Функциональный анализ в квантовой механике

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462703 писал(а):

Если потребовать дополнительно, ортогональность спектральных проекторов, то оператор д.б. существенно с.с.

Да, ортогональность спектральных проекторов, пожалуй, надо. А чем существенно самосопряженный отличается от самосопряженного? И еще, здесь $L^2$ предполагается, или это для любого пространства?

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462704 писал(а):

А чем существенно самосопряженный отличается от самосопряженного?

Существенно существенно самосопряженный это "недоделанный" существенно самосопряженный: при замыкании существенно самосопряженного получается самосопряженный

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462719 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1462704 писал(а):

А чем существенно самосопряженный отличается от самосопряженного?

Существенно существенно самосопряженный это "недоделанный" существенно самосопряженный: при замыкании существенно самосопряженного получается самосопряженный

Да-да, что-то такое с трудом припоминается... Но, я так понимаю, замкнуть неограниченный невозможно? Замыкание это же замыкание графика оператора? Возможно, я что-то путаю...

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462738 писал(а):

Но, я так понимаю, замкнуть неограниченный невозможно? Замыкание это же замыкание графика оператора?

Замыкание оператора это замыкание его графика и все самосопряженные операторы замкнуты (т.е. имеют замкнутый график). А вот пример оператора, который замкнуть нельзя (в $L^2(0,1)$): первоначально он задан на непрерывных функциях как $u\mapsto u(0)$. Замкнуть-то график можно, но после его замыкания получится то, что графиком не является

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462744 писал(а):

Замыкание оператора это замыкание его графика и все самосопряженные операторы замкнуты (т.е. имеют замкнутый график).

Так, чего-то я перестал понимать. Пусть $u_n \to u_\infty$, если $H$ неограничен, то совсем не обязательно $Hu_n$ сходится хоть к чему-нибудь, $Hu_\infty$ может не существовать. И как тогда замкнуть график? Замкнуть -- это же добавить все предельные точки (нет?). А предельной точки, такой что существует $Hu_\infty$ просто нет. График -- это же множество пар $u$ и $Hu$. Второй член пары не существует, предельной точки нет. Где я вру?

[Mikhail_K]

Alex-Yu в сообщении #1462747 писал(а):

Так, чего-то я перестал понимать. Пусть $u_n \to u_\infty$, если $H$ неограничен, то совсем не обязательно $Hu_n$ сходится хоть к чему-нибудь, $Hu_\infty$ может не существовать. И как тогда замкнуть график?

Добавить только те предельные точки, которые есть (то есть когда $Hu_n$ к чему-то всё-таки сходится). "Те предельные точки, которых нет", добавлять не надо.

[Alex-Yu]

Mikhail_K в сообщении #1462751 писал(а):

"Те предельные точки, которых нет", добавлять не надо.

Это какое-то недозамыкание

[Mikhail_K]

Alex-Yu в сообщении #1462752 писал(а):

Это какое-то недозамыкание

График, тем не менее, оказывается замкнутым.
Но, понятно, у замкнутых неограниченных операторов бывает так, что $\{u_n\}$ куда-то сходится, а $\{Hu_n\}$ никуда не сходится.
Но вот если $\{u_n\}\to u_0$ и $\{Hu_n\}$ куда-то всё-таки сходится, то (в случае замкнутого оператора) обязательно к $Hu_0$. А в случае незамкнутого - не обязательно.

[Alex-Yu]

Ладно, кажется понял. Предельная точка последовательности пар -- это пара, к элементам которой сходятся оба элемента пары. Если один элемент пары не сходится, то и предельной точки (для последовательности пар!) нет.

Другой вопрос. Каждый самосопряженный замкнутый. А в обратную сторону справедливо?

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462761 писал(а):

Другой вопрос. Каждый самосопряженный замкнутый. А в обратную сторону справедливо?

Нет. Уже для ограниченных операторов это не так. А для неограниченных даже симметрический и замкнутый необязательно самосопряжен и даже может иметь разные инфексы дефекта (т.е. его и расширить до самосопряженного не удастся.

Alex-Yu в сообщении #1462747 писал(а):

Второй член пары не существует, предельной точки нет.

Тут еще хуже бывает (см мой пример): $u_n\to u_\infty$, $v_n\to v_\infty = u_\infty$, $Hu_n \to f$, $Hv_n\to g\ne f$. График замкнулся, но то, что получилось графиком оператора быть не может.

[Alex-Yu]

Red_Herring, спасибо за обсуждение. Это полезно. Но чем больше мы это обсуждаем, тем у меня сильнее ощущение, что это все крайне далеко от квантовой механики. Ей-богу, наивные представления, основанные на аналогии с обычной линейной алгеброй, куда ближе к реальной физике, чем все это. А может это неспроста? В конце-концов, а откуда следует, что пространство состояний бесконечномерно? Может его размерность большая (скажем $10^{30}$), но конечная. И весь функанализ идет тогда лесом Только применительно к КМ, естественно. Или даже несколько проще: а откуда следует, что операторы не ограничены? Понаписали дифференциальных операторов.... Не исключено, что на самом деле квантовомеханические операторы только приблизительно дифференциальные. Я даже могу гарантировать, что это именно так. Что, кто-то когда-то видел, скажем, энергию частицы в $10^{30}$ ГэВ? И даже $10^{100}$ эВ? В реальном мире бесконечностей не бывает. Даже всего лишь сколь угодно больших натуральных чисел в реальном мире не бывает.

Операторы, определенные не на всем пространстве... Да их даже всего лишь складывать, вообще говоря, нельзя! Даже если области определения плотные. Может $L^2$ слишком большое? И вообще, а почему, собственно, $L^2$? В общем все, что есть в функанализе, это все очень хорошо и крайне интересно. Но совершенно не факт, что имеет хоть какое-то отношение к квантовой механике и вообще к физике.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1462744 писал(а):

первоначально он задан на непрерывных функциях как $u\mapsto u(0)$. Замкнуть-то график можно, но после его замыкания получится то, что графиком не является

крутил в голове это соображение и просто так по ассоциации появилась такая задача: в нормированном пространстве имеется неограниченный линейный функционал. Доказать, что его ядро плотно:) тривиальное наблюдение

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462694 писал(а):

Забавно, что в детстве у меня вызывало глубочайший интуитивный протест определение этого оператора эволюции через ряд (как обычно принято в физике). Я не понимал в чем дело, но протест был. Определение экспоненты через спектр меня удовлетворило

Ah, I see, you're a man of culture as well.

Alex-Yu в сообщении #1462810 писал(а):

Может его размерность большая (скажем $10^{30}$), но конечная.

Я не знаю, удовлетворит ли Вас такой ответ, но пространство состояний -- в любом случае математический объект, часть модели, про которую мы надеемся, что она отражает реальность. Бесконечномерные пространства состояний -- удобная аппроксимация конечномерного пространства состояний очень большой размерности, следующий уровень идеализации. Если рассматриваются эффекты, для которых разницы между $10^{30}$ и $10^{60}$ нет, естественно (по крайней мере, для математиков) устремить размер к бесконечности и изгнать параметр, от которого ничего не должно зависеть. За это приходится платить тем, что оперировать с бесконечностями нужно очень аккуратно и пользоваться спектральной теорией, в которой есть разница между симметричными и самосопряжёнными операторами, а один и тот же оператор на разных областях определения может иметь разный спектр (и быть самосопряжённым на каждой из них)

Я думаю, что у всех этих явлений есть какая-то интерпретация в терминах дискретизированной задачи, но увидеть её на уровне матриц размера $10^{30}\times 10^{30}$ мне представляется безнадёжным. Уже отличить плотный точечный спектр от непрерывного на этом уровне сложно (хотя и можно в некоторых ситуациях), при тот что у этого есть прямая физическая интерпретация (локализация/делокализация, т. е. проводник/изолятор).

Ну и вообще, Вы же сами наверняка часто пишете непрерывные не-дискретизированные гамильтонианы, потому что удобнее...

-- Чт, 14 май 2020 14:08:53 --

Alex-Yu в сообщении #1462657 писал(а):

А если пойдет, то тогда можно вернуться к яме и задать вопрос: совпадает ли замыкание области определения самосопряженного расширения оператора $i\partial_x$, обсужденной выше, с замыканием пространства рядов $\sum_n c_n \sin 2\pi n$?

Тоже довольно тонкий момент. Если рассмотреть замыкание области определения по норме $L^2$, то у любого осмысленного оператора область определения плотна (по-видимому, Вы это имели в виду, когда говорили про одинаковые области определения) и даёт всё пространство в результате замыкания. Но сам оператор расширить на всё пространство нельзя, вообще говоря.

Можно замыкать, как упоминал Red_Herring, по норме графика. На всякий случай сначала уточню обозначения. Пусть у нас отрезок $[0,1]$ и $|k\rangle=\sin(2\pi k x)$ -- собственный вектор гамильтониана, то есть

$$ H=\sum |k\rangle k^2 \langle k|. $$

Если мы теперь рассмотрим формальный корень из $H$, то есть оператор

$$ p_1=\sum |k\rangle k \langle k|, $$

то его естественной областью определения (полученной в результате замыкания графика) будет пространство Соболева $W_2^1_0$ функций, у которых первая производная суммируема с квадратом и на границе интервала ноль (последнее утверждение не имеет смысла в $L^2$ но имеет смысл в пространстве Соболева).

Теперь, если мы возьмём одно из самосопряжённых расширений $p$ оператора $i\frac{d}{dx}$, у него естественной областью определения будет тоже пространство Соболева, но с другими краевыми условиями (периодическими или квазипериодическими). Между этими пространствами много общего, и они отличаются на подпространство размерности 1. Но тем не менее они разные.

Ещё важно, что, хотя области определения операторов $p$ и $p_1$ отличаются мало, сами операторы очень разные, они по-разному действуют на одни и те же синусы.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462810 писал(а):

Да их даже всего лишь складывать, вообще говоря, нельзя! Даже если области определения плотные.

Вообще говоря, нельзя, но в интересных случаях обычно можно, при этом, опять-таки обычно получается самосопряженный оператор.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462856 писал(а):

За это приходится платить тем, что оперировать с бесконечностями нужно очень аккуратно

Что-то плата слишком высока. Обычно замена конечных разностей производными упрощает дело. Но здесь скорее усложняет.

-- Пт май 15, 2020 05:34:29 --

g______d в сообщении #1462856 писал(а):

Ну и вообще, Вы же сами наверняка часто пишете непрерывные не-дискретизированные гамильтонианы, потому что удобнее...

Конечно пишу. Но я при этом никогда (!!!) не понимаю производную в точном математическом смысле. На длинных волнах практически точно производная. А на очень коротких так просто ноль. Или почти ноль, обрезание можно устроить плавно, например по экспоненте (или по гауссиане, или еще как). У меня в уме любая производная это регуляризованная производная.

-- Пт май 15, 2020 05:37:28 --

g______d в сообщении #1462856 писал(а):

мы надеемся, что она отражает реальность

Вы надеетесь. А я в этом сомневаюсь. Что-нибудь точно не отражает. И самое плохое то, что никогда не известно, полученный математический результат адекватен реальности или нет. Поэтому я предпочел бы модель поадекватнее. Без патологических объектов вроде неограниченных операторов.

-- Пт май 15, 2020 05:42:07 --

g______d в сообщении #1462856 писал(а):

плотный точечный спектр от непрерывного на этом уровне сложно

Плотный точечный спектр физически не отличим от непрерывного. Это просто неинтересно.

-- Пт май 15, 2020 05:44:55 --

g______d в сообщении #1462856 писал(а):

есть прямая физическая интерпретация (локализация/делокализация, т. е. проводник/изолятор).

Ну это слишком смело. Если зоны будут достаточно узкими, то все равно будет диэлектрик. Несмотря на непрерывный одночастичный спектр. Пожалуй, даже широкие зоны могут, в принципе, давать диэлектрик, Если в операторе переходов нет матричных элементов между сколь угодно близкими по энергии состояниями.

Про импульс в яме я потом подумаю.