Асимптотика сумматорных функций простого аргумента

[vicvolf]

Null в сообщении #1465194 писал(а):

Если я правильно понимаю чтоб ваше утверждение было верно надо чтобы:
1.Сумма расходиться.

Рассмотрим:
$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}(1+o(1))=$$\int_{k=2}^n {\frac {dlogk} {log^{l+1}(k)}}(1+o(1))=(\frac {1} {l\log^l 2}-\frac {1} {l\log^l(n)})(1+o(1))$ при $l>0$.

При $n \to \infty$ ряд сходится.

Цитата:

2.$\forall C \lim_{x \to \infty}\frac{f(x-c\ln{x})}{f(x)}=1$

Пожалуйста, поясните.

[Null]

Попробуем доказать для некоторых случаев:
Пусть $a_k=1$ если $k$ - простое и $a_k=0$ если $k$ не простое.
Пусть $b_k=\frac{1}{\ln k}$,$b_1=0$
Пусть $A(x)=\sum_{k\leq x}a_k$ и $B(x)=\sum _{k\leq x}b_k$
У нас $\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{B(x)}=1$. Это ключевое требование.
Нам нужно:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}=1$$

По формуле суммирования Абеля $\sum_{k=1}^n a_kf(k)=A(n)f(n)-\int_{1}^nA(t)f'(t)dt$ и $\sum_{k=1}^n b_kf(k)=B(n)f(n)-\int_{1}^nB(t)f'(t)dt$(рассуждения работают и в дискретном случае, но мне лень вспоминать где там $\pm 1$)

$$\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}=\frac{A(n)f(n)-\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)-\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}=\frac{A(n)}{B(n)}\cdot \frac{1-\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}}{1-\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}}$$

Если вдруг
1.$\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1(для бесконечного предела тоже все в порядке)
2.$f'(x)\neq 0$, будем считать что $f'(x)$ непрерывна, тогда она еще и знакопостоянна.
3.$\lim_{n\to\infty}\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=\pm\infty$- если $f(n)\to\infty$ то это выполняется автоматически.
Тогда $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}$ существует и равен $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$(или тоже бесконечен)
Действительно

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}}{\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}}=\lim_{n\to\infty} \frac{B(n)}{A(n)} \cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}= \lim_{n\to\infty}\frac{A(n)f'(n)}{B(n)f'(n)}=1$$

Использовали Правило Лопиталя(в дискретном случае теорему Штольца), нам достаточно стремления знаменателя к бесконечности.
Тогда(в случае стремления к бесконечности все равентва остаются верны)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}=\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)}{B(n)}\cdot \frac{1-\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}}{1-\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}}=1$$

Рассмотрим пример:
$f(x)=\frac{1}{x}$
2.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\neq 0$
3.$-\int_{t=1}^nB(t)/t^2 dt =-\infty(\sim-\ln\ln n)$ т.к. $B(x)\sim \frac{t}{\ln t}$ - впритык, для степеней меньших $-1$ уже не сработает
1. $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{-\ln \ln n}{\frac{n}{\ln n} \cdot \frac{1}{n}}=-\infty\neq 1$

[Null]

Пусть

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}=1$$

Тогда обязательно

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}-\frac{\sum_{k=1}^{n-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{n-1} b_kf(k)}\right|=0$$

Возьмем $n=p=p_l$ -простое число. Тогда

$$\lim_{l\to\infty}\left|\frac{\sum_{k=1}^p a_kf(k)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}-\frac{\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}\right|=0$$

Преобразуем ($a_p=1$)
\begin{multline*}\left|\frac{\sum_{k=1}^p a_kf(k)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}-\frac{\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}\right|=\left|\frac{a_pf(p) \sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)-b_pf(p)\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}\right|=\\=|f(p)|\left|\frac{1 -b_p\frac{\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}\right|\end{multline*}
Так как $b_p\to 0$ и $\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a_kf(k)}{\sum_{k=1}^n b_kf(k)}=1$ то обязятельно

$$\left|\frac{f(p)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}\right|\to 0$$

Это не выполняется для $f(x)=2^x$, так как $\sum_{k=1}^p b_kf(k)\sim 2\frac{2^k}{\ln k}$


В случе если $\sum_{k=1}^n b_kf(k)$ сходиться, $\sum_{k=1}^n a_kf(k)$ должна сходиться к тому же числу, это проще всего проверять в лоб с использованием компьютера.
Например $f(x)=\frac{1}{x^2}$
$\sum_{k=1}^\infty a_kf(k)=\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{p_l^2}=0.4522...$
$\sum_{k=1}^\infty b_kf(k)=\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k^2\ln k}=0.6055...$
Так что они различны

[vicvolf]

Спасибо, что не поленились:)

Null в сообщении #1465514 писал(а):

$\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)f'(n)dt}{B(n)f'(n)dt}$

Как понять?

[Null]

vicvolf в сообщении #1465579 писал(а):

Null в сообщении #1465514 писал(а):

$\lim_{n\to\infty}\frac{A(n)f'(n)dt}{B(n)f'(n)dt}$

Как понять?

Исправил опечатку.

Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 2 и 3 условия выполнены, а 1ое (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0. В частности подходят все $f(x)=x^m, m>0$ и $f(x)=1$ тоже подходит(проверяется непосредственно).

vicvolf в сообщении #1465434 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}(1+o(1))$

Это равенство не верно, в разных частях разное количество слагаемых.

[vicvolf]

Null в сообщении #1465618 писал(а):

vicvolf в сообщении #1465434 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}(1+o(1))$

Это равенство не верно, в разных частях разное количество слагаемых.

Это естественно:) Количество слагаемых разное, но и слагаемые тоже разные. Это выполняется для всех указанных случаев.

Null в сообщении #1465618 писал(а):

Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 1и 2 условия выполнены, а 3ее (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0. В частности подходят все $f(x)=x^m, m>0$ и $f(x)=1$ тоже подходит(проверяется непосредственно).

Спасибо!

[Null]

vicvolf в сообщении #1465434 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}(1+o(1))$

Ну в любом случае Вы это не доказали, из этого бы следовало что
$\sum_{p} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=2}^{\infty} {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}$
Не похоже на правду(например подставьте $l=1$(а лучше 100 чтоб быстрее сходилось) и посчитайте). Ваш метод не будет работать если ряд сходиться.
Точнее возможно будет что(не доказывал):
$\sum_{p \geq n} {\frac {1} {p\log^l p}}=\sum_{k=n+1}^\infty {\frac {1} {k\log^{l+1}(k)}}(1+o(1))$

[vicvolf]

Null в сообщении #1465514 писал(а):

1.$\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1(для бесконечного предела тоже все в порядке)
2.$f'(x)\neq 0$, будем считать что $f'(x)$ непрерывна, тогда она еще и знакопостоянна.
3.$\lim_{n\to\infty}\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=\pm\infty$- если $f(n)\to\infty$ то это выполняется автоматически.
Тогда $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}$ существует и равен $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$(или тоже бесконечен)

Учитывая, что $A(n)=B(n)= \frac {n} {\log(n)}(1+o(1))$ условия (1) и (3) можно уточнить.

Например, условие (3) будет выглядеть:

3.$\int_2^{\infty}{\frac {tf'(t)dt} {\log(t)}}=\pm \infty$.

В таком виде условие (3) более удобно для проверки убывающих $f(p)$:

$f(p)=1/p$, $f(t)=1/t,f'(t)=-1/t^2$ и $\int_2^{\infty} {-\frac {tdt} {\log(t)t^2}}$ - расходится.

$f(p)=1/p^2$, $f(t)=1/t^2,f'(t)=-2/t^3$ и $\int_2^{\infty} {-\frac {2tdt} {\log(t)t^3}}$ - сходится.

-- 29.05.2020, 10:17 --

Null в сообщении #1465552 писал(а):

Преобразуем ($a_p=1$)
\begin{multline*}\left|\frac{\sum_{k=1}^p a_kf(k)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}-\frac{\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}\right|=\left|\frac{a_pf(p) \sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)-b_pf(p)\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}\right|=\\=|f(p)|\left|\frac{1 -b_p\frac{\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)}{\sum_{k=1}^{p-1} b_kf(k)}}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}\right|\end{multline*}

Пожалуйста, поясните преобразование?

[Null]

Подставьте $\sum_{k=1}^p a_kf(k)=a_pf(p)+\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)$ и $a_p=1$ и сделайте элементарные алгебраические преобразования.

[vicvolf]

Null в сообщении #1465752 писал(а):

Подставьте $\sum_{k=1}^p a_kf(k)=a_pf(p)+\sum_{k=1}^{p-1} a_kf(k)$ и $a_p=1$ и сделайте элементарные алгебраические преобразования.

Спасибо. Здесь не понятно, что такое $f(p)$. Обычно мы под $f(p)$ понимаем не элементарную функцию, которая принимает значение $f(n)$, если $n$ - простое и 0, если не простое.

[Null]

vicvolf в сообщении #1465761 писал(а):

Обычно мы под $f(p)$ понимаем не элементарную функцию, которая принимает значение $f(n)$, если $n$ - простое и 0, если не простое.

Это крайне необычно, $f(p)$ по определению это значение функции $f$ в точке $p$.
Вот произведение $a_nf(n)$ это то что вы говорите.
Я использовал известный прием: Если $a_n=1$ если $n$ простое и $a_n=0$ если $n$ составное или 1, то $\sum_{p\leq n}f(p)=\sum_{k=1}^n a_kf(k)$

[vicvolf]

Null в сообщении #1465514 писал(а):

3.$\lim_{n\to\infty}\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=\pm\infty$- если $f(n)\to\infty$ то это выполняется автоматически.

Значит это выполняется для $f(p)=2^p$. А почему не выполняется в этом случае условие 1? Наверно там получается 1.

[Null]

Ну $\int_2^n \frac{2^n n\ln 2}{\ln n}\sim \frac{ 2^n n}{\ln n}$ (можно проверить по лопиталю), и значит предел равен 1.

[vicvolf]

Понял. Но это довольно сложно, поэтому важно:

Null в сообщении #1465618 писал(а):

Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 1и 2 условия выполнены, а 3ее (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0. В частности подходят все $f(x)=x^m, m>0$ и $f(x)=1$ тоже подходит(проверяется непосредственно).

Как это получается из условия 3?

[Null]

Подставил $B(n)=\frac{n}{\ln n}$, пролопиталил(правда при этом существование предела могло потеряться) и упростил. Так что если $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует и не равен 0 и $\frac{n}{\ln n}f(n)\to \infty$(для того чтоб можно было лопиталить), то и $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1.