Уважаемый
Null.
Благодарю за подробный анализ сообщения.
К сожалению Ваши замечания мне не понятны. Особенно, почему неизвестные в разных утверждениях не могут обозначаться одними
и теми же буквами?
Придётся привести сообщение в ином виде, где неизвестные обозначатся привычными для нас буквами

. Да необходимо укоротить излишние толкования, создающие лишние вопросы.
Доказываем частный случай неопределенного уравнения Била

, что
не существует решения в целых взаимно простых числах

при натуральном

В теме будут использоваться сопряженные комплексные числа. Важным свойством этих чисел является то, что при натуральном показателе

, возведение в степень сопряженных чисел даёт сопряженные числа. То есть, если

сопряженные комплексные числа, то из равенства

следует, что

, то есть получаем пару сопряженных комплексных чисел

. Извлечение корня из сопряженных чисел также даёт сопряженные числа.
Учитывая эти свойства, рассмотрим сначала неопределенное уравнение

.
Утверждение 1.
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений в целых числах.
При существовании решений (2 ) в целых числах существует равенство

Извлекаемые корни из правой части (2.1) также будут сопряженными. А так как ищется решение (2.1) в целых числах, то извлекаемые корни из правой части (2.1) должны быть числами с целыми коэффициентами (то есть гауссовыми).
Так что не всякая пара сопряженных чисел правой части (2.1) может обеспечить решение в целых числах.
Но всякая степень левой части (2.1), определённая как степень произведения сопряженных чисел, даёт решение уравнению. Так как произведение сопряженных чисел равно сумме двух квадратов, то в левой части сразу же определим число степени как

. Тогда с учетом (2.1)


Все числа

- целые. Что и требовалось доказать.
Приступаем к основной задаче.

Согласно доказанному утверждению 1., для равенства (5) существует бесчисленное множество решений

. Эти числа целые. Но к какому множеству
![$(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$ $(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{C})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/874c079ddce27055d743edcaff2d718b82.png)
принадлежат числа (b,c) пока неизвестно.
Для разрешения этой ситуации, преобразуем (5), используя сопряженные числа

Где

- сопряженные числа, должны быть гауссовыми согласно правой части (6) и свойствам сопряженных чисел.


Для нахождения решения

необходимо снова использовать сопряженные числа. Но в правых частях (6.1),(6.2) мнимый квадрат, поэтому при разложении в произведения сопряженных чисел левых частей (6.1),(6.2) там тоже должна быть сумма двух квадратов один из которых мнимый. То есть:

, где

произвольные целые числа.
Значит разложения (6.1), (6.2) с гауссовыми числами невозможно. Следовательно, не существует и решения в целых взаимно простых числах для частного случая уравнения Била

при натуральном

.