11);$

$(s-t(\sqrt i)i)^x=(c-b(\sqrt i)i) \qquad (12)$

Докажите, не следует из предыдущего.

binki в сообщении #1488736 писал(а):

В левых частях (11),(12) комплексные числа не гауссовы. Поэтому при возведение их в степень с натуральным показателем $x$ в правых частях числа $c,b$ , будут комплексными.

Где доказательство? Я вообще уверен что это неправда.

binki в сообщении #1488736 писал(а):

Значит не существует решения в целых взаимно простых числах для частного случая уравнения Била $A^x=C^4+B^4$ при натуральном $x$.

Ни как не следует из предыдущих фактов. В вашем доказательстве $A,B,C$ не участвуют, как вы можете про них что-то утверждать?

Вы не выполнили ни одну из моих рекомендаций. Этот текст доказательством не является. Пока вы не сможете правильно записать что вы хотите вы не поймете где у вас ошибка.