Функциональный анализ в квантовой механике

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462865 писал(а):

Плотный точечный спектр физически не отличим от непрерывного. Это просто неинтересно.

Мне кажется, Вы преувеличиваете. В модели Андерсона плотный точечный спектр. В бесконечном идеальном кристалле (абсолютно) непрерывный. Отличить можно так: взять состояние, локализованное в пространстве, и рассмотреть его эволюцию при больших временах. В одном случае волновой пакет будет более-менее оставаться на месте, а в другом будет расползаться. Это видно, например, если измерить среднее значение оператора координаты как функцию времени. Я думал, что это физики придумали и Андерсон получил Нобеля за открытие локализации.

-- Чт, 14 май 2020 15:53:42 --

Alex-Yu в сообщении #1462865 писал(а):

Пожалуй, даже широкие зоны могут, в принципе, давать диэлектрик

У краёв зон -- да (если он не идеальный). В середине зон, думаю, нет, если он близок к идеальному. Понятно, что в реальных моделях есть какой-то непрерывный переход между одним режимом и другим, но плотный точечный и абсолютно непрерывный находятся (как идеальные недостижимые модели) на противоположных концах этого перехода.

-- Чт, 14 май 2020 15:54:41 --

Alex-Yu в сообщении #1462865 писал(а):

Плотный точечный спектр физически не отличим от непрерывного.

Количественное отличие вроде называется "localization length".

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1462485 писал(а):

Ну, так уж и не получится. Свободная частица со связью $\theta(x)-\theta(x-1)=1,$ дальше - множитель Лагранжа, и погнали наши городских

Не получится. Чтобы ограничение выполнялось для всех траекторий, множитель Лагранжа придется загнать в бесконечность. Что есть патология.

-- Пт май 15, 2020 06:00:44 --

g______d в сообщении #1462868 писал(а):

В бесконечном идеальном кристалле

В том-то и дело, что таковых не бывает в реальном мире. И одноэлектронная модель принципиально ограничена (я бы даже сказал, что вообще физически неадекватна, но это частное мнение). Кроме локализации Андерсона бывает еще локализация (точнее переход проводник-диэлектрик) Мотта. Принципиально многоэлектронный эффект. Все реальные кристаллы многоэлектронные. Одноэлектронных не бывает. Бывают, так сказать, малоэлектронные (полупроводники в определенных условиях), но одноэлектронных не бывает. Кстати, если уж кристалл бесконечен, то электронов тоже бесконечно много, как бы ни была мала их концентрация.

-- Пт май 15, 2020 06:12:48 --

g______d в сообщении #1462868 писал(а):

Это видно, например, если измерить среднее значение оператора координаты как функцию времени

И как это связать с видом спектра и только видом спектра? Вот модель. Бесконечно много атомов, сильная связь. Энергии электронов на атомах непрерывно распределены в неком интервале (заполнить все действительные значения не получится, но рациональные -- запросто). Переходов с атома на атом вообще нет. Спектр непрерывный, расплывания нет в принципе.

Я пока исчезаю, до свидания.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462870 писал(а):

Бесконечно много атомов, сильная связь. Энергии электронов на атомах непрерывно распределены в неком интервале (заполнить все действительные значения не получится, но рациональные -- запросто). Переходов с атома на атом вообще нет. Спектр непрерывный, расплывания нет в принципе.

Это не непрерывный :) Это как раз плотный точечный. Плотность состояний будет непрерывной, но сама спектральная мера нет. Если оператор имеет вид $\sum \lambda_n |n\rangle \langle n|$, то спектральная мера будет суммой дельта-мер, сосредоточенных в рациональных точках:

$$ E(\lambda)=\sum \delta(\lambda-\lambda_n) |n\rangle \langle n|. $$

Сравните с "противоложной " моделью: энергии всех электронов одинаковые, и все переходы между соседними атомами одинаковые. С помощью преобразования Фурье легко видеть, что спектральная мера будет непрерывной с плотностью типа $\frac{1}{\sqrt{1-E^2}}$, с точностью до констант (это в 1D, в старших размерностях посложнее).

Alex-Yu в сообщении #1462870 писал(а):

И как это связать с видом спектра и только видом спектра?

Строгое качественное утверждение называется теорема РАГЭ (RAGE). Чтобы иметь какую-то количественную информацию о скорости расплывания, конечно, нужно знать больше.

-- Чт, 14 май 2020 18:27:10 --

g______d в сообщении #1462874 писал(а):

Это не непрерывный :)

Тут есть некоторый нюанс. В функциональном анализе для общих операторов есть понятие непрерывного спектра, которому удовлетворяют точки, являющиеся предельными точками собственных значений. В этом смысле Вы правы и он непрерывный. В данном случае я имел в виду более тонкую классификацию: для самосопряжённого оператора, можно разложить спектральную меру на три компоненты: точечную, абсолютно непрерывную, и сингулярно непрерывную. Это более естественная классификация, но она работает только если есть спектральная мера. С терминологией не очень повезло.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462874 писал(а):

Строгое качественное утверждение называется теорема РАГЭ (RAGE). Чтобы иметь какую-то количественную информацию о скорости расплывания, конечно, нужно знать больше.

Если расплывается за, скажем, 100 лет, то такое расплывание меня не интересует, для меня это не расплывается.

В принципе то, что вы говорите, довольно интересно. Но у меня нет никакой уверенности, что это все имеет реальный физический смысл. Как математика -- интересно. Как физика -- совсем не факт (и даже маловероятно). Мало ли какие могут быть теоремы...

Я даже больше скажу, некое куда более универсальное утверждение. Если эффект реальный физический (не важно какой именно эффект, любой), то он, скорее всего, будет и в конечномерной аппроксимации всех операторов (функанализ заменяется на линалгебру) или чем-то подобном, при регуляризации. А если эффект принципиально возникает за счет сингулярностей из функанализа, то я склонен думать, что это, скорее всего, всего лишь математический артефакт, в реальном мире такого эффекта нет. Все по той же причине, что обсуждалась ранее: в пределе коротких волн, малых расстояний и т.п. все наши гамильтонианы, производные, лапласианы и т.п. вообще никакого отношения к действительности не имеют. Если в этом пределе "деформация" наших объектов влияет на ответ, то ответ физически ошибочен. Например, в простеньком случае КМ на отрезке, о чем говорилось, ничего не должно меняться при замене

$$ \sum | k \rangle k^2 \langle k | \to \sum | k \rangle \frac{k^2}{1+(k/\lambda)^2} \langle k | $$

$\lambda$ -- достаточно большая, но конечная величина.

И при тупом обрезании суммы (большие $k$ просто выкидываются, сумма становится конечной, а пространство -- конечномерным) тоже должно получаться то же самое. При всех вариантах регуляризации должно получаться то же самое, конкретный вариант можно выбрать любой, какой удобнее. Это условие, своего рода, аналог того, что в КТП называют перенормируемостью (там, в КТП, дело значительно более изощренное). Если такого нет, то такую теорию в топку! По меньшей мере должны быть очень и очень серьезные (физические, а не математические) причины, чтобы ее в эту топку не отправлять. Прямое компьютерное моделирование с конечным набором базисных функций (а значит никакого функанализа) меня бы убедило намного в бОльшей степени, чем любые теоремы, опирающиеся на функанализ. Ну какие проблемы диагонализовать матрицу, скажем, 100000х100000, запросто Но как различить разновидности спектра, о которых вы говорите, в этой конечной аппроксимации... Боюсь, что никак... Вот и получается, что физически это очень и очень сомнительные "штучки" (как математика --- никаких вопросов! Но физика -- это не математика).

Итог всех этих рассуждений очень простой: если конечномерная аппроксимация дает то же самое, что функанализ, то функанализ не нужен как излишество. А если конечномерная апроксимация дает не то же самое, что функанализ, то никакой физической веры функанализу нет, конечномерной аппроксимации веры даже больше. В итоге в КМ функанализ не нужен в любом случае. В первом случае -- по одной причине, в противоположном -- по другой причине. Но все равно не нужен. В КМ достаточно линейной алгебры. В качестве элемента общей математической культуры функанализ, конечно, полезен (но не обязателен) и для физиков. В конце концов, могут, в принципе, иногда найтись экзотические случаи, когда функанализ дает ответ, отличный от линейной алгебры, и именно ответ из функанализа правильный (но только не априори правильный!!! это требует специального и отнюдь не тривиального исследования в каждом конкретном случае). Но это именно экзотика, для знатоков. Если эта экзотика хоть когда-нибудь бывает... В любом случае всех подряд студентов этим грузить не следует.

[amon]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1462870 писал(а):

Не получится. Чтобы ограничение выполнялось для всех траекторий, множитель Лагранжа придется загнать в бесконечность. Что есть патология.

"Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали." (В теме про Булгакова тоже поучаствовать надо.) Уравнение движения с "моей" функцией Лагранжа:

$$m\ddot{x}=\lambda(\delta(x)-\delta(x-1))$$

С другой стороны, как бегает мячик в яме мы знаем

$$ \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) coordinate (y axis) node[left] {$x$}; \draw [->] (-0.5,0) -- (6.5,0) coordinate (x axis) node[below]{$t$}; \draw [thick] (0,0) -- (2,1) -- (4,0) -- (6,1); \draw (0,0) node[below left]{0}; \end{tikzpicture} $$

$$ \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) coordinate (y axis) node[left] {$\dot{x}$}; \draw [->] (-0.5,0) -- (6.5,0) coordinate (x axis) node[below]{$t$}; \draw [thick] (0,0) -- (0,1) -- (2,1) -- (2,-1) -- (4,-1) -- (4,1) -- (6,1) \draw (0,0) node[below left]{0}; \end{tikzpicture} $$

$$ \begin{tikzpicture}[>=latex] \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) coordinate (y axis) node[left] {$\ddot{x}$}; \draw [->] (-0.5,0) -- (6.5,0) coordinate (x axis) node[below]{$t$}; \draw [ultra thick] (0,0) -- (0,2.5); \draw [ultra thick] (2,0) -- (2,-2.5); \draw [ultra thick] (4,0) -- (4,2.5); \draw [ultra thick] (6,0) -- (6,-2.5); \draw (0,0) node[below left]{0}; \end{tikzpicture} $$

Последнюю картинку можно записать как

$$\ddot{x}=\operatorname{const}\sum_n\left(\delta\left(t-\frac{2n}{v}\right)-\delta\left(t-\frac{2n+1}{v}\right)\right),$$

и $\operatorname{const}$ здесь вполне конечная, равная, видимо, $\frac{1}{2v}.$ Элементарные манипуляции приводят к

$$\ddot{x}=\operatorname{const}\sum_n\left(\delta\left(vt-2n\right)-\delta\left(vt-(2n+1)\right)\right)$$

c чуть другой, но конечной константой, что, в свою очередь, совпадает с

$$m\ddot{x}=\lambda(\delta(x)-\delta(x-1)),$$

поскольку $x(t)=vt-[vt]\,([vt] -$ целая часть) для четной целой части, и $x(t)=1-vt+[vt]$ для нечетной. То есть, $\lambda$ вполне себе конечна и выражается через скорость и массу, и получиться она должна такой, что бы мячик упруго отскакивал от стенки.
Впрочем, это уже махровый оффтоп.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1462901 писал(а):

А если эффект принципиально возникает за счет сингулярностей из функанализа, то я склонен думать, что это, скорее всего, всего лишь математический артефакт, в реальном мире такого эффекта нет.

Стоит напомнить, для сравнения, что в конечномерных системах нет, например, такого явления, как фазовый переход. То есть это тоже такой математический артефакт, однако же легко наблюдаемый в реальном мире при бытовом кипячении чайника.

[Alex-Yu]

amon,
ну что вы ей-богу...

-- Сб май 16, 2020 00:31:48 --

amon в сообщении #1462981 писал(а):

Уравнение движения с "моей" функцией Лагранжа:

$$m\ddot{x}=\lambda(\delta(x)-\delta(x-1))$$

Для того, чтобы частица при любой, сколь угодно большой энергии разворачивалась, надо коэффициент при дельта-функции бесконечность!!! Это без всяких вычислений очевидно А если не бесконечность, то иногда будет разворачиваться, а иногда -- нет. Это яма конечной глубины.

-- Сб май 16, 2020 00:34:52 --

warlock66613 в сообщении #1462999 писал(а):

в конечномерных системах нет, например, такого явления, как фазовый переход.

Есть. Только немного размазанный. У меня вода в бутылке. Бутылка конечная. И вы беретесь утверждать, что заморозить эту воду невозможно?????

И очень маленькие капли замерзают. Даже на наномасштабе. Правда, на наномасштабе начинаются интересные аномалии.

-- Сб май 16, 2020 00:40:20 --

warlock66613 в сообщении #1462999 писал(а):

при бытовом кипячении чайника.

Который, кстати, как раз конечен.

Вот так послушаешь таких деятелей, и невольно приходит в голову мысль: а может математику следует вообще запретить? Нет, конечно, не следует. Но мысль такая в голову приходит.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1462981 писал(а):

е придумали." (В теме про Булгакова тоже поучаствовать надо.) Уравнение движения с "моей" функцией Лагранжа:

$$m\ddot{x}=\lambda(\delta(x)-\delta(x-1))$$

почему бы не сказать, что частица движется в поле с потенциалом $V=-\theta(x)+\theta(x-1)$, Тогда не понадобятся множители Лагранжа. А в остальном согласен

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1463055 писал(а):

Для того, чтобы частица при любой, сколь угодно большой энергии разворачивалась, надо коэффициент при дельта-функции бесконечность!!! Это без всяких вычислений очевидно А если не бесконечность, то иногда будет разворачиваться, а иногда -- нет. Это яма конечной глубины.

Нет, стоп, если дельта функция (а не тета), то она уже бесконечная.

На языке операторов (не буду пользоваться совсем строгими формулировками) Вы постулируете, что волновая функция равна нулю в точке, где поставлена дельта (иначе умножать на дельту нельзя).

После этого оператор "забывает" про то, что происходит за стенкой. Туннелирования нет.

В классической версии наверняка то же самое.

-- Пт, 15 май 2020 10:59:00 --

Alex-Yu в сообщении #1462901 писал(а):

ничего не должно меняться при замене

$$ \sum | k \rangle k^2 \langle k | \to \sum | k \rangle \frac{k^2}{1+(k/\lambda)^2} \langle k | $$

$\lambda$ -- достаточно большая, но конечная величина.

А я думаю, что ничего "измеримого" и не поменяется. Если Вы напишете оператор, соответствующий "реальному" измерению (в частности, ограниченный), то думаю, что матричные элементы этого оператора и остальные характеристики будет допускать предельный переход.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1463063 писал(а):

Нет, стоп, если дельта функция (а не тета), то она уже бесконечная.

О, господи! Кучно пошло.... Сила есть градиент потенциала. Градиент при конечной бесконечно узкой ступеньке пропорционален дельта-функции. Яма конечная, градиент (сила) бесконечен.

-- Сб май 16, 2020 01:02:35 --

g______d в сообщении #1463063 писал(а):

А я думаю, что ничего "измеримого" и не поменяется.

Ну вот, "я думаю"... И никакой математической строгости. Впрочем, я тоже так думаю. Только при такой замене все рассуждения о сингулярностях в спектре идут лесом.

Вообще в КТП (хотя там все намного-намного сложнее) аналогичные вещи (перенормируемость) доказывают. Впрочем, с точки зрения чистой математики не строго. А почему здесь никто такими доказательствами не озабочен? Вот схватили какой-попало (неограниченный) оператор в каком попало пространстве и вперед... И это называется строгая наука... Хотя на самом деле какой-то кошмарный произвол. Поиск потеренного рубля под фонарем (потерян он в другом месте, но под фонарем светлее, да и просто интереснее). Думаю, знаете такой анекдот. Впрочем, думаю понятно, что я несколько утрирую.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462901 писал(а):

Если эффект реальный физический (не важно какой именно эффект, любой), то он, скорее всего, будет и в конечномерной аппроксимации всех операторов (функанализ заменяется на линалгебру) или чем-то подобном, при регуляризации.

Да, я с этим полностью согласен, и вроде даже упоминал. Сам тип спектра -- это идеализированная абстракция. Но следствия из него могут быть проверяемы на конечных масштабах.

В частности, то самое расползание является хорошим примером. На малых временах это локальный эффект (даже в нерелятивистской КМ), поэтому теорема РАГЭ говорит примерно следующее: если взять достаточно большую, но конечную коробку, взять локализованное состояние в центре коробки, взять достаточно большое время, но не очень большое (зависит от размеров коробки), то будет наблюдаться расползание или его отсутствие в зависимости от типа спектра.

Само по себе это утверждение совершенно бесполезно, потому что тип спектра -- это качественное явление, и оно не может нам сказать, какого размера коробку взять. Но дальше, поскольку это всё-таки теорема из анализа, у неё есть разные количественные (эффективные) версии, с явными оценками, но это достаточно сложно.

Alex-Yu в сообщении #1462901 писал(а):

А если эффект принципиально возникает за счет сингулярностей из функанализа, то я склонен думать, что это, скорее всего, всего лишь математический артефакт, в реальном мире такого эффекта нет.

Тоже согласен. Но "правильные" модели из функанализа, на мой взгляд, это как раз наоборот, идеальная модель, свободная от любых артефактов. В частности, если мы сужаем систему на коробку и диагонализуем, у нас возникают поверхностные моды и "spectral pollution", которые являются типичным примером артефакта.

Разумеется, может быть так, что в этих модах и дело, но это значит, что модель выбрана неправильно и игнорировать границу кристалла нельзя.

-- Пт, 15 май 2020 11:10:45 --

Alex-Yu в сообщении #1463065 писал(а):

О, господи! Кучно пошло.... Сила есть градиент потенциала. Градиент при конечной бесконечно узкой ступеньке пропорционален дельта-функции. Яма конечная, градиент (сила) бесконечен.

А, да, я не до конца дочитал. Извините.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1463068 писал(а):

В частности, если мы сужаем систему на коробку и диагонализуем, у нас возникают поверхностные моды и "spectral pollution", которые являются типичным примером артефакта.

Не-а. Ну поверхностные моды, ну и что. Они на объемные свойства все равно не влияют. И, кстати, поверхностные моды есть на самом деле.

-- Сб май 16, 2020 01:12:39 --

g______d в сообщении #1463068 писал(а):

идеальная модель, свободная от любых артефактов.

Идеальные модели как раз полны артефактов. Любая идеальная модель она сама по себе сплошной артефакт. С точки зрения физики, естественно. Впрочем, иногда ими можно пользоваться. Но иногда.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1463065 писал(а):

Только при такой замене все рассуждения о сингулярностях в спектре идут лесом.

Они возникают в пределе $\lambda\to \infty$. Чтобы изучать до-предельный объект, может быть полезно знать предельный.

-- Пт, 15 май 2020 11:15:25 --

Alex-Yu в сообщении #1463071 писал(а):

Не-а. Ну поверхностные моды, ну и что. Они на объемные свойства все равно не влияют.

В этом случае, мне кажется, полезно иметь идеальную модель, у которой объёмные свойства такие же (в пределах границ применимости), а поверхностных мод нет вообще. Так получается бесконечный кристалл.

-- Пт, 15 май 2020 11:16:38 --

g______d в сообщении #1463063 писал(а):

Нет, стоп, если дельта функция (а не тета), то она уже бесконечная.

На языке операторов (не буду пользоваться совсем строгими формулировками) Вы постулируете, что волновая функция равна нулю в точке, где поставлена дельта (иначе умножать на дельту нельзя).

Здесь я похоже погорячился...

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1463072 писал(а):

Они возникают в пределе $\lambda\to \infty$. Чтобы изучать до-предельный объект, может быть полезно знать предельный.

Вот если все это доказать... А с другой стороны, если доказать, то все равно какую модель брать, предельную или допредельную. Кому как нравится. Но почему-то
те, кому нравятся допредельные модели, некоторыми считаются какими-то грешными недоумками.

-- Сб май 16, 2020 01:17:33 --

g______d в сообщении #1463072 писал(а):

Здесь я похоже погорячился...

Все мы периодически горячимся. Нормально все.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1463074 писал(а):

Вот если все это доказать...

Здесь можно сделать прямой предельный переход. Нужно аккуратно, потому что в результате предела ограниченных операторов получается неограниченный. Но для самосопряжённых операторов это хорошо понятно, например, нужно рассматривать пределы резольвент при комплексном спектральном параметре (у Вас это называется функциями Грина), они будут оставаться ограниченными.

Alex-Yu в сообщении #1463074 писал(а):

А с другой стороны, если доказать, то все равно какую модель брать, предельную или допредельную. Кому как нравится.

В допредельной больше свободных параметров, которые могут быть не по делу. В предельной меньше параметров, но более сложная математика. Для физиков "меньше параметров" -- достоинство, а "сложная математика" -- недостаток (наверное). Для математиков и то, и другое -- достоинство :)