Учитывая совет заслуженного участника
Someone, а также
предложение заслуженного участника
Null, начинаем всё с нуля.
Доказываем частный случай неопределенного уравнения Била

, что
не существует решения в целых взаимно простых числах

не только при натуральном

, но и при

.
В теме будут использоваться сопряженные комплексные числа. Важным свойством этих чисел является то, что при натуральном показателе

, возведение в степень сопряженных чисел даёт сопряженные числа. То есть, если

сопряженные комплексные числа, то из равенства

следует, что

, то есть получаем пару сопряженных комплексных чисел

. Извлечение корня из сопряженных чисел также даёт сопряженные числа.
Учитывая эти свойства, рассмотрим сначала неопределенное уравнение

.
Утверждение 1.
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений в целых числах.
При существовании решений (2 ) существует равенство

Извлекаемые корни из правой части (2.1) также будут сопряженными. А так как ищется решение (2.1) в целых числах, то извлекаемые корни из правой части (2.1) должны быть числами с целыми коэффициентами (то есть гауссовыми).
Так что не всякая пара сопряженных чисел правой части (2.1) может обеспечить решение в целых числах.
Но всякая степень левой части (2.1), определённая как степень произведения сопряженных чисел, даёт решение уравнению. Так как произведение сопряженных чисел равно сумме двух квадратов, то в левой части сразу же определим число степени как

. Тогда с учетом (2.1)


Все числа

- целые. Что и требовалось доказать. Можно выразить числа

через

, но нам это пока не требуется.
Приступаем к основной задаче.

Согласно доказанному утверждению 1., для неопределенного уравнения (5) существует бесчисленное множество решений

. Эти числа целые. Но к какому множеству
![$(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$ $(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/874c079ddce27055d743edcaff2d718b82.png)
принадлежат числа (B_1,C_1) пока неизвестно.
Запишем равенство

В правой части (6)

- мнимый квадрат.
Поэтому не может существовать в целых числах (a,b,c) следующее равенство :

Действительно, используя пару целых чисел

, покажем (7) в сопряженных числах. Учитывая, что степень Гауссова числа, равняется Гауссову

.
Тогда



В левых частях (11),(12) комплексные числа не гауссовы. Поэтому при возведение их в степень с натуральным показателем

в правых частях числа

, будут комплексными. Например для


;

(В (14) учтено, что любое соотношение между комплексными числами остаётся справедливым, если всюду в нём заменить

на

)
Значит не существует решения в целых взаимно простых числах для частного случая уравнения Била

при натуральном

.