Асимптотика сумматорных функций простого аргумента

[Null]

vicvolf в сообщении #1469098 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = $$nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}|+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$.

Это вы $A(n)=n/\log(n)+O(g(n))$ подставили в формулу Абеля? $B(n)$ здесь нет.

[vicvolf]

Null в сообщении #1469110 писал(а):

vicvolf в сообщении #1469098 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = $$nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}|+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$.

Это вы $A(n)=n/\log(n)+O(g(n))$ подставили в формулу Абеля? $B(n)$ здесь нет.

Нет всегда $A(n)=\pi(n)$, а $B(n)=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}=n/\log(n)+o(n/\log(n))$. Предположим, что известна более точная оценка: $B(n)=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}=n/\log(n)+O(g(n))$. Эту оценку я и подставил в формулу Абеля.

[Null]

Распишите подробно, не понимаю как вы это получили.

[vicvolf]

Null в сообщении #1465514 писал(а):

Пусть $a_k=1$ если $k$ - простое и $a_k=0$ если $k$ не простое.
Пусть $b_k=\frac{1}{\ln k}$,$b_1=0$
Пусть $A(x)=\sum_{k\leq x}a_k$ и $B(x)=\sum _{k\leq x}b_k$


$B(x)\sim \frac{x}{\ln x}$

Отсюда следует $B(x)=x/\log(x)+o(x/\log{x))$. Предположим, что известна более точная оценка: $B(x)=x/\log(x)+O(g(x))$, которая подсставляется в формулу Абеля.

[Null]

Ну подставьте. У вас получиться не то что вы хотите. Цепочку равенств от $\sum_{p \leq n} {f(p)}$ до $nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n \frac {tf'(t)dt}{\log(t)}+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$. Эквивалентностей быть не должно, иначе вы не получите $=$.

[vicvolf]

Пусть $a_k=1$, если $k$- простое число и $a_k=0$ в противном случае. Обозначим $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Если $f'(t)$ существует и непрерывна, то используя формулу Абеля сразу к сумме $\sum_{k=1}^n {a_kf(k)}$, получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)} =\sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_1^n {A(t)f'(t)dt,(1)$$

где $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Покажем, что

$$A(n)=\pi(n) =\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)).(2)$$

Известна оценка, полученная с помощью метода комплексного интегрирования:

$$\pi(n)=\int_2^n {\frac {du}{\log(u)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}),(3)$$

где c-постоянная.

Интегрируя по частям получим:

$$\int_2^n {\frac {du}{\log(u)}}=\frac {n}{\log(n)}-\int_2^n {ud(1/\log(u))}=\frac {n}{\log(n)}+\int_2^n {\frac {du}{\log^2(u)}}=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)).(4)$$

На основании (3) и (4) получим:

$$\pi(n)=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n))+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)),$$

что соответствует (2).


Теперь подставим (2) в (1) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\frac {nf(n)}{\log(n)}+O(\frac{nf(n)}{\log^2(n)})-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+O(\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}}).(5)$$

Приведем примеры использования формулы (5):

1. $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$.

3. $\sum_{p \leq n}{1/p}=\log\log(n)+O(1)$.

[Null]

Как видите $B(n)$ здесь ни при чем.
В (4) вы потеряли $-\frac{2}{\log 2}$, хотя это не влияет на результат.
Не стоит писать $\log$ вместо $\ln$.
Ну да формула (5) - правильная.
Вот нашел похожее math.stackexchange.com

[vicvolf]

Null в сообщении #1469286 писал(а):

Ну да формула (5) - правильная.
Вот нашел похожее math.stackexchange.com

Спасибо, но там частный случай. У меня такое впечатление, что есть какие-то еще ограничения у данной формулы кроме существования и непрерывности производной от функции $f$?

[Null]

Там не $O(\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}})$ в конце, а $O(\int_2^n {\frac {t|f'(t)|dt}{\log^2(t)}})$, ну или $f'$ всегда $>,<,= 0$
А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.

[vicvolf]

Null в сообщении #1469326 писал(а):

А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.

Меня настораживает другой случай. По формуле (5) получается: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(\log\log(n))$, а должно быть: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(1)$.

[Sycamore]

почем должно?)

[Null]

vicvolf в сообщении #1469300 писал(а):

Спасибо, но там частный случай.

Это можно обобщить, Сделано то же что у вас, но более точно.

Sycamore в сообщении #1469350 писал(а):

Меня настораживает другой случай. По формуле (5) получается: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(\log\log(n))$, а должно быть: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(1)$.

Ну что получается то получается, попробуйте подставить лучшую оценку $\pi(x)$

[vicvolf]

Null в сообщении #1469355 писал(а):

vicvolf в сообщении #1469300 писал(а):

Спасибо, но там частный случай.

Это можно обобщить,

Используем более точную формулу для $\pi(n)$:

$$\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}),(1))$$

где с - постояннвя.

Пусть $a_k=1$, если k-простое и $a_k=0$ в противном случае. Тогда обозначим: $A(n)=\pi(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}$.

На основании (1):

$$A(n)=\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}).(2)$$

Далее, если функция $f$ - монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}= \sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_2^n {A(t)f'(t)dt}.(3)$$

Подставим (2) в (3) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=f(n) \int_2^n {\frac{du}{\log(u)}}+O(\frac {|f(n)|n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})-\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}+O(\int_2^n {\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(4)$$

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}=f(n)\int_2^n{\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}.(5)$$

Подставим (5) в (4) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {|f(n)|n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(6)$$

Рассмотрим примеры использования (6):

1.$\sum_{p \leq n}{1}=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})$, что соответствует (1).

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {\log(n)n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac {dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}})=n+O(\frac {\log(n)n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})$.

Null в сообщении #1469355 писал(а):

попробуйте подставить лучшую оценку $\pi(x)$

Спасибо, получилось:

3.$\sum_{p \leq n}{\frac {\log(p)}{p}}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\log(n)n}{ne^{c\log^{1/2}(n)}})$$+O(\int_2^n{\frac {tdt}{t^2e^{c\log^{1/2}(n)}}})+O(\int_2^n{\frac {t\log(t)dt}{t^2e^{c\log^{1/2}(n)}}})=\log(n)+O(1)$

[vicvolf]

Еще один пример на формулу (6):

$$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t^{\alpha+1}dt}{e^{c\log{1/2}(t)}})=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}}),$$

где $\alpha >-1$.

Результат соответствует math.stackexchange.com.

-- 20.06.2020, 16:56 --

Null в сообщении #1469326 писал(а):

А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.

Да, получается именно так.

[vicvolf]

Обнаружил описку:

$$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t^{\alpha}dt}{e^{c\log{1/2}(t)}})=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}}),$$

где $\alpha >-1$.

Сравним асимптотическую формулу (6) и формулу (5) из другого сообщения. Должны совпадать главные члены асимптотик, а различия могут быть только в остаточных членах.

Преобразуем член в формуле (6):

$$\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}=\frac {f(n)n}{\log(n)}-\frac {2f(2)}{\log(2)}-\int_2^n{\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+\int_2^n {\frac{f(t)dt}{\log(t)}}.(7)$$

Подставим (7) в (6):

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\frac {f(n)n}{\log(n)}+O(1)-\int_2^n{\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+\int_2^n {\frac{f(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {|f(n)n|}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(8)$$

Сопоставим выражение (8) с выражением асимптотики (5) из другого сообщения. Первые три члена совпадают. Расхождение только в остаточных членах. Остаточные члены выражения (8) дают более точную оценку.