2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 08:39 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
binki в сообщении #1489947 писал(а):
Так как для четных $p$ не существование решения доказано в теореме Ферма для биквадратов. То достаточно доказать не существование решения для неопределённого уравнения $x^p=y^4+z^4$ только для нечетных $p$.

Хорошая идея. Дальше считаем что степень нечетна и ваше утверждение $1$ становиться правильным(с точностью до перестановки). Но его все еще надо доказывать. У нас требования сильнее представимости $x$ в виде суммы квадратов, нам еще нужны формулы для $y,z$.

(Оффтоп)

Есть такая лемма: если $p=4k-1$ простое и $y^2+z^2\vdots p$, то $y,z\vdots p$, что выводиться из малой теоремы ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 09:11 


19/04/14
321
Null в сообщении #1489948 писал(а):
У нас требования сильнее представимости $x$ в виде суммы квадратов, нам еще нужны формулы для $y,z$.

Уважаемый Null
Докво здесь не сложное. Всё определяется левой частью равенство.
Целое $x_1=(m^2+n^2)$ определяет целые $y_1, z_1$. Действительно,
$x_1^p=(m^2+n^2)^p=(m+ni)^p(m-ni)^p=(y_1+z_1i)(y_1-z_1i)$
Согласно свойств сопряженных комплексных чисел (сопряженные пары при возведении в степень дают сопряженные пары).
Mожно, конечно, расписать $y_1,z_1$ через слагаемые биномов. Но это уже сделано в докве указанного свойства.
( Хороших выходных. До понедельника.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 09:17 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
binki в сообщении #1489953 писал(а):
Целое $x_1=(m^2+n^2)$ определяет целые $y_1, z_1$.

Вам важно что оно определяет все $y_1, z_1$, но вы этого не доказали. Вы что не понимаете? Если существуют не рассмотренные пары $y_1, z_1$, то ваше доказательство не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 12:46 


22/03/20
88
binki в сообщении #1489947 писал(а):
То есть, $x_1$ не равен сумме двух квадратов, если содержит сомножитель - степень числа $4k-1$ с нечетным показателем.
Но тогда и $x_1^p$ (при нечетном $p$ ) по той же причине не будет равен сумме двух квадратов.

binki, по этому же утверждению Ферма. Если степень числа $4k-1$ с четным показателем, то после деления на наибольший квадрат
частное не делиться на $4k-1$, следовательно заданное $x_1$ разлагается на сумму двух квадратов и по той же причине $x_1^p$ при четном $p$ также разлагается в сумму двух квадратов.
То есть утверждение 1. справедливо $\forall p \in N$.
$x_1=(m^2+n^2)$ определяет полностью все решения для $x$ в левой части неопределенного уравнения $x^p=y^4+z^4$
Только следует иметь в виду, что число $x_1$ представляется как произведение степеней простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 13:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
Valprim в сообщении #1489978 писал(а):
То есть утверждение 1. справедливо $\forall p \in N$.
Оно не такое. Там еще нужно что бы все $y^2,z^2$ представлялись нужными формулами. Там дальше нужно $y^2+z^2i=(m+ni)^p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 14:30 


22/03/20
88
Null в сообщении #1489982 писал(а):
Оно не такое. Там еще нужно что бы все $y^2,z^2$ представлялись нужными формулами.


Определено всё множество степеней, которые разлагаются в сумму двух квадратов целых чисел. Чего там искать еще в левой части , если всё уже найдено.
И Вам уже аргументировали. Предлагаете то же самое, что составлять таблицу степеней целых чисел выискивая их во множестве целых . Брать любое число и вычислять корень, а вдруг это степень целого числа. Не разумнее ли возводить в степень целые числа последовательности?

Antoshka в сообщении #1489385 писал(а):
А можете пояснить, почему нельзя доказать факт, что $x$ равен сумме квадратов посредством теоремы: натуральное число можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел $\Leftrightarrow$ в разложении этого числа по основной теореме арифметики числа вида $4k-1,k\in\mathbb{N}$ содержатся там только в четных степенях?

Antoshka! Всё правильно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.10.2020, 14:37 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
Valprim в сообщении #1489996 писал(а):
И Вам уже аргументировали.
Нет. Нужно доказать что мы ни одной пары $y^2,z^2$ не пропустим. Пока такого доказательства в теме нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение31.10.2020, 08:41 


22/03/20
88
Вынужден признать, что binki был прав, что для доказательства гипотезы Била для уравнения $x^p=y^4+z^4$ достаточно доказать случай когда показатель $p$ нечетный.
Для четных показателей $p$, пока остаётся не ясным случай при существовании $(4k-1)^n$ с нечетным $n$. Тогда число $x_1$ не разлагается в сумму двух квадратов, но при $p$ четном, $ x_1^p$, согласно утверждению Ферма, разлагается в сумму двух квадратов.
Действительно достаточно рассмотрения с нечетным $p$, так как теорема Ферма для биквадратов доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение02.11.2020, 17:50 


19/04/14
321
Уважаемый Valprim

У меня нет сомнения, что утверждение 1. справедливо для всех показателей $p$ чётных и нечетных. Так как $x_1, x_1^p$ должны быть произведениями сопряженных гауссовых чисел. Иначе не будет получаться сумма двух квадратов целых чисел. Например, число $7$ не является суммой двух квадратов целых чисел. Поэтому $49$ разлагается только в сумму двух дробных квадратов.
Оставляются для рассмотрения нечетные показатели, только для сужения области доква без ущерба в полученных результатов. Чтобы не обсуждать лишние вопросы, возникающие по четным показателям.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 174 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group